パンルヴェ予想 (パンルヴェよそう, Painlevé's conjecture) とは、四体以上のN体問題には非衝突特異点に至る軌道が存在する、という主張のこと[1]。1895年にポール・パンルヴェによって予想され、1988年に Jeff Xia によって N ≥ 5 の場合が、2014年に Jinxin Xue によって N = 4 の場合が証明された。 概要[編集] ニュートン力学において、互いに重力相互作用する 個の質点系の運動方程式（ 体問題）は、 番目の質点の質量を 、座標を とするとき により与えられる。その有限時間 での解 について、それを時刻 を超えて延長できないとき、その点を特異点 (singularity) と呼ぶ。極限 において粒子座標が有限値に収束する場合、これは粒子の衝突を意味する[2]ため衝突特異点 (collision singularity) と呼ぶ[3]

原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。 加法的整数論（英語版）(additive number theory)では、シュニレルマン密度 (Schnirelmann density) は、整数列の密度の概念の一種である。これは、後にリンニク（英語版）(Yuri Linnik)やヴィノグラドフ（英語版）(Ivan Matveyevich Vinogradov)の仕事に重要なアイデアをもたらした。この概念を定義・研究した数学者L.G.シュニレルマン(L.G.Schnirelmann)に因む。[1][2] 定義[編集] A を自然数からなる集合とし、 を A の元のうち 1 以上 n 以下のものの個数とする。このとき、実数 が必ず定義され、これを A のシュニレルマ

原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。（2015年10月） 数学において体 K 上定義されたアーベル多様体 A がCM-タイプ(CM-type)であるとは、自己準同型環 End(A) の中で十分に大きな部分可換環を持つことをいう。この用語は虚数乗法 (complex multiplication) 論から来ていて、虚数乗法論は19世紀に楕円曲線の研究のため開発された。20世紀の代数的整数論と代数幾何学の主要な成果のひとつに、アーベル多様体の次元 d > 1 の理論の正しい定式化が発見されたことがある。この問題は、多変数複素函数論を使うことが非常に困難であるため、非常に抽象的である。 フォーマルな定義は、有理数体 Q と End(A) のテンソル積 は Z 上

英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Quantum logic|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があ

この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注による参照が不十分であるため、情報源が依然不明確です。適切な位置に脚注を追加して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2022年12月） 冪剰余（べきじょうよ、英: modular exponentiation）とは、冪乗の剰余のことである。数論的に重要な概念であるとともに、計算機科学、特に暗号理論の分野での応用が重要である。冪乗剰余とも呼ばれる。 正の整数 b（底）の整数 e 乗（冪指数）を正の整数 m（法）で割った余りを、「m を法とする b の e-冪剰余」と呼ぶ。つまり、冪剰余を求めるとは、次の c を計算することにほかならない。 例えば、b = 5、e = 3、m = 13 の場合、c は 53 を 13 で割った余りであり、冪剰余は 8 となる。 冪指数 e = 2, 3 に対する e-冪剰余は、通常それぞれ平方剰余

この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注による参照が不十分であるため、情報源が依然不明確です。適切な位置に脚注を追加して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2022年12月） 冪剰余（べきじょうよ、英: modular exponentiation）とは、冪乗の剰余のことである。数論的に重要な概念であるとともに、計算機科学、特に暗号理論の分野での応用が重要である。冪乗剰余とも呼ばれる。 正の整数 b（底）の整数 e 乗（冪指数）を正の整数 m（法）で割った余りを、「m を法とする b の e-冪剰余」と呼ぶ。つまり、冪剰余を求めるとは、次の c を計算することにほかならない。 例えば、b = 5、e = 3、m = 13 の場合、c は 53 を 13 で割った余りであり、冪剰余は 8 となる。 冪指数 e = 2, 3 に対する e-冪剰余は、通常それぞれ平方剰余

フルビッツ行列は、ドイツの数学者のアドルフ・フルビッツの名にちなむ行列のこと。 フルビッツ行列とフルビッツの安定判別法[編集] 数学の分野におけるフルビッツ行列とは、実多項式の係数から構成される実構造化正方行列のことである。すなわち、実多項式 に対して得られる 次正方行列 を多項式 に対するフルビッツ行列と呼ぶ。1895年にアドルフ・フルビッツは、実多項式 が安定であること（すなわちその全ての根が複素平面の開左半平面に存在すること）の必要十分条件として、そのフルビッツ行列 の主座小行列式すべてが正であること（たとえば が成立することなど）を得た。各小行列式 はフルビッツ行列式と呼ばれる。 フルビッツ安定行列[編集] 工学の分野や安定性理論において、正方行列 が安定行列であるとは、その全ての固有値の実部が負であること、すなわち が行列 の各固有値 に対して成立することを言う。そのような行列

交差検証（交差確認）[1]（こうさけんしょう、英: cross-validation）とは、統計学において標本データを分割し、その一部をまず解析して、残る部分でその解析のテストを行い、解析自身の妥当性の検証・確認に当てる手法を指す[2][3][4]。データの解析（および導出された推定・統計的予測）がどれだけ本当に母集団に対処できるかを良い近似で検証・確認するための手法である。 最初に解析するデータを「訓練事例集合（training set、訓練データ）」などと呼び、他のデータを「テスト事例集合（testing set、テストデータ）」などと呼ぶ。 交差検証はSeymour Geisserが生み出した。特にそれ以上標本を集めるのが困難（危険だったり、コストがかかったり）な場合は、データから導いた推定は、交差検証などで慎重に裏付けを確認するべきである。 交差検証の主な種類[編集] ホールドアウ

数学の一分野、超準解析における増分定理（ぞうぶんていり、英: increment theorem; 増分の定理）は、無限小に対する可微分函数の増分が微分係数に無限に近いことを述べるものである。これを通常の微分積分学（標準解析）において述べたものは実質的に平均値の定理（有限増分の定理、あるいは一次の場合のテイラーの定理）である。 定理の主張[編集] 定理 (増分の定理) 実函数 y = f(x) は x において微分可能とする（以下、f および x は固定する）。Δx が無限小超実数であるとき、Δx に対する y の増分を Δy ≔ f(x + Δx) − f(x) とすれば、Δx に対して適当な無限小 ε が存在して と書くことができるから、これは商 Δy⁄Δx が微分係数 f′(x) に無限に近いこと（Δy⁄Δx ≈ f′(x)）を述べるものとみることができる。特に f′(x) は標準実

代数幾何学において、スキームの射 が準コンパクト射（じゅんコンパクトしゃ、英: quasi-compact morphism）であるとは、Y にある開アフィン部分スキーム による被覆が存在して、原像 が全て位相空間として準コンパクトとなることを言う[1]。f が準コンパクトであれば、f による準コンパクト開部分スキーム（例えば開アフィン部分スキーム）の原像は準コンパクトである。 準コンパクト射の定義において、「開アフィン部分スキームによる被覆」を「準コンパクトな開部分スキームによる被覆」に弱めることは、意味が変わってしまうためできない。例[2]として、根基イデアルについて昇鎖条件を満たさない環 A をとり、 と置く。X は準コンパクトではない開部分集合 U を含む。Y を、2つの X を U で貼り合わせたスキームとする。X と Y はともに準コンパクトである。 を X の1つのコピーの包

幾何学的フロー (Geometric flow) とは、数学とりわけ微分幾何学では、通常はいくつかの外在・内在的曲率に関連付けられた幾何学的解釈を持つ多様体上の汎関数に関連付けられた勾配フローである。 モジュライ空間（固有フローの場合）またはパラメーター空間（外在フローの場合）のフローとして解釈できる。 これらは、変分法の計算において本質的に重要であり、いくつかの有名な問題と理論が含まれる。特に興味深いのは、その特異点である。 幾何学的フローは、幾何学的発展方程式とも呼ばれる。 例[編集] 外在性[編集] 外在的幾何学的フローは、埋め込まれた部分多様体、またはより一般的にはめ込まれた部分多様体上のフローである。一般に、それらはリーマン計量とはめ込みの両方を変換する。 石鹸膜における平均曲率フロー。臨界点は極小曲面 曲線短縮フロー、1次元の場合の平均曲率フロー ウィルモアフロー、球面のミニマ

この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注による参照が不十分であるため、情報源が依然不明確です。適切な位置に脚注を追加して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2020年1月） 集合論において、ケーニヒの定理（ケーニヒのていり） [1] とは選択公理の下で成り立つ命題で、 I が集合で、全ての I の要素 i について mi と ni は それぞれ基数であり、であるなら となる。というものである。 ここでの 和 は集合mi達の直和の濃度で、 積 は直積の濃度である。 しかしながら、選択公理を仮定しない場合は、この和と積は基数として定義できないので、 その場合にこの定理を考慮するにはこの不等式の意味は明らかにされる必要がある。 詳細[編集] 定理の正確な内容は以下のようになる: I を集合 ,その任意の要素 i に対して Ai と Bi を 集合で、であるものとすると、

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "ユニタリ変換" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2016年6月） 数学において、ユニタリ変換（ユニタリへんかん）とは、2つのベクトルの内積の値が変換の前後で変わらないような変換である。 詳細[編集] より正確には、ユニタリ変換とは2つのヒルベルト空間の間の同型写像である。言い換えれば、ユニタリ変換は、全単射 であって、ここで H1, H2 はヒルベルト空間であり、H1 上のすべての x と y について が成り立つもののことである。ユニタリ変換は等長写像である。 と が同じ空間の場合、ユニタリ変換はそのヒルベルト空間の自己同

主イデアル（英: principal ideal）、あるいは単項イデアルとは、環 R の単一の元 a により生成された R のイデアル I のことを言う。（要するに、単元生成されたイデアルを主イデアルと言う。） 定義[編集] R の左主イデアル (left principal ideal) は、Ra = {ra : r ∈ R} の形の部分集合 R の右主イデアル (right principal ideal) は、aR = {ar : r ∈ R} の形の部分集合 両側主イデアル (two-sided principal ideal) は、RaR = {r1as1 + ... + rnasn : r1, s1, ..., rn, sn ∈ R} の形の部分集合 R が可換環であれば、上の3つの定義はみな同じになる。この場合は、a で生成されるイデアルを (a) と記すのが一般的である。

抽象代数学において、与えられた多項式の分解体（ぶんかいたい、英: splitting field）とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうち拡大次数（英語版）が最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。 定義[編集] 体 K 上の多項式 p(X) の（最小）分解体とは、K の拡大 L であって、L において p が一次因子 X − ai ∈ L[X] の積 に分解され、なおかつ L が根 ai たちによって K 上生成されるときに言う。したがって拡大体 L は、p を分解する K の拡大体の中で、拡大次数（英語版）が最小のものになる。そのような分解体の存在と同型を除く一意性を証明

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "三角関数の部分分数展開" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2015年7月） 数学において、三角関数は以下のように部分分数に展開される。 証明[編集] 無限積を用いた証明[編集] より 両辺を微分し これより が得られる。また より が得られる。 リウヴィルの定理を用いた証明[編集] 初めに余接関数の部分分数展開について示す。 そのために、 として、恒等的にであることを確かめる。の極限において であるからの極は除去され、であるから実軸上に並ぶ他の極も除去される。従って、はにおいて有界である。と書き を仮定すれば の置換により

数学におけるアスコリ＝アルツェラの定理（アスコリ＝アルツェラのていり、英: Ascoli–Arzelà theorem）は、有界な閉区間上で定義された実数値連続函数の族のすべての列が一様収束する部分列を持つための必要十分条件を与える解析学の一結果である。その主要な条件は、函数の族の同程度連続性である。この定理は、常微分方程式論におけるペアノの存在定理や、複素解析学におけるモンテルの定理、調和解析におけるピーター＝ワイルの定理（英語版）を含む多くの数学的結果の証明の基盤となっている。 同程度連続性の概念は、Ascoli (1883–1884) と Arzelà (1882–1883) によってほぼ同時期に導入された。この定理の弱い場合として、コンパクト性のための十分条件は Ascoli (1883–1884) によって証明された。またその必要条件も含めた結果の明示は Arzelà (1895

米田の補題（よねだのほだい、英: Yoneda lemma）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変あるいは反変hom関手 hom(A , _), hom(_, A) から集合値関手 F への自然変換と、値となる集合 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた[1][2][3]。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという[4]。ただし、エミリー・リール（英語版）によれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは Grothendieck (1960) である[5]。 米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」[6]「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもし

数学の測度論の分野におけるルベーグの優収束定理（ゆうしゅうそくていり、英: dominated convergence theorem）あるいは単にルベーグの収束定理とは、ある関数列に対して、そのルベーグ積分と、ほとんど至る所での収束という二つの極限操作が可換となるための十分条件について述べた定理である。また後述するこの定理のある特別な場合はしばしば（ルベーグの）有界収束定理と呼ばれる。 リーマン積分に対しては、優収束定理は成立しない。なぜならば、リーマン可積分関数の列の極限は多くの場合、リーマン可積分とはならないからである。優収束定理の持つ威力と有用性は、リーマン積分よりもルベーグ積分が理論的に優れているということを示すものである。ただもちろん有界収束定理の方はリーマン積分においても類似が成り立ち、これはしばしばアルツェラの有界収束定理と呼ばれる。 この定理は、確率変数の期待値の収束のた

フェルマー数（フェルマーすう、英: Fermat number）とは、22n + 1（n は非負整数）で表される自然数のことである。n 番目のフェルマー数はしばしば Fn と記される。 概要[編集] その名の由来であるピエール・ド・フェルマーは、この式の n に非負整数を代入したとき常に素数を生成すると主張（予測）したが、1732年にレオンハルト・オイラーが n = 5 の場合に素数でないことを示し、フェルマーの主張は誤りと確認された[1]。素数であるフェルマー数はフェルマー素数と呼ばれる。 実際にフェルマー数の値の最初の方をいくつか計算してみると、 F0 = 21 + 1 = 3 F1 = 22 + 1 = 5 F2 = 24 + 1 = 17 F3 = 28 + 1 = 257 F4 = 216 + 1 = 65537 F5 = 232 + 1 = 4294967297 F6 = 26

数学、具体的には現代代数学や可換環論において、中山の補題（なかやまのほだい、英: Nakayama's lemma、クルル-東屋の定理（Krull–Azumaya theorem）とも[1]）は、環（典型的には可換環）のジャコブソン根基とその有限生成加群の間の相互関係を定める。有り体には、補題より直ちに可換環上の有限生成加群は体上のベクトル空間のように振る舞うことが言える。これは代数幾何において重要な道具である、なぜならばそれによって代数多様体の局所的なデータを、局所環上の加群の形において、環の剰余体上のベクトル空間として各点ごとに研究することができるからである。 この補題は、まずヴォルフガンク・クルルによって可換環のイデアルの特殊な場合において発見され、次に一般の場合が Azumaya (1951) によって発見されたにもかかわらず、日本人数学者中山正にちなんで名づけられている[1][2

この記事には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。 出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。（2024年4月） 脚注による出典や参考文献の参照が不十分です。脚注を追加してください。（2024年4月） 出典検索?: "多項式行列" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL 数学における多項式行列（たこうしきぎょうれつ、英: polynomial-matrix）は、多項式（一変数あるいは多変数）を成分とする行列 (matrix of polynomial) を言う。この場合の「行列」は一般の矩形行列でもよいが、（多項式として）乗法が自由に行えないことは不便であるので、正方行列の範囲で考えることもよくある。 あるいは「多項式行列とは、行

数学の分野におけるボホナー空間（ボホナーくうかん、英: Bochner space）とは、必ずしも実数の空間 R あるいは複素数の空間 C とは限らないバナッハ空間に値を取る関数への、Lp空間の概念の一般化である。 ボホナー空間 Lp(X) は、バナッハ空間 X に値を取るボホナー可測関数 f で、そのノルム ||f||X が通常の Lp 空間に属するようなもの全ての同値類からなる。したがって、X が複素数の集合であるなら、ボホナー空間は通常のルベーグ空間 Lp となる。 Lp 空間に関するほとんど全ての結果は、ボホナー空間についても同様に得られる。特に、ボホナー空間 Lp(X) は に対してバナッハ空間である。 背景[編集] ボホナー空間は、ポーランド系アメリカ人数学者のサロモン・ボホナーの名にちなむ。 応用[編集] ボホナー空間は、時間依存の偏微分方程式、例えば熱方程式の研究へのアプロ

「Yコンビネータ」は不動点演算子について説明しているこの項目へ転送されています。カリフォルニア州の企業については「Yコンビネータ (企業)」をご覧ください。 不動点コンビネータ（ふどうてんコンビネータ、英: fixed point combinator、不動点結合子、ふどうてんけつごうし）とは、与えられた関数の不動点（のひとつ）を求める高階関数である。不動点演算子（ふどうてんえんざんし、英: fixed-point operator）、パラドキシカル結合子（英: paradoxical combinator）などとも呼ばれる。ここで関数 の不動点とは、 を満たすような のことをいう。 すなわち高階関数 が不動点コンビネータであるとは、 任意の関数 に対し、 とすると, が成立する 事を指す。 あるいは全く同じことだが、不動点コンビネータの定義は、任意の関数 に対し、 が成立する事であるとも

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "中可換マグマの圏" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2009年3月） 数学における中可換圏（なかかかんけん、英: medial category）即ち中可換マグマの圏 Med は、中可換な二項演算を持つ集合（中可換マグマ）を対象とし、それらの演算に関する（普遍代数学でいうところの）準同型を射とする圏である。 圏 Med は直積を持ち、従って中可換なマグマ対象（圏の内部演算によって定まるマグマ構造）の概念が意味を持つ。結果として、圏 Med はその任意の対象を中可換対象として持ち、またそのことによって特徴づけられる。 集合を、

半正多胞体（はんせいたほうたい、英: semiregular polytope）とは、構成n次元面が全て(n-1)次元正多胞体または(n-1)次元半正多胞体で、全ての頂点の形状が合同である多胞体である。 3次元の半正多胞体[編集] 3次元の半正多胞体は全部で13種類ある。詳しくは半正多面体を参照。 4次元の半正多胞体[編集] 4次元の半正多胞体は超角柱を含み全部で58種類ある。正多胞体の頂点や辺、面を削ったものなどがある。例外的な立体として、捩れ二十四胞体と大反角柱の2種類が存在する。truncated n-cell（切頂n胞体）は正n胞体の頂点を浅く、rectified n-cellは辺の中点まで、bitruncated n-cellは更に深く、それぞれ切り落としたものである。 正五胞体系[編集] 名前 構成立体 面の数 辺の数 頂点の数・形状 画像

量子力学の数理 量子力学の数理 概要 「量子力学の数理」という題で発表したときのレジュメです．前半では，必要な数学を解説しつつ，量子力学の数学的定式化を述べます．後半では，具体例として量子調和振動子を見た後，正準交換関係を数学的に取扱います． 更新履歴 2022/03/01: 公開 2022/03/10: 参考文献の誤りを修正しました． 2022/03/22: 誤植を修正しました．

数学において，ホップ代数（ホップだいすう，英: Hopf algebra）は，ハインツ・ホップ（英語版）に因んで名づけられた代数的構造であり，同時に（単位的結合）代数かつ（余単位的余結合的）余代数であり，これらの構造の整合性により双代数になっており，さらにある性質を満たす反自己同型（英語版）を備えたものである．ホップ代数の表現論は特に見事である，なぜならば整合的な余積，余単位射，対合射の存在により，表現のテンソル積，自明表現，双対表現を構成できるからである． ホップ代数は，その起源であり H 空間（英語版）の概念と関係する代数的位相幾何学，群スキーム（英語版）の理論，群論（群環の概念によって），そして多数の他の場所で，自然に生じ，おそらく双代数の最もよく知られた種類となっている．ホップ代数はそれ自身も研究されていて，一方では例の特定のクラスが，他方では分類問題が，多く研究されている．それら

数学におけるフェイェールの定理（フェイェールのていり、英: Fejér's theorem）とは、ハンガリーの数学者リポート・フェイェールの名にちなむ定理。f:R → C が周期 2π の連続函数であるなら、そのフーリエ級数の部分和の列 (sn) のチェザロ平均の列 (σn) は、[-π,π] 上一様に f に収束する。 (sn) を具体的に書くと、 となる。ただし である。また (σn) は であり、Fn は第 n 次のフェイェール核を表す。 より一般的な形式において、この定理は必ずしも連続でない函数に対しても応用されている (Zygmund 1968, Theorem III.3.4)。f は L1(-π,π) に属するものと仮定する。f(x) の x0 における左極限および右極限 f(x0±0) が存在するか、いずれの極限も同符号の無限大であるなら、次が成り立つ： チェザロ平均の存在

ウィルソン商（ウィルソンしょう、Wilson quotient）とは、自然数 p に対して以下の式で定義される W(p) のことである。 もし p が素数ならば、ウィルソンの定理によりウィルソン商は整数となる。逆に p が合成数ならば、ウィルソン商は整数にはならない。 p が素数のときのウィルソン商を、p が小さい順に列記すると、 1, 1, 5, 103, 329891, 36846277, 1230752346353, 336967037143579, … となる。 また、もしウィルソン商が p で割り切れる、つまり が整数のとき、p はウィルソン素数と呼ばれる。 関連項目[編集] ウィルソンの定理 ウィルソン素数

コンパクトな台 [−1, 1] を持つ滑らかな関数の例。 数学における、ある函数の台（だい、英: support）とは、その函数の値が 0 とならない点からなる集合、あるいはそのような集合の閉包のことを言う[1]。この概念は、解析学において特に幅広く用いられている。また、何らかの意味で有界な台を備える函数は、様々な種類の双対に関する理論において主要な役割を担っている。 定義[編集] 与えられた集合 X 上の函数 f が、Y(⊂ X) に台を持つ (supported in) とは、その函数 f が Y の外側 X ∖ Y で常に消えていることを言う。このとき、Y を部分集合として含む任意の集合（Y の拡大集合）Z に対して f は Z に台を持つことになるのは明らかであるから、函数 f の台 supp(f) は、f が台を持つような X の部分集合全ての交わりとして定義される。即ち、集合論

Lagged Fibonacci 法（ラグ付フィボナッチ法）は擬似乱数生成法の１つ。この手法は標準的な線形合同法を改善する事を目的としており、フィボナッチ数の生成法を元にしている。 フィボナッチ数列は以下の漸化式により表現される。 つまり、数列の前二項の和が次の項になる。これは以下のように一般化できる。 ここで、★演算子は一般的な二項演算子を表し、新しい項は以前の何らかの二項を演算して得られる。★演算子は加算にも減算にも乗算にもビット単位の排他的論理和にもなる。m は通常2の累乗（m = 2M）で、232 か 264 がよく使われる。この種の生成法の理論はかなり複雑であり、j と k により乱数を選ぶのは容易い事ではないだろう。また、この生成法は初期化の仕方にとても敏感な傾向もある。 この手法にはサイズ k の領域を必要とする（最後の k 個の要素を覚えておく）。 二項演算として加算を行っ

抽象代数学、とくに加群論において、加群の稠密部分加群（ちゅうみつぶぶんかぐん、英: dense submodule）は本質部分加群の概念の精密化である。N が M の稠密部分加群であれば、"N ⊆ M は有理拡大 (rational extension) である"ということもできる。稠密部分加群は非可換環論における商環と関係がある。ここで現れるたいていの結果は最初 (Johnson 1951), (Utumi 1956) と (Findlay & Lambek 1958) において証明された。 この用語は位相空間論における稠密部分集合の概念とは異なることを注意すべきである。稠密部分加群を定義するのに位相は全く必要ないし、稠密部分加群は位相加群において位相的に稠密かもしれないしそうでないかもしれない。 定義[編集] この記事は (Storrer 1972) と (Lam 1999, p. 2

可換環論（次元論）において、クルルの単項イデアル定理（英: Krull's principal ideal theorem, Krull's Hauptidealsatz）は、ネーター環の素イデアルの高さについての基本的な定理である。 クルルの単項イデアル定理[編集] ネーター環 A の単項イデアル I の極小素因子（I を含む極小素イデアル）の高さは 1 以下である。とくに、x を A の零因子でも単元でもない元とすると、x を含む極小素イデアルの高さは 1 である。 一般化[編集] 次の定理はクルルの高度定理（英: Krull's height theorem）と呼ばれる。 ネーター環の r 個の元で生成されるイデアルの極小素因子の高さは高々 r である。 参考文献[編集] Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry（英語版）, Gradu

この記事には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。 出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。（2021年9月） マークアップをスタイルマニュアルに沿った形に修正する必要があります。（2021年9月） 出典検索?: "積表" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "擬絶対値" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2017年6月） 数学における擬絶対値（ぎぜったいち、英: pseudo-absolute value, 独: Pseudobetrag）は、絶対値よりも条件の緩い類似の概念である。 定義[編集] R を単位的環とする。非負実数値函数 |•|: R → R+ が擬絶対値であるとは、以下の三条件をすべて満たすときにいう: a, b ∈ R を任意として 定値性: 劣乗法性: 条件 3 の代わりにより強く 3a. 乗法性: を満たすものは絶対値と言う。 擬絶対値 |•| が非アルキメデ

数学、特に位相幾何学や位相空間論において、ある位相空間の開かつ閉集合（かいかつへいしゅうごう、英: closed-open set）とは、その位相空間の開集合であり閉集合でもあるような集合である。普通の意味の開 と閉 とは対義語であるから、開かつ閉集合 というものが有り得るということは直観に反するように見えるかもしれない。しかし、数学的に定義された開 と閉 とは相互排他的な概念ではない。一般に、X を位相空間、A を X の部分集合とするとき、A とその補集合 X−A とがいずれも X の開集合であるならば、それらはいずれも X の開かつ閉集合である。英語では、closed-open set を clopen set ともいう。clopen set という語は closed-open set という語から作られたかばん語である。 例[編集] 任意の位相空間 X に対して、空集合および全体集

許容性[編集] k-tupleがそのすべての値が素数である無限に多くの位置を持つために、tupleがpを法とするすべての異なる可能な値を含むような素数pが存在することはできない。なぜなら、そのような素数pが存在する場合、nのどの値が選択されても、tupleにnを追加することによって形成される値の1つはpで割り切れるので、素数の配置は有限にしか存在できない (pを含むもののみ)。たとえば、k-tupleは、3を法とする0、1、および2の3つの値すべてを取ることはできない。そうしないと、結果の数値には常に3の倍数が含まれるため、数値の1つが3自体でない限り、すべてが素数になることはない。この条件を満たすk-tuple (つまり、 pを法とするすべての異なる値をカバーするpがない)は、許容可能と呼ばれる。 例えば、(n, n + 1) のうち1つは2の倍数なので、許容可能なPrime 2-tup

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "自乗可積分函数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2012年12月） 自乗可積分函数（じじょうかせきぶんかんすう、英: square-integrable function）とは、実数値または複素数値可測函数で絶対値の自乗の積分が有限であるものである。すなわち ならば、f は実数直線 (−∞, +∞) 上で自乗可積分である。場合によっては積分区間が [0, 1] のように有界区間のこともある。 性質[編集] 自乗可積分函数の集合は次の内積 のもとで内積空間となる： ただし f , g は自乗可積分函数 はg の複素共役 A

数学、特に関数解析学の分野における解析半群（かいせきはんぐん、英: analytic semigroup）とは、強連続半群の一種である。解析半群は、偏微分方程式の解において用いられる。強連続半群と比較して解析半群は、初期値問題の解のより良い正則性や、無限小生成作用素の摂動に関するより良い結果や、その半群と、無限小生成作用素のスペクトルとの関係などを与える。 定義[編集] Γ(t) = exp(At) を、無限小生成作用素 A を備えた、バナッハ空間 (X, ||·||) 上の強連続一パラメータ半群とする。Γ は次を満たすとき、解析半群と呼ばれる: ある 0 < θ < π ⁄ 2 に対して、連続線型作用素 exp(At) : X → X は t ∈ Δθ へと拡張される。ここで である。また、s, t ∈ Δθ に対して、通常の半群の条件 exp(A0) = id および exp(A(t 

環論における積零環[1]（せきれいかん、せきゼロかん、英: rng of square zero, 仏: pseudo-anneau de carré nul, 複積零の擬環）は、その任意の二元の積が零となるような擬環（非単位的環, rng）を言う[2]。しばしば零環 (zero ring) などとも呼ばれる。 単位的な積零環は、ただ一つの元からなる零環のみである。特に、相異なる二元を含む積零環は、明らかに単位元を持たない。 任意のアーベル群は、ただ一つのやり方で、ただ一つの積零環構造を持たせることができる（これは加法的に記されたアーベル群 G が複零条件 G⋅G = {0} で定義される乗法を持つということである[1]）。この零乗法が、擬環の満たすべき結合律および分配律を満たすことは機械的に確認できる。この積零環の、擬環としてのイデアルとは、加法群の部分群のことにほかならない。このことか

代数学における三重系または三項系（さんこうけい、英: triple system）は、ベクトル空間 V と V 上の三重積 (triple product) または三項積 (ternary product) と呼ばれる三重線型写像 との組として与えられる構造である。最も重要な例にリー三重系やジョルダン三重系があり、これらは1949年にネイサン・ジェイコブソンが三項交換子 [ [u, v], w ] および三項反交換子 { u, {v, w} } に関して閉じている結合代数の部分空間を研究するために導入した。特に、任意のリー環はリー三重系を定め、任意のジョルダン環はジョルダン三重系を定める。これらの概念は、対称空間（特にエルミート対称空間およびその一般化である対称 R-空間とその非コンパクト双対）の理論において重要である。 リー三重系[編集] 三重系がリー三重系であるとは、その三重積 [•,

数学において発散級数（はっさんきゅうすう、英: divergent series）とは、収束しない級数である、つまり、部分和の成す無限列が有限な極限を持たない級数である。 級数が収束するならば、級数の各項の成す数列は必ず 0 に収束する。したがって、0 に収束しないような数列を項に持つ級数はいずれも発散する。しかし逆に、級数の項が 0 に収束しても級数は収束するとは限らない。最も簡単な反例として、調和級数 が挙げられる。調和級数が発散することは、中世の数学者ニコル・オレームによって示された。 数学の特別な文脈では、部分和の列が発散するようなある種の列について、その和として意味のある値を割り当てることができる。総和法 (summability method, summation method) とは、級数の部分和の列全体の成す集合から「和の値」の集合への部分写像である。例えば、チェザロ総和法

数学の関数解析学の分野における極位相（きょくいそう、英: polar topology）あるいは-収束の位相またはの集合上の一様収束位相とは、双対組のベクトル空間に対して定義されるある局所凸位相のことをいう。 定義[編集] 実数あるいは複素数の体上のベクトル空間 と の双対組を と表す。 集合 が において に関して有界であるとは、各元 に対する値の集合 が有界であることをいう。すなわち、次が成り立つことをいう。 この条件は、 内の集合 の極 が 内の併呑集合であることと同値である。すなわち、次と同値である。 今 は 内の に関する有界集合の族とし、次の性質が成り立つものとする： の各点 はある集合 に属する。すなわち、次が成り立つ。 二つの集合 は ある集合 に含まれる。すなわち、次が成り立つ。 はスカラー倍について閉じている。すなわち、次が成り立つ。 このとき、次のセミノルム は 上の