ガウスの種の理論 (Genus Theory) - tsujimotterのノートブック

今日考えたい問題は という二次形式で書ける素数の法則です。実際， という法則が知られており， の素イデアル分解によって説明できます。これについて，以前の記事でまとめたことがありました。 tsujimotter.hatenablog.com 一方で，上の記事では「たまたまそういう条件のときに と書ける」程度の説明となっており「なぜそのような法則が得られるか」という根拠がまったくわかりませんでした。 今日は「ガウスの種の理論」によってこの根拠を説明します。種の理論は「指標」という概念を用いて二次形式やイデアル類群を分類しようという試みです。 種の理論は，単に上記の法則の説明を与えるにとどまらず，もっと一般的に二次形式で表せる素数の条件についてザックザクと法則を導くことができます。魅力的なトピックです。 しかしながら，やや難解で抽象的な議論が続くことになります。私もずっと理解したいと思っていたの