2つのボールをぶつけると円周率がわかる - 大人になってからの再学習
一か月ほど前に New York Times で紹介されていた記事。 The Pi Machine - NYTimes.com ここで紹介されているのは、なんと驚くべきことに、2つのボールをぶつけるだけで円周率（3.1415...）の値がわかる、という内容。 これだけだと、全然ピンとこないと思うので、もう少し詳しく説明すると、次のようなことが書かれている。 ↓2つのボールを、下の図ように壁と床のある空間に置く。 ↓その後、壁から遠い方のボールを、他方に向かって転がす。 後は、ボールが衝突する回数をカウントするだけで、円周率がわかるらしい。 これでも、なんだかよくわからない。 まず2つのボールが同じ質量である場合を考えてみよう。 まず、手前のボールが他方のボールにぶつかる（これが1回め）。 続いて、ぶつかったボールが移動して壁にぶつかる（これが2回め）。 壁にぶつかったボールが跳ね返ってきて
ソディの6球連鎖 - Wikipedia
図1：ソディの6球連鎖の説明図。「外球（灰）に内接し、互いに接する2つの球（赤、橙）の周りを取り巻く球（緑）の連鎖数は、常に6となる」 和算書『古今算鑑』にあるソディの6球連鎖に関連する問題 ソディの6球連鎖（ソディのろくきゅうれんさ、英: Soddy's hexlet）とは、イギリスの化学者フレデリック・ソディが1936年に学術雑誌ネイチャーに発表した[1]、幾何学の定理に現れるネックレス状の球の連鎖である。6球連鎖の定理の主張によれば、外球 O0に内接し、かつ互いに接している2つの核球 O1, O2があるとき、O0に内接し、O1, O2と外接し、隣同士が外接する球の連鎖数は常に6となる。また、連鎖する6球 S1, …, S6の半径をr1, …, r6とする場合、それらは という関係を満たす[2]。なお、同じ内容がそれより110年以上も前の1822年に、日本の入澤新太郎博篤によって既に算
「走れメロス」は走っていなかった!? 中学生が「メロスの全力を検証」した結果が見事に徒歩
一般財団法人 理数教育研究所が開催した「算数・数学の自由研究」作品コンクールに入賞した「メロスの全力を検証」（PDF）という研究結果がとても興味深いです。中学2年生の村田一真くんによるこの検証では、太宰治の小説「走れメロス」の記述を頼りにメロスの平均移動速度を算出。その結果、「メロスはまったく全力で走っていない」という考察に行き着きます。端的にいうとメロスは往路は歩いていて、死力を振りしぼって走ったとされる復路後半の奮闘も「ただの早歩きだった」というのです！ なんてこった！ 中学校の部で最優秀賞に輝いた「メロスの全力を検証」 メロスは作中、自分の身代わりとなった友人を救うため、王から言い渡された3日間の猶予のうち初日と最終日を使って10里（約39キロ）の道を往復します。今回の研究ではこの道のりにかかった時間を文章から推測。例えば往路の出発は「初夏、満天の星」とあるので0時と仮定、到着は「日
蔵本モデル - Wikipedia
蔵本モデルは蔵本由紀によって提案された同期現象を記述する数学モデルである。特に、相互作用のある非線形振動子集団の振る舞いを記述するモデルである。このモデルは化学的、生物学的な非線形振動子系の振る舞いを示唆するものであり、幅広い応用が見られる。 このモデルの前提として、完全に独立（またはほぼ独立）した振動子に弱い相互作用がはたらくこと、そしてこの相互作用は二つの振動子間の位相差の正弦関数として与えられる、という仮定がある。 定義[編集] 最も知られた形式の蔵本モデルの場合、各々の振動子らは固有振動数を持ち、他の全ての振動子と等しく相互作用している、と考えられる。驚くべきことに、この非線形モデルはの極限において上手く変形することで厳密に解くことができる。 最も知られた蔵本モデルの形式は次のような支配方程式に従う。
算数が得意な子の脳は、どこが違うのか？ (鈴木 工) | プレジデントオンライン
問題を解くとき、脳の複数の箇所が稼働 世の中には、幼くして方程式が解けたり、微分積分を理解できたりするスーパーキッズがいるという。一方で「数字を見るだけで頭が痛くなる」というような算数嫌いの子も存在する。算数ができる子とできない子は何が違うのだろう。そもそも生まれつき脳に差があるのだろうか。MRIによる脳画像分析のスペシャリストで「脳の学校」代表の加藤俊徳氏に、その違いを聞いてみた。 「算数ができるかできないかは、生まれつきの能力の差ではありません。訓練すれば誰でもできるようになるのです」と言う加藤氏。「うちの子は算数ができない」と嘆いている親にとっては朗報だが、ではいったいどこで差がつくのだろうか。 「ポイントは、脳の中に問題を解く回路ができているか、そしてそれが太いかどうかです」 加藤氏はまず、算数や数学の問題を解く際に脳の中でどんなことが起こっているかを説明してくれた。 「算数の問題
秘書問題 - Wikipedia
最善を選択する確率は に収束する。 別の解法[編集] 秘書問題や類似する問題の直接的解法として Odds algorithm がある。 ヒューリスティックの性能[編集] Stein, Seale, and Rapoport (2003)[1]では、秘書問題を解く際に使われる心理学的にもっともらしいヒューリスティクスの成功確率を検討している。彼らが検討したヒューリスティクスは以下のようなものである。 カットオフ規則(CR) 最初の人の応募者を採用しない。その後、最初の候補者（そこまでで1位の応募者）を採用する。これは、 の CSP の最適ポリシーの特殊ケースである。 候補者カウント規則(CCR) 番目の候補者を選択する。最初の応募者をスキップするわけではない。単に候補者（それまでの1位）を数えるだけで、応募者の順序を深く考慮しているわけではない。 非候補者の次規則(SNCR) 非候補者（そこ
誰もがどこかでつまずいた→小学校の算数から大学数学まで126の難所を16種類に分類した
数学嫌いはどこから生まれてくるのか？ よく聞かれる「役に立たないから」なる理由は、実のところ良くて後付け悪くて言い訳であって、その実態は、算数や数学につまずいて分からなくなった人たちが、イソップ寓話のキツネよろしく「あのブドウ（数学）は酸っぱい（役に立たない）」と言い広めているのである。 ならば撃つべきは〈算数・数学のつまずき〉である。 以下に示すのは、小学校の算数から大学基礎レベルの数学まで、「つまずいて分からなくなる」箇所を集めて１６のカテゴリーに分類したものである。 一度もつまずかず専門レベルまで一気に駆け上がることのできた一握りの天才を除けば、数学が得意な人も不得意な人もみなどこかでつまずいたであろう、さまざまな算数・数学の難所が挙げられている。 この分類が示そうとしていることのひとつは、同じ〈根っこ〉をもったつまずきが、小・中・高・大の各レベルで繰り返し出現することである。 たと
ボロノイ図 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "ボロノイ図" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2011年10月） ボロノイ図の一例 個々の色分けが一つの領域を表す ボロノイ図（ボロノイず、英: Voronoi diagram）は、ある距離空間上の任意の位置に配置された複数個の母点（英: site、サイト）に対して、同一距離空間上の他の点がどの母点に近いかによって領域分けされた図のことである。特に二次元ユークリッド平面の場合、領域の境界線は、各々の母点の二等分線の一部になる。母点の位置のみによって分割パターンが決定されるため、母点に規則性を持たせれば美しい図形を生み出すこと
「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」
思った以上に沢山の人達から解答をもらったので、せっかくなのでまとめてみました。 みなさんからの解答の中にもありますが、これはもともと「半円を無限に分割したら」というパラドックスから着想を得たものです。 とあるところで話題に出したら大いに盛り上がったのでせっかくなので分かりやすい解答を求めて投げてみた結果です。 続きを読む
エルデシュ数 - Wikipedia
エルデシュ数（エルデシュすう、Erdős number）またはエルデシュ番号とは、数学者同士、あるいはもっと広く科学者同士の、共著論文による結び付きにおいて、ハンガリー出身の数学者ポール・エルデシュとどれだけ近いかを表す概念である。エルデシュに共著論文が非常に多いことから、その友人たちによって、敬意とユーモアを込めて考え出された。今日では科学者のコミュニティにおいてよく知られており、エルデシュと近いことが名誉であるかのように半ば冗談めいて語られる。 定義[編集] アリスはエルデシュと共著で論文を書き、ボブとも共著で論文を書いているとする。そして、ボブとエルデシュには直接の共著論文がないとする。ボブが共著論文をたどってエルデシュに行き着くためには2回のステップが必要であるため、ボブにはエルデシュ数2が与えられる。 ある者が新たにエルデシュ数を得るためには、すでにエルデシュ数が与えられている者
スターリングの近似 - Wikipedia
この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。脚注を導入して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2015年12月） log n! と n log n − n は n → ∞ のとき漸近する スターリングの近似（英: Stirling's approximation）またはスターリングの公式（英: Stirling's formula）は、階乗、あるいはその拡張の一つであるガンマ関数の漸近近似である。名称は数学者ジェイムズ・スターリング（英語版）にちなむ。 概要[編集] スターリングの近似は精度に応じていくつかの形がある。応用上よく使われる形の公式は、ランダウの記号を用いて、 である。O(log n) における次の項は (1/2)log 2πn である。故に、次によい近似の漸近公式（英語版）は である[1]。（ここで記号 は両辺
大学入試問題で語る 数論の世界
素数、完全数、ゼータ関数…数論の入門書は多々あれど、料理の仕方が素晴らしい。大学入試問題を俎上にのせ、次々と問題を解くことで、数論の深さと美しさを堪能するのだから。 高校生なら受験勉強を兼ねた好著になるが、むしろ本書は受験を終えた人にオススメ。受験勉強として通り過ぎるには勿体ないから。かくいうわたしこそ、学び直すべき。「数学は暗記科目」と割り切ってチャート式をひたすら"覚えて"しのいでしまったからなぁ。 そして本書は、「問題を解いて終わり」ではない。解いた後、問題が語りかけている世界の本質を知らせるよう、問題を「改変する」のだ（ここが面白い＆恐ろしい）。面白いというのは、ほんの一部を変えるだけで難問になりかわり、全く異なるアプローチを要するところ。さらにちょっとヒネるだけで、大学入試問題が、今なお解決されていない問題に大化けする。数論の先端を知るとともに深淵を覗き見たような気分になる。 た
Mathematician claims breakthrough in Sudoku puzzle - Nature
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Modern Syntax
さて、モダシンラジオのデータをホスティングしてもらっているSpotify for Podcasters(旧Anchor）の私のページはこちらです。 https://podcasters.spotify.com/pod/show/kazuyoshi-nagasawa このSpotify for PodcastersページのRSSは以下になります。こちらのRSSではenclosureタグなどでlength値などがしっかり入っているのでこれを購読しておくとよいかと思います。 https://anchor.fm/s/66ff2830/podcast/rss ここで聴く！という人は以下のプレイヤーからどうぞ。 んで、これまではGoogle Drive上に保存したmp3ファイルをaudioタグで聞けるようにしていたのですが、Google Driveの仕様がかわったのか以前の方法だとエラーになってしまい
Moving sofa problem - Wikipedia
What is the largest area of a shape that can be maneuvered through a unit-width L-shaped corridor? (more unsolved problems in mathematics) In mathematics, the moving sofa problem or sofa problem is a two-dimensional idealisation of real-life furniture-moving problems and asks for the rigid two-dimensional shape of largest area that can be maneuvered through an L-shaped planar region with legs of u
球面上の最も離れた点 - 小人さんの妄想
球面上で最も離れた点の配置は、どんな形をしているでしょうか？ 例えば地球のような球面の上で、お互いに反発し合う磁石のような点を幾つか置いたとすると、磁石はどの位置で落ち着くでしょうか？ （反発する磁力は地面の中は通らず、球の表面を通じて働くものとします。） 磁石が２個なら話は簡単で、北極と南極のように、ちょうど反対の位置にくるでしょう。 磁石が３個だったら、赤道の上で正三角形を成すような形に置かれることでしょう。 磁石が４個だったなら、正４面体の頂点を成すような形に置かれることでしょう。 磁石が５個だったら？ ・・・簡単にはわからないでしょう。 磁石が６個だったなら、正８面体の頂点を成すような形に置かれることでしょう。 磁石が７個だったら？ ・・・これは、かなりの難問ではないでしょうか？ そこで、プログラムを作って試してみることにしました。 * 球面上の最も離れた点 Java applet
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