クォータニオンを真に理解する qpq-1の導出 - Qiita

TL;DR; ある頂点Pを任意の軸Aの周りにθ回転させた時の頂点P'は、 ベクトル空間上では、以下のように表すことが出来ます。 式1 (ベクトル空間による頂点の回転式) \begin{multline} \vec{P}' = \vec{P}\cos\theta + (\vec{A} \times \vec{P})\sin\theta + \vec{A} (\vec{A}\vec{P})(1 - \cos\theta) \end{multline}