この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "イデアル類群" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2010年2月) 数学において,体 K に対してイデアル類群(英: ideal class group)あるいは類群(英: class group)とは,商群 IK/PK である,ただし IK は K の分数イデアルの群で,PK は K の単項イデアルからなる部分群である.代数体(あるいはより一般に任意のデデキント環)の整数環における一意分解の成り立たなさをイデアル類群によって記述することができる.この群が有限のとき(代数体の整数環の場合はそうである),その群の位数を類数(英:
赤池情報量規準(あかいけじょうほうりょうきじゅん; 元々は An Information Criterion, のちに Akaike's Information Criterionと呼ばれるようになる)は、統計モデルの良さを評価するための指標である。単にAICとも呼ばれ、この呼び方のほうが一般的である。統計学の世界では非常に有名な指標であり、多くの統計ソフトに備わっている。元統計数理研究所所長の赤池弘次が1971年に考案し1973年に発表した[1]。 AICは、「モデルの複雑さと、データとの適合度とのバランスを取る」ために使用される。例えば、ある測定データを統計的に説明するモデルを作成することを考える。この場合、パラメータの数や次数を増やせば増やすほど、その測定データとの適合度を高めることができる。しかし、その反面、ノイズなどの偶発的な(測定対象の構造と無関係な)変動にも無理にあわせてしま
リクレル数(Lychrel number)とは、桁を前後反転させたものと自身との和を求め(この操作をリクレルプロセスと呼ぶ)、得られた値について同様の操作を繰り返したときに回文数にならない自然数のことである。このプロセスは、これに関連する最も有名な数に因んで「196アルゴリズム」と呼ばれることもある。十進数におけるリクレル数の存在はまだ証明されていないが、196などの多くの数がヒューリスティクス[1]や統計的根拠に基づいてリクレル数であることが予想されている。リクレル(Lychrel)という名前は、ウェイド・ヴァンランディンガム(Wade VanLandingham)が、自身のガールフレンドのファーストネームであるシェリル(Cheryl)のアナグラムから名付けたものである[2]。 リクレルプロセス[編集] リクレルプロセスとは、桁を反転させた物と自身との和を求める操作である。例えば、56な
三角形と内接円とジェルゴンヌ点 ジェルゴンヌ点(ジェルゴンヌてん、Gergonne Point)は、三角形上で一意的に定義される点の1つである。 1818年に発行された、Annales de Math(fr)1818-9 にこの点についての記述がある[1]。 定義と証明[編集] 三角形ABCの内接円が辺BC,AC,AB と接する点をそれぞれ X,Y,Z とする。AX,BY,CZ の3つの線の交点がジェルゴンヌ点となる。 円と接線の関係から AY=AZ などが成り立つため、チェバの定理の逆より3本の線が1点で交わることは自明である。 性質[編集] 内心とド・ロンシャン点を通る直線上にある。この線をソディ線[2]という。 ナーゲル点と等長共役の関係にある。 ジェルゴンヌ点と内接円と外接円の内側の相似中心X55は等角共役の関係にある。 ジェルゴンヌ点の重心座標は以下の式で表される。 チェバ三角形
ハミング限界(ハミングげんかい、英: Hamming bound)は、符号(線型符号とは限らない)のパラメータの限界値を指す。球充填の限界を情報理論の観点で言い直したものと言える。ハミング限界に従った符号を「完全符号; perfect code」と呼ぶ。 定義[編集] q進数の符号 が長さ で最小ハミング距離 であるとき、その可能な最大サイズ(符号語の総数)を とする。なお、q進数の符号は、 個の要素の体 上の線型符号である。 すると、次が成り立つ。 ここで、 証明[編集] の定義から、符号語の転送において最大で の誤りが発生したとすると、最小距離復号によって正しく復号できる(すなわち、符号化された符号語を正しく復号できる)。つまり、この符号は 個の誤りを訂正可能である。 であるようなある符号語について、 を中心とする半径 の球を考える。このような球の範囲内なら誤り訂正が正しく行われる。符
^ Yamanaka, Naoya; Okayama, Tomoaki; Oishi, Shin’ichi (2016). “Verified error bounds for the real gamma function using double exponential formula over semi-infinite interval”. Mathematical Aspects of Computer and Information Sciences: 6th International Conference, MACIS 2015, Berlin, Germany, November 11-13, 2015, Revised Selected Papers 6 (Springer International Publishing): 224-228. doi:10.1007/
この項目では、ガンマ関数の対数微分で定義されるディガンマ関数(digamma function)について説明しています。多重ガンマ関数(multiple gamma function)の一種である二重ガンマ関数(double gamma function)については「多重ガンマ関数」をご覧ください。 実数x に対するψ(x)の挙動 複素平面上でのψ(z )。点z における色が ψ(z) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表す。 数学において、ディガンマ関数(でぃがんまかんすう、英: digamma function)あるいはプサイ関数(ぷさいかんすう、英: psi function)とはガンマ関数の対数微分で定義される特殊関数[1]。ポリガンマ関数の一種である。 定義[編集] ガンマ関数 に対し、その対数微分 をディガンマ関数と呼ぶ。 ディガンマ関数は、 で一位の
フィボナッチ素数(フィボナッチそすう、英: Fibonacci prime)はフィボナッチ数である素数である。 フィボナッチ素数の最初のいくつかは以下のようになる。 Fn が素数となる n の最初の33個は以下の通りである(オンライン整数列大辞典の数列 A001605)。 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 89, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, 37511, 50833, 81839. 以下の数に対する Fn も、素数である可能性が高いと考えられている[1]。 n = 104911, 130021, 148091, 201107, 397379, 433781, 59004
三次方程式(さんじほうていしき、英: cubic equation)とは、次数が 3 である代数方程式のことである。本項目では主に、実数を係数とする一変数の三次方程式を扱う。 一般に一変数の三次方程式は の形で表現される。現代においては、三次方程式の解法といえば、主に代数的解法のことを意味する。 古代バビロニアにおいて既に代数的に解かれていたと考えられている二次方程式と違い、三次方程式が代数的に解かれたのは16世紀になってからである。11世紀頃、円錐曲線による作図によって三次方程式の解を幾何学的に表したウマル・ハイヤームなども、三次方程式を代数的に解くことはできないと考えていた。 三次方程式の代数的解法はガロア理論へと至る代数方程式論の始まりであり、カルダノが著書『アルス・マグナ』によって三次方程式と四次方程式の代数的解法を公表した1545年は、その影響の大きさから現代数学の始まりの年とさ
リンデマンの定理(リンデマンのていり、Lindemann's theorem)は、1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンが証明した、超越数論における定理の一つである。この定理は、円周率やネイピア数などの数が超越数であることを内包する。1885年のカール・ワイエルシュトラスによる寄与を踏まえ、リンデマン=ワイエルシュトラスの定理 (Lindemann–Weierstrass theorem) とも呼ばれる。 α1, …, αn が相異なる代数的数であるとき、eα1, …, eαn は Q 上一次独立である[1](e はネイピア数)。すなわち、 を満たす代数的数の組 (c1, …, cn) は (0, …, 0) のみである。 同値な命題として、次のように定式化されることもある。α1, …, αn が Q 上一次独立な代数的数であるとき、eα1, …, eαn は Q 上代数的独立で
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "キュムラント母関数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2024年4月) キュムラント母関数(英: cumulant generating function, cgf)は、モーメント母関数の対数として定義されるキュムラントの母関数。なお特性関数の対数として定義されるものは第2キュムラント母関数(英: second characteristic function)とここでは呼ぶことにする。
The elements of the set {A, B} can combine with the elements of the set {1, 2, 3} in six different ways. 初等組合せ論における積の法則(せきのほうそく、英: rule of product)あるいは乗法原理 (multiplication principle) は基本的な組合せ原理(英語版)(数え上げの基本原理)の一つである。それは、簡単に言えば「ある場合が a 通り、別のある場合が b 通りあるとき、それらを同時に行う場合は a⋅b 通りある」ことを述べるものである[1][2]。 例[編集] {A, B, C} から一つと {X, Y} から一つを選ぶことは、{AX, AY, BX, BY, CX, CY} を一つ選ぶことである。 この例では、積の法則は 3 × 2 = 6 と表すこと
近似アルゴリズム(きんじアルゴリズム、英: approximation algorithm)とは、組合せ最適化問題の近似解を得るためのアルゴリズムを言う[1] [2][3][4]。近似解とは、実行可能解(かつ問題の何らかの制約を満たす解)ではあるが、正解(厳密解)ではないものを言う。これは組合せ最適化問題の正解(すなわち最適解)であることが(厳密には)保証されないところの解を得るものである。なお、問題を変形した近似問題に対する正解を得るアルゴリズムも、元の問題に対する近似アルゴリズムと言える。 近似アルゴリズムの中でも、そのアルゴリズムの出力する解の目的関数値と最適解の目的関数値の比(近似度)がある範囲内に収まることが保証されているもののことを特に、精度保証付き近似アルゴリズムと呼ぶ。そのような保証のないアルゴリズムは発見的手法(ヒューリスティクス)と呼ばれる。前者と後者を区別し、前者のみ
リーマンゼータ関数を部分和にした を複素平面上にプロットした時、の虚部に対してが十分大きくなると対数螺旋のような軌跡を描く。その軌跡の中心は元となったゼータ関数の値に近似していることが観測されており[4]、の実部をとして虚部を十分小さくした時にこの方法でを観測すると −1/12に近似する(函数等式)。[5] 様々知られた古典的な発散級数の中でも 1 + 2 + 3 + 4 + … は有限値へ持ち込むことが比較的難しい。発散級数に有限な数値を割り当てる総和法は多数存在するが、それらの中には総和法としての強さが比較可能なものがある。例えば、チェザロ総和法は緩やかに発散するグランディ級数 1 − 1 + 1 − 1 + … を 1/2 に総和することはよく知られているが、アーベル総和法はグランディ級数を 1/2 に総和するのみならず、より扱いの難しい級数 1 − 2 + 3 − 4 + … まで
数学の特に圏論における随伴(ずいはん、英: adjunction)とは、二つの関手の間の(ある種の双対的な)関係のことである(随伴関係にある関手を持つ関手もあれば、持たない関手もある)。直感的に言えば、二つの相互に関連する圏の間に認められる、弱い同値的な関係のことである。この関係を表す関手のペアを随伴関手と呼び、片方を左随伴、もう片方を右随伴と呼ぶ。随伴の概念・随伴関手のペアは数学に遍在し、最適化や効率に関する直観的概念を明らかにし、また、ある種の数学的問題の"解決法の最適化"を行う過程で見出される(代数における集合上の自由群の構成や、位相空間におけるStone–Čech compactification(英語版)の構成などがその例である。 圏 と の間の随伴とは、二つの関手 の対であって、圏 の任意の対象 X、圏 の任意の対象 Y に対して、集合の全単射 が存在して、これが X と Y
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "トーラス" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2015年5月) トーラス 初等幾何学におけるトーラス(英: torus, 複数形: tori)、円環面、輪環面は、円周を回転して得られる回転面である。 いくつかの文脈では、二つの単位円周の直積集合 S1 × S1(に適当な構造を入れたもの)を「トーラス」と定義する。特に、位相幾何学における「トーラス」は、直積位相を備えた S1 × S1 に同相な図形の総称として用いられ、種数 1 の閉曲面(コンパクト二次元多様体)として特徴づけられる。このようなトーラスは三次元ユークリッド空
タッパーの自己言及式は、ジェフ・タッパー (Jeff Tupper) によって考案された不等式であり、特定の条件の下で式を満たす二つの数の組を二次元のグラフに描くと不等式そのものの形となる。 2001年にコンピュータグラフィックスを扱う国際会議SIGGRAPHで発表された[1]。 不等式は次のように定義される。 は床関数、 は剰余を表す。ここで、k を以下の値とする (543桁の数を3桁区切りで記述している)。 960 939 379 918 958 884 971 672 962 127 852 754 715 004 339 660 129 306 651 505 519 271 702 802 395 266 424 689 642 842 174 350 718 121 267 153 782 770 623 355 993 237 280 874 144 307 891 325
順序統計量(じゅんじょとうけいりょう、英: order statistic)は、統計において、標本の確率変数を値が小さい順に並べることで得られる統計量である。日本産業規格では、「確率変数を非減少な順序に並べることによって得られる統計量」と定義されている[1][2]。ノンパラメトリック統計学における最も基本的ツールである。 順序統計量に属する重要な値として、標本の最小値、最大値、中央値、分位などがある。 連続確率分布での無作為標本の順序統計量を確率論的に分析する場合、一様分布の順序統計量ならば累積分布関数によって分析を簡略化できる。 例えば、4つの数が観測され記録されたとすると、標本の大きさは となる。各観測値は以下のようであったとする。 6, 9, 3, 8, 通常はこれを次のように表記する。 の添え字 i は単に記録上の順序を表し、通常は重要なものではない。ただし、時系列のデータにおいて
ブール値関数(ブールちかんすう、英: Boolean-valued function)は、述語や命題の一種の総称であり、f : X → B という形式の関数として表される。ここで、X は任意の集合であり、B はブール領域である。 ブール領域 B とは、2つの元からなる集合であり、B = {0, 1} で表される。その元は真理値を表すと解釈され、例えば 0 = false、1 = true とする。すなわち、任意の引数について真偽を判定する関数と言える。 数学、数理論理学、統計学、あるいはこれらの応用分野では、ブール値関数は特性関数、指示関数、述語、命題などと呼ばれる。これらの用途すべてにおいて、その用語が記号的あるいは統語的なものではなく、数学的なオブジェクトを指していると理解される。 真理の形式意味論においては、真理述語とは、形式言語における文の述語であり、論理的に解釈すると、その文が真
このページ名「マックチューター数学史アーカイブ」は暫定的なものです。 議論はノートを参照してください。(2012年11月) マックチューター数学史アーカイブ(英語: MacTutor History of Mathematics archive)とはジョン・J・オコナーとエドマンド・F・ロバートソンが作成し、スコットランドにあるセント・アンドルーズ大学がホスティングしている有名な曲線に関する情報や数学史に関する様々な話題や多くの数学者の伝記を載せているウェブサイトである。 このウェブサイトは同作者による18メガバイトのHyperCardデータベースである「マスマティカル・マックチューター・システム(Mathematical MacTutor system)」という大規模プロジェクトの一環であり、マックチューターは広範囲の数学的な話題を扱っているがコンテンツは作者の興味と熱意に左右される形で
原文と比べた結果、この記事には多数の(または内容の大部分に影響ある)誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。(2018年1月) この項目「三次元の点群」は途中まで翻訳されたものです。(原文:Point groups in three dimensions) 翻訳作業に協力して下さる方を求めています。ノートページや履歴、翻訳のガイドラインも参照してください。要約欄への翻訳情報の記入をお忘れなく。(2018年1月) 幾何学において、三次元の点群は原点を固定させる、またはそれ相当に、球面の等長群(英語版)であるところの三次元の等長群である。それは原点が固定された等長写像の群、またはそれ相当に、直交行列の群である、直交群の部分群である。そのものはすべての等長写像のユークリッドの運動群の部分群である。 幾何学的対象の回転対称群(英語版)
マリアヴァン解析(マリアヴァンかいせき)とは、確率解析学において伊藤解析と並ぶもう1つの解析方法である。 マリアヴァン解析は、ヘルマンダー条件が確率微分方程式の解に対する密度の存在と滑らかさの十分条件であることの証明に貢献したポール・マリアヴァンにちなんで名付けられた。ヘルマンダー自身による証明は偏微分方程式の理論に拠った。マリアヴァン解析は確率偏微分方程式にも応用可能である。 概要および沿革[編集] マリアヴァンは、マリアヴァン解析を導入し、ヘルマンダー条件が確率微分方程式の解の密度の存在の十分条件であることに確率論に基づいた証明を与えた。ヘルマンダー自身による証明は偏微分方程式の理論に拠った。 マリアヴァン解析を用いることで、マリアヴァンは解の密度に対する正則性の限界を証明することができた。 マリアヴァン解析には確率偏微分方程式が応用されている。 不変性原理[編集] 実数全体の上での通
数学における凹関数(おうかんすう、英: concave function)とは、その符号反転が凸関数となるようなものを言う。凹関数の同義語として、函数が下に凹[1]、下方凹[2]または上に凸[3]、上方凸[4]などがある。 定義[編集] 凹関数のグラフ 区間(あるいはより一般に、ベクトル空間内の凸集合)で定義された実数値関数 f が凹であるとは、f が区間内の任意の x, y, および区間 [0, 1] 内の任意の実数 α について不等式 を満たしていることをいう[5]。また狭義凹であるとは、不等式 を満たすことをいう。ただし α ∈ (0, 1) は任意、x ≠ y とする。実関数 f: R → R に対してはこの定義は単純に、x と y の間の任意の z に対する f のグラフ上の点 (z, f(z)) が (x, f(x)) と (y, f(y)) を結ぶ直線よりも上の位置にきている
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "極限順序数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2017年9月) ωω までの順序数全体の表現: 螺旋の各周回の区切りは ω の冪を表している。極限順序数は、0 でなく、直前の順序数を持たない順序数だから、例えば、 ω や ω2 などがそうである。 集合論および順序論(英語版)における極限順序数(きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal)は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別
数学の位相空間論関連分野における位相的性質(いそうてきせいしつ、英: topological property)または位相不変量(いそうふへんりょう、英: topological invariant)は、位相空間が持つ同相写像のもとで保たれる性質を言う。すなわち、位相空間が持つ何らかの性質が位相的性質であるとは、その性質を持つ任意の空間 X を考えたとき、X に同相な位相空間は何れも必ずその性質を持っていることが言えるということを意味する。形式ばらずに言えば、位相的性質は、空間の開集合の言葉で書けるような位相空間の性質のことと思ってよい。 位相幾何学においてよくある問題の一つに、ふたつの空間が同相か否かを決定する問題がある。ふたつの空間が同相でないことを示すには、それらの間で一致しない位相的性質を一つ挙げることが十分である。 主な位相的性質[ソースを編集] 濃度[ソースを編集] 濃度 |X
アレクサンドリアのメネラウス ([ˌmɛnɪˈleɪəs]; ギリシャ語: Μενέλαος ὁ Ἀλεξανδρεύς, Menelaos ho Alexandreus; 70年 – 140年ごろ)は、古代ギリシア[1]の数学者、天文学者。曲面上の測地線を自然における直線の類似物として初めて認識した。 生涯・業績[編集] Sphaericorum libri tres メネラウスの生涯についてはほとんど知られていないが、ローマに住んでいたと考えられており、おそらく青年期はアレクサンドリアで過ごした後ローマに引っ越したとされる。アレキサンドリアのパップスとプロクロスから「アレクサンドリアのメネラウス」と呼ばれている。ルキウスとの会話はプルタルコスにより記録されている。 プトレマイオス(西暦2世紀)は自身の著作『アルマゲスト』(VII.3)の中で98年1月にメネラウスがローマで行った2つの天
平方度(へいほうど、en:square degree)は、立体角の非SI単位である。1 平方度は、一辺を 1 度(度数法による)とする正方形と同じ面積を持つ球面を切り取る立体角である。平方度の単位記号は、deg2 がよく使われる。 1 deg2 = ≒ 0.000 304 617 419 79 sr = 0.304 617 419 79 msr である(sr はステラジアン、msr はミリステラジアン)。逆に、 1 sr = 約3282.806 350 012 deg2 である。 使用[編集] 星座などの大きさを表すために用いられることが多い。しかし、国際単位系でも日本の計量法でも、平方度を認めていない。立体角のSI単位(SI組立単位)及び計量法上の法定計量単位は、ステラジアン(単位記号は、sr)だけである。 球面全体(または天球全体)の立体角は 4π sr ≈ 12.566 370 61
数学における実または拡大実数値函数の正成分(せいせいぶん、英: positive part)および負成分(ふせいぶん、英: negative part)は、その函数から定まる二つの特定の非負値函数である。 元の函数が正の値を取る場合、その正成分は元の函数と同じ値を取り、元の函数がそれ以外の値を取る場合、正成分は 0 を値とする。 負成分も同様に、元の函数が負の値を取る場合、その負成分は元の函数の値と大きさが等しく符号だけ異なる正の値を取り、元の函数がそれ以外の値を取る場合、負成分は 0 を値とする。 より一般に、全順序群に値をとる任意の函数に対して正成分と負成分の概念は定義できるということに注意せよ。 函数 f とその正成分 f+ および負成分 f−: 直観的には正成分 f+ のグラフは f のグラフを x-軸から下はちょん切って、その部分では 0 となるものとしてつなぎ直したものとして得
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