幾何学的フロー - Wikipedia幾何学的フロー (Geometric flow) とは、数学とりわけ微分幾何学では、通常はいくつかの外在・内在的曲率に関連付けられた幾何学的解釈を持つ多様体上の汎関数に関連付けられた勾配フローである。 モジュライ空間（固有フローの場合）またはパラメーター空間（外在フローの場合）のフローとして解釈できる。 これらは、変分法の計算において本質的に重要であり、いくつかの有名な問題と理論が含まれる。特に興味深いのは、その特異点である。 幾何学的フローは、幾何学的発展方程式とも呼ばれる。
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ケーニヒの定理 (集合論) - Wikipedia
この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注による参照が不十分であるため、情報源が依然不明確です。 適切な位置に脚注を追加して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2020年1月） 集合論において、ケーニヒの定理（ケーニヒのていり） [1] とは選択公理の下で成り立つ命題で、 I が集合で、全ての I の要素 i について mi と ni は それぞれ基数であり、であるなら となる。というものである。 ここでの 和 は集合mi達の直和の濃度で、 積 は直積の濃度である。 しかしながら、選択公理を仮定しない場合は、この和と積は基数として定義できないので、 その場合にこの定理を考慮するにはこの不等式の意味は明らかにされる必要がある。 定理の正確な内容は以下のようになる: I を集合 ,その任意の要素 i に対して Ai と Bi を 集合で、であるものとすると、 となる。ここ
ユニタリ変換 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "ユニタリ変換" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2016年6月)
主イデアル - Wikipedia
主イデアル（英: principal ideal）、あるいは単項イデアルとは、環 R の単一の元 a により生成された R のイデアル I のことを言う。（要するに、単元生成されたイデアルを主イデアルと言う。） R の左主イデアル (left principal ideal) は、Ra = {ra : r ∈ R} の形の部分集合 R の右主イデアル (right principal ideal) は、aR = {ar : r ∈ R} の形の部分集合 両側主イデアル (two-sided principal ideal) は、RaR = {r1as1 + ... + rnasn : r1, s1, ..., rn, sn ∈ R} の形の部分集合 R が可換環であれば、上の3つの定義はみな同じになる。この場合は、a で生成されるイデアルを (a) と記すのが一般的である。 全てのイデアル
分解体 - Wikipedia
抽象代数学において、与えられた多項式の分解体（ぶんかいたい、英: splitting field）とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうち拡大次数（英語版）が最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。 体 K 上の多項式 p(X) の（最小）分解体とは、K の拡大 L であって、L において p が一次因子 X − ai ∈ L[X] の積 に分解され、なおかつ L が根 ai たちによって K 上生成されるときに言う。したがって拡大体 L は、p を分解する K の拡大体の中で、拡大次数（英語版）が最小のものになる。そのような分解体の存在と同型を除く一意性を証明することができ
三角関数の部分分数展開 - Wikipedia
初めに余接関数の部分分数展開について示す。 そのために、 として、恒等的にであることを確かめる。の極限において であるからの極は除去され、であるから実軸上に並ぶ他の極も除去される。従って、はにおいて有界である。と書き を仮定すれば の置換により となるから、はにおいて有界であるが、であるから複素平面全体においても有界である。従って、リウヴィルの定理によりである。 他の関数については
アスコリ＝アルツェラの定理 - Wikipedia
数学におけるアスコリ＝アルツェラの定理（アスコリ＝アルツェラのていり、英: Ascoli–Arzelà theorem）は、有界な閉区間上で定義された実数値連続函数の族のすべての列が一様収束する部分列を持つための必要十分条件を与える解析学の一結果である。その主要な条件は、函数の族の同程度連続性である。この定理は、常微分方程式論におけるペアノの存在定理や、複素解析学におけるモンテルの定理、調和解析におけるピーター＝ワイルの定理（英語版）を含む多くの数学的結果の証明の基盤となっている。 同程度連続性の概念は、Ascoli (1883–1884) と Arzelà (1882–1883) によってほぼ同時期に導入された。この定理の弱い場合として、コンパクト性のための十分条件は Ascoli (1883–1884) によって証明された。またその必要条件も含めた結果の明示は Arzelà (1895
米田の補題 - Wikipedia
米田の補題（よねだのほだい、英: Yoneda lemma）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変あるいは反変hom関手 hom(A , _), hom(_, A) から集合値関手 F への自然変換と、値となる集合 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた[1][2][3]。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという[4]。ただし、エミリー・リール（英語版）によれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは Grothendieck (1960) である[5]。 米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」[6]「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもし
優収束定理 - Wikipedia
数学の測度論の分野におけるルベーグの優収束定理（ゆうしゅうそくていり、英: dominated convergence theorem）あるいは単にルベーグの収束定理とは、ある関数列に対して、そのルベーグ積分と、ほとんど至る所での収束という二つの極限操作が可換となるための十分条件について述べた定理である。また後述するこの定理のある特別な場合はしばしば（ルベーグの）有界収束定理と呼ばれる。 リーマン積分に対しては、優収束定理は成立しない。なぜならば、リーマン可積分関数の列の極限は多くの場合、リーマン可積分とはならないからである。優収束定理の持つ威力と有用性は、リーマン積分よりもルベーグ積分が理論的に優れているということを示すものである。ただもちろん有界収束定理の方はリーマン積分においても類似が成り立ち、これはしばしばアルツェラの有界収束定理と呼ばれる。 この定理は、確率変数の期待値の収束のた
フェルマー数 - Wikipedia
のとき、すべてのフェルマー数は合成数か？ 素数（合成数）であるフェルマー数は無数個（有限個）存在するか。 フェルマー数（フェルマーすう、英: Fermat number）とは、22n + 1（n は非負整数）で表される自然数のことである。n 番目のフェルマー数はしばしば Fn と記される。 その名の由来であるピエール・ド・フェルマーは、この式の n に非負整数を代入したとき常に素数を生成すると主張（予測）したが、1732年にレオンハルト・オイラーが n = 5 の場合に素数でないことを示し、フェルマーの主張は誤りと確認された[1]。素数であるフェルマー数はフェルマー素数と呼ばれる。 実際にフェルマー数の値の最初の方をいくつか計算してみると、 F0 = 21 + 1 = 3 F1 = 22 + 1 = 5 F2 = 24 + 1 = 17 F3 = 28 + 1 = 257 F4 = 216
中山の補題 - Wikipedia
数学、具体的には現代代数学や可換環論において、中山の補題（なかやまのほだい、英: Nakayama's lemma、クルル-東屋の定理（Krull–Azumaya theorem）とも[1]）は、環（典型的には可換環）のジャコブソン根基とその有限生成加群の間の相互関係を定める。有り体には、補題より直ちに可換環上の有限生成加群は体上のベクトル空間のように振る舞うことが言える。これは代数幾何において重要な道具である、なぜならばそれによって代数多様体の局所的なデータを、局所環上の加群の形において、環の剰余体上のベクトル空間として各点ごとに研究することができるからである。 この補題は、まずヴォルフガンク・クルルによって可換環のイデアルの特殊な場合において発見され、次に一般の場合が Azumaya (1951) によって発見されたにもかかわらず、日本人数学者中山正にちなんで名づけられている[1][2
黄金比 - Wikipedia
出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2013年3月） 黄金比（おうごんひ、英: golden ratio）とは、次の値で表される比のことである： 黄金長方形（縦横の長さの比が黄金比（ 1: 1.618…）である長方形）から最大正方形を切り落とすと、元の長方形と相似になる。赤線は黄金螺旋、緑線は正方形内の四分円を接続したものである。黄色は重なっている部分を表す。 以下で述べるような数理的な性質は、有理数にならないこの値のみが持つ性質であり、有理近似等には基本的には意味が無い。「デザインを美しくする」などといった巷間よく見られる説については#用途を参照。小数に展開すると 1 : 1.6180339887... あるいは 0.6180339887... : 1 といった値となる。 黄金比は貴金属比の
多項式行列 - Wikipedia
この記事には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。 出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。（2024年4月） 脚注による出典や参考文献の参照が不十分です。脚注を追加してください。（2024年4月） 出典検索?: "多項式行列" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL 数学における多項式行列（たこうしきぎょうれつ、英: polynomial-matrix）は、多項式（一変数あるいは多変数）を成分とする行列 (matrix of polynomial) を言う。この場合の「行列」は一般の矩形行列でもよいが、（多項式として）乗法が自由に行えないことは不便であるので、正方行列の範囲で考えることもよくある。 あるいは「多項式行列とは、行
ボホナー空間 - Wikipedia
ボホナー空間は、時間依存の偏微分方程式、例えば熱方程式の研究へのアプローチとしての関数解析学において、しばしば用いられる。温度 が時間および空間についてのスカラー関数であるとき、 と書くことで、f を時間についての関数とし、f(t) を空間についての関数とすることが、いくつかのボホナー空間においては可能となる。 測度空間 (T, Σ, μ)、バナッハ空間 (X, || · ||X) および 1 ≤ p ≤ +∞ が与えられたとき、ボホナー空間 Lp(T; X) は、対応するノルムが有限であるような全ての可測関数 u : T → X の空間の（等号はほとんど至る所についてのものであるような）コルモゴロフ商として定義される。すなわち、そのような u に対しては が成立する。言い換えると、Lp 空間の研究においてよくあるように、Lp(T; X) は関数の同値類であって、そこでは二つの関数が等しい
不動点コンビネータ - Wikipedia
「Yコンビネータ」は不動点演算子について説明しているこの項目へ転送されています。カリフォルニア州の企業については「Yコンビネータ (企業)」をご覧ください。 不動点コンビネータ（ふどうてんコンビネータ、英: fixed point combinator、不動点結合子、ふどうてんけつごうし）とは、与えられた関数の不動点（のひとつ）を求める高階関数である。不動点演算子（ふどうてんえんざんし、英: fixed-point operator）、パラドキシカル結合子（英: paradoxical combinator）などとも呼ばれる。ここで関数 の不動点とは、 を満たすような のことをいう。 すなわち高階関数 が不動点コンビネータであるとは、 任意の関数 に対し、 とすると, が成立する 事を指す。 あるいは全く同じことだが、不動点コンビネータの定義は、任意の関数 に対し、 が成立する事であるとも
中可換マグマの圏 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "中可換マグマの圏" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2009年3月) 数学における中可換圏（なかかかんけん、英: medial category）即ち中可換マグマの圏 Med は、中可換な二項演算を持つ集合（中可換マグマ）を対象とし、それらの演算に関する（普遍代数学でいうところの）準同型を射とする圏である。 圏 Med は直積を持ち、従って中可換なマグマ対象（圏の内部演算によって定まるマグマ構造）の概念が意味を持つ。結果として、圏 Med はその任意の対象を中可換対象として持ち、またそのことによって特徴づけられる。 集合
半正多胞体 - Wikipedia
半正多胞体（はんせいたほうたい、英: semiregular polytope）とは、構成n次元面が全て(n-1)次元正多胞体または(n-1)次元半正多胞体で、全ての頂点の形状が合同である多胞体である。 3次元の半正多胞体[編集] 3次元の半正多胞体は全部で13種類ある。詳しくは半正多面体を参照。 4次元の半正多胞体[編集] 4次元の半正多胞体は超角柱を含み全部で58種類ある。正多胞体の頂点や辺、面を削ったものなどがある。例外的な立体として、捩れ二十四胞体と大反角柱の2種類が存在する。truncated n-cell（切頂n胞体）は正n胞体の頂点を浅く、rectified n-cellは辺の中点まで、bitruncated n-cellは更に深く、それぞれ切り落としたものである。 正五胞体系[編集] 名前 構成立体 面の数 辺の数 頂点の数・形状 画像
ホップ代数 - Wikipedia
数学において，ホップ代数（ホップだいすう，英: Hopf algebra）は，ハインツ・ホップ（英語版）に因んで名づけられた代数的構造であり，同時に（単位的結合）代数かつ（余単位的余結合的）余代数であり，これらの構造の整合性により双代数になっており，さらにある性質を満たす反自己同型（英語版）を備えたものである．ホップ代数の表現論は特に見事である，なぜならば整合的な余積，余単位射，対合射の存在により，表現のテンソル積，自明表現，双対表現を構成できるからである． ホップ代数は，その起源であり H 空間（英語版）の概念と関係する代数的位相幾何学，群スキーム（英語版）の理論，群論（群環の概念によって），そして多数の他の場所で，自然に生じ，おそらく双代数の最もよく知られた種類となっている．ホップ代数はそれ自身も研究されていて，一方では例の特定のクラスが，他方では分類問題が，多く研究されている．それら
フェイェールの定理 - Wikipedia
数学におけるフェイェールの定理（フェイェールのていり、英: Fejér's theorem）とは、ハンガリーの数学者リポート・フェイェールの名にちなむ定理。f:R → C が周期 2π の連続函数であるなら、そのフーリエ級数の部分和の列 (sn) のチェザロ平均の列 (σn) は、[-π,π] 上一様に f に収束する。 (sn) を具体的に書くと、 となる。ただし である。また (σn) は であり、Fn は第 n 次のフェイェール核を表す。 より一般的な形式において、この定理は必ずしも連続でない函数に対しても応用されている (Zygmund 1968, Theorem III.3.4)。f は L1(-π,π) に属するものと仮定する。f(x) の x0 における左極限および右極限 f(x0±0) が存在するか、いずれの極限も同符号の無限大であるなら、次が成り立つ： チェザロ平均の存在
ウィルソン商 - Wikipedia
ウィルソン商（ウィルソンしょう、Wilson quotient）とは、自然数 p に対して以下の式で定義される W(p) のことである。 もし p が素数ならば、ウィルソンの定理によりウィルソン商は整数となる。逆に p が合成数ならば、ウィルソン商は整数にはならない。 p が素数のときのウィルソン商を、p が小さい順に列記すると、 1, 1, 5, 103, 329891, 36846277, 1230752346353, 336967037143579, … となる。 また、もしウィルソン商が p で割り切れる、つまり が整数のとき、p はウィルソン素数と呼ばれる。 関連項目[編集] ウィルソンの定理 ウィルソン素数
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