ペル方程式x^2-py^2=-1は常に整数解を持つか？ - OKWAVE

先日、 http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=2069583 で、√Dの連分数展開の周期がいつ奇数になるか？という問題を質問させていただきました。平方剰余の相互法則の第一補充則と簡単な議論から、Dは4で割り切れないこと、さらにDの素因数に4で割って3余る素数を含まないことが必要条件となります。連分数展開の周期が奇数になることと、ペル方程式 x^2-Dy^2=-1 が整数解を持つことは同値です。したがってこのためのDの必要条件が求められたことになります。しかし、上の条件が満たされるDでもペル方程式が整数解を持たないものがたくさんあります。たとえば34,146,178,194,205,221,…などなどです。他方、合成数であっても解をもつDもたくさんあります。いったいこれらの性質の違いがどこから来るのか知りたいものです。ですが、難しい問題なのかも知れません。 で、本題