群の作用の左と右 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
群が「左から作用する」「右から作用する」という言い方があります。このときの「左」「右」はどんな意味なんでしょう？ また、「左」か「右」かはどうやって判断するのでしょう？ なにかを左（あるいは右）と呼ぶべき必然的根拠があるとは思えないので「約束によって左右を決める」のでしょうが、その約束はどのように決めるのでしょうか？ 約束を変えると、どのような影響があるのでしょう？ 以下、左右の問題を考えてみます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} } \newcommand{\On}{\:\text{ on } } % 使う \newcommand{\id}{\mathrm{id} } \newcommand{\hyp}{\text{-} } \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\Lin}{\mathrm{Lin}} \n
イデアルとは何か。定義と例と発展的なイデアルの紹介
本記事では環論に登場する概念である「イデアル」について、その定義を丁寧に確認していきます。 参考文献は雪江『代数学1 群論入門』『代数学2 環と体とガロア理論』です。 イデアルの定義 \(A\)を環とします。環（そしてもっと単純な群）の定義は、以下の記事を参照してください。 代数的構造の関係を図示してみた（マグマ、半群、モノイド、群、アーベル群、環、可換環、整域、体） 環\(A\)の部分集合\(I\)が次の条件を満たすとき、\(A\)のイデアルといいます。 \(I\)は\(A\)の加法に関して部分群である。 任意の\(a\in A,x\in I\)に対し、\(ax\in I\)である。 定義からわかること 1.より、\(I\)はそれ自体が群であるといえます。その際、群演算としては\(A\)の加法を考えます。部分群であるということは、加法が\(I\)の中で閉じているとも言えます。\(A\)の
代数的構造の関係を図示してみた（マグマ、半群、モノイド、群、アーベル群、環、可換環、整域、体）
群・環・体、代数的構造の包含関係 群や環などの代数的構造は、包含関係をイメージしながら整理しておくと便利です。 たとえば 群の演算（加法）が可換であって、乗法についても閉じており、乗法の結合法則と加法乗法の分配法則が成り立つものが、環である。 というふうに、条件の緩い代数的構造（群）から始めて、条件を追加していくことでより複雑な構造（環）を得ることが出来ます。 この代数的構造の包含関係を図示したものが以下です。 この図は、こちらのページ「群・環・体 (大人になってからの再学習 )」に掲載されている同様の図を参考にして、群よりも単純な代数的構造を明示し、表現を修正したものです。 なお、上の図では条件が追加されるごとに領域が大きくなっていますが、これは「集合の大きさ」を表してはいません。 条件が厳しくなれば、集合としては「狭まっていく」ので、イメージとしては以下のような感じです。 諸注意 代数
Haskellの代数的構造入門 半群・モノイド・環とは何か？ - ログミーTech
2018年11月10日、Haskell-jpが主催するイベント「Haskell Day 2018」が開催されました。純粋関数型プログラミング言語Haskellをテーマに、Haskellに興味のある人から入門者、ちょっとできる人まで、様々な層に向けたプレゼンテーションを行った本イベント。実務から研究まで、幅広いHaskellの事例を共有します。プレゼンテーション「Semigroupとは？ Monoid？ 環？」に登壇したのは、aiya000氏。講演資料はこちら Semigroupとは？ Monoid？ 環？ aiya000氏（以下、aiya000）：あいやと申します。今日は「Semigroupとは？ Monoid？ 環？」というテーマで代数についての発表をします。よろしくお願いします。 （会場拍手） 推しVimはNeovimです。活動はTwitterやGitHubなどをやっています。このスラ
これから群論を学ぶ方のための入門講座 – びりあるの研究ノート
物理学や情報科学を学ぶ中で数学の一分野である「群論」の知識が必要となる場面が多々あります。 しかしながら群論は抽象数学の入門的な分野であり、抽象数学に慣れ親しんだ方でないとなかなか厳しい物があると思います。 実は群論を学ぶためには微積分や行列・線形代数といった高度な前提知識は全く必要なく、 中学生程度の数学の知識さえあれば理解できるはずなのですが、 基本的な考え方が非常に抽象的ですので、 東大の情報科学科の学生であってもかなり苦労しているようです（筆者調べ）。 確かに群論を系統的に学ぼうとすると抽象的な概念が多く、躓くとこも多いと思いますが、 情報科学や暗号理論で必要な最低限の知識のみに絞れば、さほど難しくはありません。 また、必要な前提知識も先程述べたように中学生レベルの数学の知識のみですので、 文系の方でも十分理解していただける内容だと思います。 そこで本記事では、これから群論を学ぼう
「群論入門」や代数学の講義ノートPDFまとめ。群・環・体の基礎から物理への応用までのオンライン教科書 - 主に言語とシステム開発に関して
講義ノートの目次へ 入門レベルの群論から始め，群・環・体に関する大学の代数学の理論を 独学でも学習できるよう，PDF教科書を収集。 Web上で無料で閲覧できるリソースを集めた。 下記の３つに分けてリンクを記載。 （１）「群論」に的を絞ったテキスト。群論入門，および物理への応用 （２）群・環・体の代数学基礎をすべて教えているテキスト （３）発展的な内容のもの ※なお，いずれも線形代数学・行列論は前提知識として扱っている。 行列論や線形代数の基礎を学びたい場合，下記のページを参照。 線形代数（行列論と抽象線形代数学）の講義ノートPDF。演習問題と解答付き http://language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20140505/LinearAlgebraMat... （１）「群論」に的を絞ったテキスト。群論入門，および物理への応用 代数学の入門と
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