Velu's Formula - Pebble Coding
isogeny関連でvelu's formulaというものがあります。 まずは、体についてのおさらいをしておきます。 体Kは標数が0または素数pです。 標数の定義 体Kの乗法の単位元を標数個加算したものが加法の単位元になるということです。 をどれだけ足してもにならない場合は標数0と定義します。 ここでは有限体にしか興味がないので、標数は素数pとなります。 有限体の場合、その体の元の個数は素数べきになります。 qを素数とすると元の個数はのいずれかということになります。 Velu's formulaを簡略化したものを大雑把に言うと次のようになります。 で与えられる体K上の楕円曲線に対して、 楕円曲線の有限部分群Cを考える。 からへの分離可能な同種写像が存在し、それはを満たす。 Cは部分群、は2等分点、はのyの値をマイナス化したものです。 コンピュータで計算する場合は、部分群の全ての有理点の計算
(Z/nZ)*の群構造 - INTEGERS
この記事ではの群構造についてまとめています。 1.1 と素因数分解されているとき、中国剰余定理によって が成り立つので、 を得る。すなわち、問題はのときに帰着される(は自然数)。 1.2 のとき、が成り立つ。 証明. 奇数が存在して、と書けることを示せばよい。に関する帰納法で証明する。なので、。が存在したと仮定すると、 より、とすればよい(このときは奇数)。 Q.E.D. 1.3 命題 次の群の同型が成立する： 証明. のときは明らか。、とする。また、(resp. )が生成するの部分群を (resp. )と表す。で割ったあまりを考えることによって、がわかるので、自然な埋め込みがある。1.2より なので、 が示された。 Q.E.D. はEulerのトーシェント関数。である。 1.4 を素数とする。このとき、は位数の巡回群である。 これは原始根の存在からわかる：平方剰余の相互法則 - INTE
A prime pencil: truncatable primes - Online Technical Discussion Groups—Wolfram Community
I just got a set of these pencils, from Mathsgear. The number printed on it is prime, and will remain so as you sharpen the pencil from the left, all the way down to the last digit, 7. Here is a recursive construction of all such truncatable primes. TruncatablePrimes[p_Integer?PrimeQ] := With[{digits = IntegerDigits[p]}, {p, TruncatablePrimes /@ (FromDigits /@ (Prepend[digits, #] & /@ Range[9]))}
等間隔に並ぶ素数を追い求めて〜グリーン・タオの定理〜 - INTEGERS
素数のもつ秩序。それは人類に幾度となく驚きと喜びを与えてくれました。そして、これからも与え続けてくれることでしょう。 素数の秩序に関する人類の最初の大きな勝利は素数定理 を発見し、証明したことだと思います。 素数の分布は高度に非自明で、一見すると何の法則性も見出せないように思えます。にも関わらず、このようにシンプルな漸近挙動を示すのは驚きです。 素数定理についての文献は日本語を含めて相当数存在しますし、このブログでもまとめています*1。 素数定理が証明されてから100年のときを経て、人類は次の大勝利を収めました。 Green-Taoの定理です*2。 素数は疎らに分布しているように見えますが、 は等間隔に並んでいます。等間隔に並んでいる素数は他にもあるでしょうか？ 等間隔に並ぶ素数に興味があるので、等差数列の初項および公差は指定しない代わりにその項数(長さと呼ぶ)に着目します。上記例は長さで
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Mathematician who solved prime-number riddle claims new breakthrough
素数とはA～Zで見つけられる数である(証明編) - INTEGERS
