Monsky's theorem - Wikipedia
In geometry, Monsky's theorem states that it is not possible to dissect a square into an odd number of triangles of equal area.[1] In other words, a square does not have an odd equidissection. The problem was posed by Fred Richman in the American Mathematical Monthly in 1965 and was proved by Paul Monsky in 1970.[2][3][4] A square can be divided into an even number of triangles of equal area (left
頂点被覆 - Wikipedia
グラフ理論において、グラフGの頂点からなるある集合VがGの頂点被覆（ちょうてんひふく、英: vertex cover）であるとは、Gのどの辺をとってもその端点のどちらかがVに含まれるという意味である。最小頂点被覆を求める問題は計算機科学における古典的な最適化問題であり、近似アルゴリズムのある典型的なNP困難な問題でもある。その決定問題版である頂点被覆問題は計算複雑性理論における古典的なNP完全問題である。さらに頂点被覆問題には固定パラメータ容易性 (fixed-parameter tractability) があり、パラメータ化計算量理論の中心問題の1つである。 最小頂点被覆問題は、整数計画問題に定式化でき、その双対問題は最大マッチング問題である。 グラフ G の頂点被覆とは頂点の集合 C であり、G の各辺は C 内の少なくとも1つの頂点と接合する。このとき集合 C は G の辺を「被覆
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頂垂線 (三角形) - Wikipedia
三角形の三本の頂垂線は一点（垂心）において交わる。鋭角三角形の垂心はその三角形の内部に存在する。 初等幾何学における三角形の頂垂線（ちょうすいせん、英: altitude）または単に垂線は、その三角形のひとつの頂点からその対辺（この場合、その頂点に対する「底辺」と呼ぶ）を含む直線へ垂直に引いた線分を言う[注釈 1]。この対辺を含む直線のことを、その頂点または頂垂線に対する「延長された底辺」(extended base) あるいは「底辺の延長（線）」と呼ぶ[注釈 2]。（頂）垂線と底辺（の延長線）との交点は、（頂）垂線の足 (foot) と言う。頂垂線の「長さ」（しばしばこれを「高さ」("the altitude") と呼ぶ）は、頂点と底辺（の延長線）との間の距離（すなわち、頂点とそこから引いた頂垂線の足との間の距離）を言う。頂点から頂垂線をその足まで描くことを、頂点から「垂線を降ろす」(d
階数因数分解 - Wikipedia
階数因数分解（かいすういんすうぶんかい、英: rank factorization）あるいは階数分解（rank decomposition）とは、数学の線型代数学の分野において、階数が のある与えられた 行列 のある 行列 と 行列 の積としての表示 のことを言う。 全ての有限次元行列には階数因数分解が存在する： を、列階数が であるような 行列とする。すなわち、 には 個の線型独立な列が含まれる。あるいは同じ意味であるが、 の列空間の次元は である。 を、 の列空間の任意の基底とし、それらを列ベクトルとして 行列 を構成する。したがって、 の全ての列ベクトルは、 の列の線型結合である。正確に言うと、 を第 列が であるような 行列とすれば、 となる。ただし は、基底 に関する のスカラー係数である。このことは、 を -成分とする行列 によって が得られることを意味する。 rank(A)
対角射 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "対角射" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2009年12月) 対角射 (英: diagonal morphism)とは圏論の概念で、集合の圏における対角写像を一般の圏に拡張した概念である。 本項では対角射と関係がある対角関手（英: diagonal functor）についても述べる。 積 が存在する任意の圏 の任意の対象 に対して、 for を満たす対角射 (diagonal morphism) が存在する。ただし は 次成分への自然な射影射である。この射の存在は（同型を除いて）積を特徴づける普遍性の結果である。ここでの
リュカ–レーマー–リーゼル・テスト - Wikipedia
リュカ–レーマー–リーゼル・テスト（英: Lucas–Lehmer–Riesel test、またはLLRテスト）とは、数学の特に数論において、N = k ⋅ 2n − 1（ただし k は k < 2n を満たす奇数）という形の正整数に対する素数判定法である。この判定法はリュカ–レーマー・テストに基づいてハンス・リーゼルにより開発された[1]。第2項の符号が異なる N′ = k ⋅ 2n + 1（プロス数）に対しては、プロスの定理（英語版）に基づくラスベガス法や Brillhart–Lehmer–Selfridge[2]の結果に基づく決定的アルゴリズムが用いられる。 アルゴリズム[編集] この判定法のアルゴリズムはリュカ–レーマー・テストに非常によく似ているが、用いる数列 {ui} の初期値 u0 が k によって異なる。 数列 {ui} を以下で定義する。初期値 u0 は次節のように定め、
三個の平方数の和 - Wikipedia
この記事は「平方数」、「三角数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られている[1]ものであるが呼びかたが定まっていない。日本語では「三平方和定理」などと呼ばれることもあるが、ピタゴラスの定理とは全く別のものである。 自然数が三個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、により、と表されることである。逆に、で表される自然数は三個の平方数の和で表されない。これはディオファントスの時代から研究されてきた[1]ことであるが、1798年、ルジャンドルによって証明された。 証明[編集] 十分条件の証明は初等的に行うことは可能であるが、二次形式に関する議論を必要とし、複雑である[2]。必要条件の証明は次に記すとおり、容易である。 必要条件[編集] が三個の平方数の和で表されないことは、から明らかである。仮りに と表されるとすれば、は全て偶数であるから となり、数学的帰納法に
ビネ・コーシーの恒等式 - Wikipedia
代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、英: Binet–Cauchy identity)とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネおよび オーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する、次の恒等式[1] のことである。ここで、 は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。 ci = ai かつ di = bi とすれば、実数に対するラグランジュの恒等式（英語版）が得られる。これはユークリッド空間 におけるコーシー＝シュワルツの不等式を強化したものである。 証明[編集] 右辺第2項を展開すると となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。) ビネ・コーシーの恒等式とスカラー4重積[編集] n = 3, のとき すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式 が得られる。（この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。） この式をスカラ
スツルム＝ピコーンの比較定理 - Wikipedia
数学の常微分方程式の分野における、スツルム＝ピコーンの比較定理（スツルム＝ピコーンのひかくていり、英: Strum–Picone comparison theorem）とは、実領域におけるある線型微分方程式の解が振動的であるかあるいは非振動的であるかを判別するための基準を与える、古典的な定理の一つである。ジャック・シャルル・フランソワ・スツルム（英語版）とマウロ・ピコーン（英語版）の名にちなむ。 i = 1, 2, を、区間 [a, b] 上の実数値連続関数とし、 を二つの自己随伴形式の二階同次線型微分方程式とする。また および が成立しているものとする。 u を、z1 および z2 において連続する根を持つような (1) の非自明解とし、v を (2) の非自明解とする。このとき、次の性質のいずれか一つが成立する。 v(x) = 0 を満たすようなある x が区間 [z1, z2] 内に
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内周 (グラフ理論) - Wikipedia
数学のグラフ理論の分野における内周（ないしゅう、英: girth）とは、グラフに含まれる最小の閉路の長さのことを言う[1]。もしもグラフが閉路を含まないなら（すなわち、無閉路グラフであるなら）、その内周は無限大と定義される[2]。例えば、（平方）4-閉路グラフの内周は4である。格子グラフの内周も4である。三角形メッシュの内周は3である。内周が4以上のグラフは、トライアングルフリー（英語版）である。 ケージ[編集] 立方体グラフ（すべての頂点の次数が3であるグラフ）で、その内周が（可能な限り最小な） g であるようなものは、g-ケージ（あるいは (3,g)-ケージ）として知られる。ピーターセングラフは唯一つの 5-ケージであり（内周が5であるような最小の立方体グラフである）、ヒーウッドグラフは唯一つの 6-ケージ、マギーグラフは唯一つの 7-ケージ、トゥッテ8-ケージ（英語版）は唯一つの 8
五角箱を贈ろう - 偽計数学妨害罪
こんにちは、108Hassiumです。 5日ぐらい前に気づいたんですが、今って2月なんですね。 皆さんにとっての2月のイメージといえば何ですか？ やっぱり2月といえば、 ですか？ 私は別にそのようには思っていないのですが、折角なのでバレンタインデーに役立ちそうな情報をお伝えしたいと思います。 今回紹介するのは、 です。 2月といえば一部の学生にとっては受験シーズンのはず。 「五角」と「合格」を掛けた縁起物として、五角形の箱でプレゼントを贈ってみてはいかがでしょうか。 必要なモノ 厚紙(マス目のある工作用紙が最適) 厚紙を切るのに使うもの(カッターナイフ、カッターマット、定規等) ※先程の画像に写ってたものを「完成」と定義しています。ラッピングペーパーなどの装飾アイテムは各自用意してください。 ノリやテープを一切使わないのが特徴です。 作り方 まず、以下の図の通り厚紙を切り、折り目をつけてく
Planarity - Jason Davies
Can you untangle the graph? See if you can position the vertices so that no two lines cross. Number of line crossings detected: 0 0 moves taken in 0s. Number of vertices: Generate new, random graph Highlight non-intersecting lines. Don't worry, the game only generates solvable graphs! These are known as planar graphs.
完全関手 - Wikipedia
この項目では、ホモロジー代数における完全関手について説明しています。正則圏における完全関手については「正則圏」をご覧ください。 ホモロジー代数において、完全関手とは完全列を保存する関手のことをいう。完全関手は対象の表現にそのまま適用できるため便利である。ホモロジー代数の多くの研究は、完全関手にはならないがその不完全さを制御できる関手を扱うためのものである。 定義[編集] PとQをアーベル圏とし、F: P→Qを共変加法的関手(すなわち、とくに、F(0)=0である)とする。 0→A→B→C→0 をPの対象からなる短完全列とする。 このとき、Fは F(A)→F(B)→F(C) が完全列となるとき半完全という。これは位相的半完全関手（英語版）の概念と似ている。 0→F(A)→F(B)→F(C) が完全列となるとき左完全という。 F(A)→F(B)→F(C)→0 が完全列となるとき右完全という。 0
スーパー楕円 - Wikipedia
スーパー楕円の例 スーパー楕円（スーパーだえん、英: Superellipse）は楕円に類似した閉曲線である。この曲線は長軸、短軸およびそれらについての対称性という点で楕円と同様の幾何学的特徴を持つが、全体の形状は異なる。 直交座標系では、次の式を満たすすべての点 (x, y) の集合である ここで、n、a、bは正の数であり、| |は絶対値を示す。 媒介変数 で表示すると となる。sgn は符号関数である。 関連項目[編集] アステロイド (曲線) デルトイド ルーローの三角形 Lp空間 出典[編集] Barr, Alan H. (1983), Geometric Modeling and Fluid Dynamic Analysis of Swimming Spermatozoa, Rensselaer Polytechnic Institute (Ph.D. dissertation
数学探究所＜数学サイト＞ on Twitter: "美しい数式から美しい結果が導かれるとき，ある種の感動が生まれます。#数学 https://t.co/GJJMBJm2K1"
美しい数式から美しい結果が導かれるとき，ある種の感動が生まれます。#数学 https://t.co/GJJMBJm2K1
シャピロ–ウィルク検定 - Wikipedia
シャピロ–ウィルク検定（シャピロ–ウィルクけんてい、英語: Shapiro–Wilk test）とは、 統計学において、標本 x1, ..., xn が正規分布に従う母集団からサンプリングされたものであるという帰無仮説を検定する検定である。この検定方法は、サミュエル・シャピロ（英語版）とマーティン・ウィルク（英語版）が1965年に発表した[1]。 定義[編集] 検定統計量は、 ただし、 x(i)（括弧で囲まれた添え字「i」のついた）は、i番目の順序統計量、つまり、標本の中でi番目に小さい数値である。 は、標本平均である。 定数aiは、次の式によって与えられる。 ただし、 m1, ..., mnは、標準正規分布からサンプリングされた独立同分布の確率変数の順序統計量の期待値であり、V はこの順序統計量の分散共分散行列である。 帰無仮説は、Wが小さすぎる場合に棄却される。 参考文献[編集] Al
林俊介@数学YouTube1.87万人 on Twitter: "この (3) の証明，初めて知ったときマジびっくりした。 √2^√2 が無理数かどうかは結局わからないのに， (無理数 x)^(無理数 y) = (有理数) となるような無理数の組 (x, y) の存在がいえてしまう！ https://t.co/j2w6sM5CkO"
この (3) の証明，初めて知ったときマジびっくりした。 √2^√2 が無理数かどうかは結局わからないのに， (無理数 x)^(無理数 y) = (有理数) となるような無理数の組 (x, y) の存在がいえてしまう！ https://t.co/j2w6sM5CkO
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分岐 (数学) - Wikipedia
原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。 系統的に分岐を図示：Y 上のほとんど全ての点のファイバーは、3個の点から構成される。しかし例外は、Y のドットでマークした 2か所の点では、ファイバーがそれぞれ 1つと 2つの点からなる。写像 f は Y のこれらの点で分岐するといわれる。 数学における分岐 (ramification) とは、例えば多価関数としての平方根が零点から符号の異なる二つの枝に分かれているような意味で、「枝分かれ」することをいう。またその逆に、例えばある点で退化しているような被覆写像により複数のファイバーが合流するような場合も（逆の視点から見れば枝分かれしているので）分岐という。 複素解析[編集] 複素解析では、基本モデルとして、z = 0
グーグルが開発した画像圧縮ツールSquoosh。フロント開発向けにNode.jsで扱う方法まとめ - ICS MEDIA
グーグルが開発した画像圧縮ツールSquoosh。フロント開発向けにNode.jsで扱う方法まとめ 『Squooshスクーシュ』というGoogleが開発した画像圧縮ウェブアプリがあります。ブラウザで変換結果を見ながら圧縮設定ができるので、画像圧縮の難しい知識を持たない方でも使いやすいことが特徴です。圧縮だけでなく、WebPなどの各種フォーマットへの変換・リサイズといったこともできる便利ツールです。 このSquooshをNode.jsで扱える『libSquoosh』が存在します。libSquooshは大量の画像を一括で圧縮、WebPへの変換、リサイズなどの処理をこれ1つで完結できるのがポイントです。昨今のウェブはページの読み込み時間が重視される傾向があります。画像のファイルサイズは読み込み時間に大きく影響するため、画像圧縮は重要なテクニックです。libSquooshをwebpack・Viteと
リモートデスクトップ接続でシャットダウンボタンを表示させない方法 | パソコン工房 NEXMAG
リモートデスクトップ接続時に、手元の端末の操作と混同し誤って接続先のパソコンをシャットダウンしてしまわないようにするため、接続先のパソコンのシャットダウンボタンを表示させないよう設定をすることができます。 特に遠隔地で誤って接続先のパソコンの電源を切ってしまうとリカバリーするのは大変ですので注意していてもついやってしまいがちなこの行為を防ぎ、安心してリモート操作ができるようにスタートメニューにシャットダウンと再起動を表示させない方法をご紹介します。 シャットダウンと再起動を非表示にする設定 それでは実際に設定していきます。Windows 10 Proがインストールされた接続先のパソコンで設定してください。 リモートデスクトップの接続元となるお手元のパソコンでの設定とならないようご注意ください。 この方法は、元々は電源を切る必要のないサーバーマシンなどで使用されることを想定された機能です。
「別プロセスの PHP が今何をしているか」を実況するプログラムを PHP で作った - Qiita
0 fgets <internal>:-1 1 <main> <internal>:-1 0 fgets <internal>:-1 1 <main> <internal>:-1 0 fgets <internal>:-1 1 <main> <internal>:-1 ... 0 time_nanosleep <internal>:-1 1 PhpProfiler\Lib\Loop\LoopMiddleware\NanoSleepMiddleware::invoke /home/sji/work/php-profiler/src/Lib/Loop/LoopMiddleware/NanoSleepMiddleware.php:33 2 PhpProfiler\Lib\Loop\LoopMiddleware\KeyboardCancelMiddleware::invoke /home/sji/
ラゲールの陪多項式とassociated Laguerre polynomialsの指しているものが違った件 - Qiita
\left(x\frac{d^2}{dx^2}+(k+1-x)\frac{d}{dx}+(n-k)\right)L_n^k(x)=0 \tag{1} \Psi(r, \theta, \phi)=N_{l,n} \left(\frac{\rho}{n}\right)^l e^{-\frac{\rho}{n}} L_{n+l}^{2l+1}\left(\frac{\rho}{n}\right) \times M_{l,m} P_l^{|m|}(\cos\theta)e^{im\phi}\\ \ \\ \rho=\frac{Z}{a_0}r,\; a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{\mu e^2},\\ N_{l,n}=-\sqrt{\frac{4(n-l-1)!}{n^4[(n+l)!]^3}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{\fr
力学系の平衡点の安定性 - Qiita
ちょっと探せば力学系の情報は無限に出てきますが、自分で整理したいと思ったので残しておきます。以下はちゅらデータでの社内研修を一部圧縮して一部丁寧にしたような内容です。 力学系とは 連続と離散 以下ふたつの条件を満たす可微分関数 $\varphi: T\times S\rightarrow S$ を力学系といい、特に時刻 $T$ が $\mathbb{R}$ の場合は連続力学系、$\mathbb{Z}$ の場合は離散力学系と呼びます。 $\varphi\left(0, \cdot\right)$ は恒等関数 任意の時刻 $t_1, t_2 $ に対し $\varphi\left(t_1,\cdot\right)\circ \varphi\left(t_2, \cdot\right) = \varphi\left(t_1+t_2, \cdot\right)$ つまりは動く点の時刻 $0$ での
ハッシュ値やランダムトークンが衝突する確率を求めるWebサービスを作った - Qiita
あらすじ ランダムトークンが衝突する確率について調べた 様々な条件で検証できるように、ハッシュ値（またはランダムトークン等）が衝突する確率を求めるWebサービスを作った きっかけ Webサービス等を開発していると、「ユーザーごとにユニークなトークンを発行したい」といったようなことが出てくるかと思います。 僕の場合は、 ユーザーのIDを連番じゃなくてランダムなトークンにしたい ユーザーがパスワードリセットするときに、トークンを発行して認証したい などの状況がありました。 データベース等を使っている場合は、カラムにユニーク制約を付けることで保障はできます。ですが、トークンが衝突してしまうと保存に失敗してしまうので、生成するときに衝突の確率は低くしたいです。 乱数とSHA-256等を使ってハッシュ値を生成するというのも考えられますが、SHA-256の場合だと64文字なので、URLとして表示すると
SymPyのシンボル生成について色々触れてみる - Qiita
以前の記事でもSymPyのシンボル生成についてある程度触れていましたが、その記事で漏れている点などもぼちぼちあったため再度記事にまとめておきます。 インストール手順などは今回はスキップするため、必要な方は以下の記事などをご確認ください。 ※記事の執筆者は理系出身ではないため数学の知識などで粗い点はご容赦ください。 使うもの Python 3.9.0 Jupyter (VS Code上のものを利用) sympy==1.8 Symbolクラスによるシンボル単体の作成 一番シンプルなシンボル単体の生成法としてはSymbolクラスを使う形となります。第一引数には基本的に割り当てる変数名と同じ名前の文字列を指定します。
【プログラマーのための統計学】 共分散と共分散行列 - Qiita
目次 プログラマーのための統計学 - 目次 概要 共分散と共分散行列(または分散共分散行列)について書く。 pythonのmultivariate_normalとかで使うやつ。 import numpy as np # 期待値 mean = np.array([3, 5]) # 分散共分散行列（covariance matrix） cov = np.array([[4, -1.2], [-1.2, 1]]) # 多変量正規分布に従う乱数を生成 np.random.multivariate_normal(mean, cov, size=200) 前提条件 この記事を読むには、以下を理解していることが前提となります。 共分散とは？何の役に立つの？ 国語の点数が高い人は、数学の点数も高いのか？といった傾向を見るときに役に立つ。 Xが国語の点数、Yが数学の点数としたとき、 「Xの偏差 × Yの偏差
yukicoder No.1658 Product / Sum - Qiita
今回は、 yukicoder の問題紹介・解説を行っていきたいと思います！ 2問目に紹介する問題はこちら！ 概要 問題 ： No.1658 Product / Sum レベル ： ★★ 実行時間制限 ： 2000 ms 問題文へのリンク↓↓ 問題文 $\displaystyle \frac{A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n}{A_1 + A_2 + \dots + A_N} = K$ を満たす $N$ 個の正の整数 $A_1, A_2, \dots, A_N$ を $1$ 組求めてください。 本問の制約のもとで、答えは必ず存在することが証明できます。 制約 $2 \leq N \leq 10^5$ $1 \leq K \leq 10^5$ 入力は全て整数 入力例 入力
7 の倍数の判定は 1000 進数における 11 の倍数判定と考えるとわかりやすいよという話 - Qiita
なんか見たので久しぶりに7の倍数について思いを馳せました。 7の倍数であるかどうかの判定は、他の数に比べて困難です。例えば、2や5だったら下一桁を見ればいいし、3や9だったら全ての桁を単純に足し上げていけばいいです。それに比べて、7の倍数であるかの判定は、 下から桁を3つずつ区切っていって、それらの値を順に足したり引いたりする という、一見とても非自明な操作を行います。これは1000進数の存在を考えることによって上手く整理できるので、説明していきます。 Lv1...2,4,5,8の倍数か？ そのために、単純な例として、2,4,5,8 の例を出していきます。2と5の場合は一番単純で、 -下1桁の数字が偶数であれば2の倍数 -下1桁の数字が0か5であれば10の倍数 と一瞬で判定ができます。 なぜ下1桁を見るだけでいいかというと、10進数だからです。1234 という数があった時に$1230+4$
フィボナッチ数の最大公約数 - Qiita
フィボナッチ数の最大公約数 (GCD of Fibonacci Numbers) @suharahiromichi 2022/01/21 2022/01/29 GCDの帰納法について修正した。 このソースは、以下にあります。 https://github.com/suharahiromichi/coq/blob/master/math/ssr_fib_3.v はじめに m番めとn番めフィボナッチ数の最大公約数は、mとnの最大公約数番めのフィボナッチ数に等しい、という定理があります。 これは エドゥアール・リュカ (ルーカス）が最初に報告したのをクヌース先生が紹介して広まったのだそうです。TAOCP[2]に掲載されているようですが、私が読んだのは [1]と[1'] のほうで、証明は演習問題(6.27)になっています。 そこで、早速答えをみると、フィボナッチ数の加法定理に相当する式から、「$
整数の除算と剰余の種類 - Qiita
はじめに 整数同士の除算/剰余演算を行う場合、端数処理の方法によって解がことなる. ここではそれぞれの場合についてどのような結果となるのかをまとめる. なお、例として挙げるコードは C# で書く. 剰余の計算方法 <商> = <被除数> / <除数> とするとき、 <剰余> = <被除数> - (<商> * <除数>) で表せる. 例として、 <被除数> = 42 <除数> = 7 とすれば、 <商> = 42 / 7 = 6 <剰余> = 42 - (6 * 7) = 0 となる. 商が整数とならない場合における、剰余のバリエーションがこの記事の主眼である. 以下、特に注意がない場合 q := <商> r := <剰余> x := <被除数> y := <除数> であるものとする. まとめの表 最後まで読むのは面倒かと思われるため先に一覧表を提示する. 端数処理 剰余の範囲 剰余の符号
コラッツの問題 Collatz problem を python で描画してみる。 - Qiita
はじめに 12/28~30 PythonBootCamp内で作成した関数を少しブラッシュアップして記事にしました。 コラッツの問題 Collatz problem とは コラッツの問題は非常に単純な問題ながら、いまだ自然数 n に対しての証明がなされていない。 2の68乗まではコンピューターで計算をして正しいことは確認ができているらしい。 任意の正の整数 n をとり、 n が偶数の場合、n を 2 で割る n が奇数の場合、n に 3 をかけて 1 を足す という操作を繰り返すと、どうなるか というものである。「どんな初期値から始めても、有限回の操作のうちに必ず 1 に到達する（そして 1→4→2→1 というループに入る）」という主張が、コラッツの予想である。 正確な定義などはWikipediaを参照してください。 コラッツの問題（コラッツのもんだい、Collatz problem）は、数
モンティ・ホール問題の答えは、ある意味 1/2 でも正しいんじゃないか - Qiita
モンティ・ホール問題 もちろん、扉を選び直したほうが正解となる確率が $2/3$ になることに異論は無い。その上で、ある意味答えを $1/2$ とする説を思いついた。 まずは 2/3 となるケースでシミュレート Python でシミュレーションをする。まずは $2/3$ となるケース。 import random def _choose_door(first_chosen_door, rest_door): return rest_door def main(trials=1000000, door_num=2): # 結果を格納する。 result = {True: 0, False: 0} # trials の回数だけ試行。 for i in range(trials): # ドアを 3つ 準備する。 doors = list(range(door_num + 1)) # 正解ドアを準
確率変数の変数変換についてメモ - Qiita
統計準一級のリベンジを狙ってます。ko_ya346です。 来年2月くらいに受験したく、統計学実践ワークブックを使ってちみちみ学習を進めています。 [https://www.amazon.co.jp/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E4%BC%9A%E5%85%AC%E5%BC%8F%E8%AA%8D%E5%AE%9A-%E7%B5%B1%E8%A8%88%E6%A4%9C%E5%AE%9A%E6%BA%961%E7%B4%9A%E5%AF%BE%E5%BF%9C-%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E5%AE%9F%E8%B7%B5%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%96%E3%83%83%E3%82%AF-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E7%B5%B1%E8%A8%88
Pythonでバーンズリーのシダを描いてみる - Qiita
Python + matplotlibを使ってバーンズリーのシダを描画してみます。 バーンズリーのシダとは バーンズリーのシダ（Barnsley's Fern）とはイギリスの数学者のマイケル・バーンズリーさん（Barnsley Michael）にちなんだ1988年ごろに発表された数学的に生成されるフラクタルのパターンです。シダの植物のようなパターンが描画されます。 ※写真はロイヤルティフリーの木陰で共存する白くて小さな花とシダ植物の写真を拡大・トリミング（JPG画像）より。 どういった計算なのか フラクタルの計算の一種で、前の座標点から確率に応じた変化処理が反映され新しい座標が算出され、結果的にシダの植物のような形状のパターンを生成します。 ※フラクタルに関しては以下のWikipediaの記事などを必要に応じてご確認ください。 シダの生成に使われる変換処理は以下の4つが存在します。それぞれ
Chainerチュートリアル問6.4(ベイズの定理)の解法3選と解説 - Qiita
問6.4(ベイズの定理) 一様な確率で1から6までの数が出るサイコロがあります。 サイコロを何回か連続で振る試行を考えます。サイコロを振った後、直前に出た数より大きい数が出たときに「ラッキーである」と呼ぶことにします。 例えばサイコロを5回振って 2,5,3,4,4 と順に出た場合、2回目と4回目はラッキーですが、それ以外はラッキーではありません。 いま、サイコロを 10 回振って一度もラッキーではなかったとします。このとき、次にサイコロを振ってラッキーになる確率はいくらになるでしょうか。プログラムを使って分析してみて下さい。 Chainerチュートリアル https://tutorials.chainer.org/ja/Exercise_Step_01.html より引用 私は、プログラミング初心者であり、この問題に対するアプローチが全くわからなかった。 そこで情報を調べてみると、解答が
3点の座標から角の大きさと回転方向を求める - Qiita
はじめに この記事は、3点の座標を元にそれらの点が作り出す角の大きさと、点の順序が決まっている際の角の回転方向を求める方法を紹介します。 何に使うのか？ 以前に4つの点が与えられた際に出来上がる図形についての記事（リンク）を書きましたが、座標空間上で図形を得た後に出来る事柄の一つとして、 ・図形を構成する点以外の点が図形の中にあるのか外にあるのかを判定 というものがあります。 この「内外判定」の手法に一つに「Winding Number Algorithm」という手法があり、以下の手順で内外判定を行います。 内外判定を行いたい点 $ P $ と対象となる領域の頂点 $ V_0, V_1, ..., V_n $ をそれぞれ線で結ぶ。 反時計回りを正、時計回りを負として$ ∠V_0PV_1, ∠V_1PV_2, ..., ∠V_{n-1}PV_n, ∠V_nPV_0 $ の合計 $ wn $
数学の検索エンジン「WolframAlpha」の紹介 - Qiita
サイトはこちらです。 WolframAlpha 使い方 検索窓に数式を入力して、検索ボタンもしくはEnterで計算してくれます。 解のほか、プロットまで出してくれます。 このサイトの凄さは情報量です。抽象的な検索をすれば多くの情報を提示してくれます。 試しに√2を検索してみます。√はsqrt(Square Root)です。 ピタゴラス数とも言うそうです。初めて知りました...。 入力例 入力例はトップから閲覧できます。 どうやら日本語も受け付けてくれるみたいですね。 ご丁寧に極値とプロットまで...すごいです。 数学入力 最近、Wordの数式のような入力ができるようになったようです。 3x3の行列の積の計算をしてみます。 自然言語で同じ計算をしようとしたら、ちょっぴり大変な式を書くことになります。 GUIのような入力ができるのはありがたいですね。 まとめ このサイトはそんなに頻繁に使うもの
mojiya👀 vaporwave展2023.3｜レトロ文字部員 on Twitter: "みんな知ってると思うけど Illustratorでザラっとした質感を作る方法 https://t.co/TiKaYeQPBt"
みんな知ってると思うけど Illustratorでザラっとした質感を作る方法 https://t.co/TiKaYeQPBt
封筒の問題（変形版） - Qiita
確率の問題 1または２が出るまでサイコロを振る。振った回数が$N$になったら1つの封筒に$2^N$の数字を、1つの封筒に$2^{N-1}$の数字を書いて入れる。 なお、回数が$N$になる確率は、$\frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{N-1}$である。 もし、無作為に封筒を１つ選び開封して数字は2であった場合、次のことが言える。回数が１の確率は$\frac{1}{3}$で、回数が2の確率は$\frac{2}{9}$であるから、もう1つの封筒の数字が1である確率は$\frac{3}{5}$で、数字が4である確率は$\frac{2}{5}$である。したがって、交換したときの期待値は2.2となり交換した方が数字が大きくなる。 上記のルールで用意した２つの未開封の封筒があり、無作為に１つの封筒を選んだ。このとき、以下について答えよ。 問1：未開封の場合、交換しても期待値は変わらないか
マトロイド - Wikipedia
マトロイド（英: matroid）は、ある公理を満たす集合とそのべき集合の部分集合の組である。歴史的には、行列の一次独立・従属を一般化した概念であるが、多くの組合せ最適化問題をマトロイドあるいはより緩い独立性システムとコスト関数で定式化でき、特徴付けを行える等応用範囲は広い。特に組合せ最適化において、マトロイド上の最適化問題には単純な貪欲法によって多項式時間のアルゴリズムとは限らないものの最適解が得られることは非常に重要である。 E = {1, 2, 3} におけるそれぞれの例。左は(A1),(A2),(A3)を満たすからマトロイド。中央は(A1),(A2)を満たすから独立性システム。右は(A1),(A3)を満たすからグリードイド。 有限集合 E とその部分集合族 の組 (E, F) が[注 1] (A1) (A2) (A3) を満たすとき、マトロイドと呼ばれ、(A1) および (A2)
フーリエ変換の応用 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "フーリエ変換の応用" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2017年5月） この項目「フーリエ変換の応用」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：en:Fourier transform 05:58, 10 May 2017 (UTC)） 修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2017年5月） 微分方程式などの問題は、その問題をフーリエ変換すると解を求めるのが簡単に
フレドホルムの定理 - Wikipedia
フレドホルムの定理 (英語 : Fredholm's theorems) とは、エリック・イヴァル・フレドホルム (Erik Ivar Fredholm) の積分方程式の理論であるフレドホルム理論から導かれる、有名ないくつかの結果のことをいう。それらの定理は互いに密接に関係し、いくつかの文脈、積分方程式や線形代数、バナッハ空間上のフレドホルム作用素で説明される。 フレドホルムの交代定理 (Fredholm alternative) はフレドホルムの定理のひとつである。 線形代数[編集] 線形代数におけるフレドホルムの定理とは、次のようなものである。 M が行列ならば、M の行空間の直交補空間は M の零空間 ker M である。 同様に、M の列空間の直交補空間は M のエルミート共役 (随伴) M * の零空間 ker M * である。 積分方程式[編集] 積分方程式のフレドホルムの定理
ベルヌーイ多項式 - Wikipedia
数学において、ベルヌーイ多項式（ベルヌーイたこうしき、英: Bernoulli polynomial）とは、多くの特殊関数の研究、特にリーマンのゼータ関数やフルヴィッツのゼータ関数の研究において現れる。これはベルヌーイ多項式列がアペル列（英語版）、すなわち通常の微分に対するシェファー列であることによるところが大きい。直交多項式系とは異なり、ベルヌーイ多項式列は、単位区間における x 軸との交点の個数が多項式の次数が増えるにともない増えないという点に注目すべきである。ベルヌーイ多項式を適切に定数倍し次数を大きくした極限では、正弦・余弦関数に近づく。 ベルヌーイ多項式 また、この記事では、オイラー多項式、ベルヌーイ数、オイラー数についても解説する。
ケイリーグラフ - Wikipedia
ふたつの元 a と b を生成元とする自由群 F2 のケイリーグラフ 自由積 のケイリーグラフ（PSL2 Z） 数学においてケイリーグラフ（英: Cayley graph, Cayley diagram）とは群の抽象的な構造を表現するアーサー・ケイリーの名に由来するグラフである。特定の（ふつうは有限な）群の生成集合に対して使われ、組合せ論的あるいは幾何学的群論における中心的な道具である。 定義[編集] G を群、S をその生成集合とする。ケイリーグラフ Γ = Γ(G, S) とは以下のように構成されるグラフ彩色化有向グラフである[1][注釈 1]： 群 G の各元 g に対して頂点を割り当てる：Γ の頂点集合 V(Γ) を G と同一視する。 生成集合 S の各元 s に対して色 cs を割り当てる。 群 G の元 g と生成集合 S の元 s に対して元 g と gs に対応する頂点を
ロボ太 on Twitter: "俺「なんで理科わからないまま放ってるんだよ」 息子「だって・・・」 俺「家に理科の専門家いるんだから聞けよ」 息子「じゃあさ、なんで鉄は磁石になるのに銅はならないの？」 俺「ごめん、それは俺も説明できない」 息子「おい専門家」"
俺「なんで理科わからないまま放ってるんだよ」 息子「だって・・・」 俺「家に理科の専門家いるんだから聞けよ」 息子「じゃあさ、なんで鉄は磁石になるのに銅はならないの？」 俺「ごめん、それは俺も説明できない」 息子「おい専門家」
細矢インデックス - Wikipedia
完全グラフ K4 には10通りのマッチングがあるので、細矢インデックスは10である。これは4頂点グラフがとるインデックスの最大値である。 グラフ理論における細矢インデックスまたはZインデックスとは、与えられたグラフのマッチングの総数のことである。このとき辺の空集合もマッチングの一つとして数えるので、細矢インデックスは必ず1以上である。同じことだが、「グラフの空でないマッチングの個数に1を足した値」と定義してもよい。 歴史[編集] このグラフ不変量（英語版）は1971年に細矢治夫により導入され[1]、ケモインフォマティクスにおける有機化合物の研究によく用いられる[2][3]。 細矢は論文 "The Topological Index Z Before and After 1971" の、概念の歴史と内幕に触れた箇所で、アルカン異性体の沸点とZインデックスの間にある良い相関性を報告するため、東
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Watt's curve - Wikipedia
素数生成多項式と虚２次体の類数 ＠第20回日曜数学会
amino on Twitter: "入試数学でもほぼ役に立たない知識 1 8 0 倍 角 https://t.co/YRx8QMu2Bj"
CHARTMAN on Twitter: "「サインを偽造する話」です． 皆さんも"ニセサイン"にご注意を（笑） https://t.co/Em31VxdWDS"
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新著紹介『M.C.エッシャーと楽しむ算数・数学パズル』 ＠第23回日曜数学会
Taichi AOKI on Twitter: "このスレへの久々の投稿 陰関数でシャルピンスキーのガスケット 表面積を計算してみて！ https://t.co/oB9JWsJsyQ https://t.co/va2SbaIjqF"
JMO2022 予選 第1問 - 数学探究所
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Cliff Pickover on Twitter: "Mathematics, physics, reality. This intriguing figure is from the paper "Observing other universe through ringhole… https://t.co/ED5nPlS2q1"
Magic Squares
Cliff Pickover on Twitter: "Physics. Strange universe. Infinity. How to make an infinite loop using watering cans. Self-starting siphon. (Wha… https://t.co/E7joLdaWoe"
Can You Solve a Puzzle Unsolved Since 1996?
Cliff Pickover on Twitter: "Life explained. Reminds us of mathematics. This glimpse of reality is by @jackbutcher. He titles it: "Distractio… https://t.co/GwDEL8O4nF"
OnlineMathContest | For All Solvers
桧垣文様の向こう側 ＠第23回日曜数学会
林 俊介 on Twitter: "数学の大学入試問題で史上最短のものは 2006 年に京都大学 (後期) で出題された "tan1º は有理数か。" である，と思っていらっしゃる方は多いかもしれません。 でも実は，それよりも文字数が少ない問題が 昭和 10… https://t.co/7FB3XRJ7vg"