Reverse Mathematics
仙台ロジック倶楽部 逆数学のすすめ 『逆数学と２階算術』(河合出版 1997)より はじめに 数学の定理の証明にどれだけの公理が必要かという問題を，数学基礎論の現代的な舞台装置の上で考えてみようというのが「逆数学」の主題である． 数学は，学ぶ立場で見れば，公理から定理を導く論理の道筋つまり証明の集まりである．では，数学者は公理をインプットして定理をアウトプットする機械みたいなものか，というと決してそうではない．（“数学者はコーヒーを定理に変換する機械である”というエルデシュの名言もあるが．．．）数学者のアクティビティーとしては，むしろそれとは全く逆に，ある命題を論証するのにどれくらいの前提が必要かなどと考えていることが多い．例えば，大学の解析学では，集合，実数，連続関数，微積分．．．と概念が組み立てられていくのに対し，それらの発見の歴史は全く逆向きである．あとでも述べるように，コーシーが連
関係資料
関係資料 最後の「名誉部長の書き込み」以外は、田中一之先生によります(本などの要約などもあります)。「名誉部長」とは、山崎武さんのことです。「・・・系」などの分類は完全に竹内の独断によります。 ※ 無断転載、ＤＯＭ(無断ダウンロード)は御遠慮ください。 ※ 入門系 ・数学基礎論入門（『数学完全ガイダンス』より抜粋，一部修正） →「数学基礎論」という学問について。基礎論の３大定理。 ・逆数学のすすめ（『逆数学と２階算術』(河合出版 1997)より） →「逆数学」とは何か。その目的とあらまし。個人的に超オススメ。 ・ラムダ計算ＡＢＣ（『数学セミナー』1992年8月号より） →ラムダ計算入門。ラムダ計算の背景から、判りやすく説明。 ・ランダム性と不完全性定理（『数学ってなんだろう』(日本評論社 1997)の抜粋，一部修正） →「ランダム
ラムダ計算とイプシロン計算を使って線形代数の計算 -- 随伴の例 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
「線形代数の難所とアダムとイブと矢印一元論」でベクトル空間の双対の話をして、「イプシロン計算ってなんですかぁ？ こんなもんですよぉ」でイプシロン計算を紹介しました。せっかくだから、例題をやっておこうかな。 内容： 前提と例題の説明 双対写像 ベクトルとコベクトルの対応 随伴写像 計算例 雑感 前提と例題の説明 ベクトル空間は常に有限次元、双対空間U*の定義は、多数派に従って「U上の線形形式の空間」としておきます。つまり、U* = Lin(U, K)（Kはスカラー体、Linは線形写像全体の空間を示す）。 ベクトル空間Uと双線形形式φ:U×U→Kを一緒にしたもの(U, φ)を考えます。ただし、φは次の非退化性を持つとします。 ∀y∈U.(φ(x, y) = 0) ならば、x = 0。 φは内積みたいなもんだから φ(x, y) = (x|y) と書きましょう。ただし、上の非退化性条件以外は一切
イプシロン計算ってなんですかぁ？ こんなもんですよぉ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
ラムダ計算は、計算モデルとしてだけでなく、手計算の実際的手段としても役立ちます。しかし、通常使われる各種変換（アルファ、ベータ、イータ、デルタ）ではうまく計算が進まないときがあります。例えば、gがfの逆関数のとき、f(g(y)) は y に簡約されるのだけど、f(g(y)) ⇒ y って簡約規則は通常のラムダ計算ではうまく定式化できません（いや、できるかもしれませんが、僕にはうまい方法が思いつきません）。 そこで、ラムダ計算に加えてイプシロン計算も使うとよさそうです。でも、イプシロン計算は、ラムダ計算ほどにポピュラーではないですね。簡単な例でイプシロン計算を紹介しましょう。 内容： イプシロン記号とイプシロン項 イプシロン項の意味 イプシロン項が定義する関数 例題：gがfの断面（セクション）であること イプシロン記号とイプシロン項 負の数-1とか、無理数√2とかを導入するとき、次のような定
線形代数の難所とアダムとイブと矢印一元論 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
量子計算や可逆計算って、なんか面白そうだと思っているのですが、あんまり先に進めないでいます。とりあえず線形代数の復習でもしよう、と、紙ナプキンで計算とかはじめました。 それでいまさら気がついたのですが、線形代数（「線型」を使う場合もあり）って、いくつかの流儀があるんですよね。もちろん、おおすじにおいては同じなんだけど、細かい差異がある。この差で混乱したり、理解が阻害されそう。線形代数の難所（つまずきの石）になりかねませんね。 特に、双対空間の扱いは、定式化に「ものの見方」が反映されるので、流儀によりだいぶ違った印象があります。このへんの違いは、抽象的に見てるとあまり鮮明じゃないのですが、なんかのプログラミング言語で線形計算ライブラリを作ろうと思うとハッキリ認識できます。僕の場合、具体的なプログラミング言語じゃなくて（インフォーマルな）ラムダ計算で線形手計算しようと思ったんですが、やり方が何
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ゆの in D - d.y.d.
17:37 08/07/30 ICFP Workshops via 住井さん で、 ML Workshop の採択論文リストが出てることを知りました。 "Many holes in Hindley-Milner" (複数穴あり Zipper 的なものをMLで扱う話、穴の個数を型情報に含めるための加算できる自然数表現を差分リストで、 っていう技が面白かった) と "Unrestricted call-by-value recursion" （call-by-value で再帰的な (ループした) データ定義を実現する手法、これで、フルの call-by-need セマンティクスがなくてもそっち方面で使われてる テクニックをいくらか持ってこれるよ）というのだけ読んでみた。 他の併設ワークショップ の論文リストも 揃ってきてるみたいですね。 個人的に WGP の "Concepts =? Typ
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L'eclat des jours(2008-07-11)
_ 僕には数字は風景には見えない 見えないので、見える人の本を読んでみた。 ぼくには数字が風景に見える(ダニエル・タメット) 例として、割と最初のところで53×131の例が出ているのだが、瓢箪みたいな形の2つの数の間を埋める形があって、それが6943なので答は6943とか書いてある（今、本を裏返したら、何のことはなく帯にも書いてあったが、そのくらいこの説明は不思議に感じるのだけど）。筆算もできるが、それよりこれで求めたほうが簡単とか書いてあるので、なんとも不思議だ。それとは別に素数が色の違いでわかるとか、累乗の計算が好きで弟に問題を出してもらってぽんぽん答えるシーンとかもある。 ヒントは、円周率を記憶するところで見えるような気がする。ボランティアのチャリティで円周率暗唱のギネスへの挑戦をするところがあるのだが、見た瞬間に覚えるというよりは、まじめに延々と記憶していく作業をしているからだ。
抽象概念と数学学習 - Radium Software
Real-life examples may not be best for teaching maths - BPS Research Digest 身近な具体例の利用は数学学習の助けにならない ― いきいき健康 NIKKEI NET 子供たちに算数を教えるのに，実世界の例を使うのは，いい方法のように思える。分数を教えるのにピザを使ってみたり，小数を教えるのに瓶と水を使ってみたり，とかね。紙の上で「これはこういうものだから，とにかくこうなるんだ」なんてふうに叩き込むよりも，目の前で実際に起こる出来事として見せた方が，実感をもって学ぶことができるんじゃないか……と。 ただ，こういった手法を数学の領域にまで持ち込むのは，あまりいい方法とは言えないかもしれない。オハイオ州立大学の Jennifer Kaminski らが大学生に対して行った実験によれば，抽象的な記号などを使って数学問題を教えら
田崎晴明『統計力学』
メインページ / 質問や疑問への回答 / 訂正 / 補充問題 統計力学 I, II（培風館、新物理学シリーズ） 更新日 2009 年 9 月 11 日 広大に思える地球も宇宙の中のごく小さな惑星の一つに過ぎないという事実を知って愕然としない人はいないだろうが、しかし、より身近な（つもりになっている）身の回りの全ての物体やわれわれ自身の肉体までもが、百種類ほどの原子（あるいは、陽子と中性子と電子）が集まってできたものだという言明は、人間の自然な精神にとって、より受け入れがたいものではないだろうか？ そして、いったんこの事実を認めてしまえば、われわれの日常世界での体験のほとんどすべてが深遠な科学的な謎になる。 なぜ岩はしっかりと硬いのか、なぜ水は冷たくさらさらと流れるのか、なぜ木々は緑で空は青いのか？ さらには、自分の体は「粒」からできてるはずなのに、なぜ本人は「粒」らしく感じないのか？ この
「なぜ意味論は「プロセス」を含むか -表示意味論／領域理論をめぐって」（岡本賢吾） - あいまいな本日の私 blog
科学哲学40-2(2007) pp.23-39. 計算機科学で使われる表示意味論と、特に領域意味論に注目し、領域意味論の有限データ性とブラウワーの連続性概念が似ていることを指摘した後、領域意味論もある意味で生成的／プロセス的といえる観点から数学的構造を再構成しようとしているので両者が似ているように見えるのは決して偶然ではないと主張する。そして、そのプロセス的な視点からの数学的構造の再構成の例として、コンパクト元を付け加える操作をあげる*1。コンパクト元は、本来数学的構造の中にインフォーマルに埋め込まれていた要素の明示化にあたり、数学の中に埋め込まれていた言語的活動の表現である*2。 *1:例えば をcpoと見なしたとき がコンパクト元にあたる。というのも 自身は前者を持たないため到達可能ではないが、は前者から到達可能。 *2:任意の自然数に対してあるが存在して(*)となるが、はを満たすとい
構成的数学、計算可能解析学、極限計算可能数学 - 数学猫の生活と意見
それぞれ、スタンスが違う。構成的数学：命題に直接的な証明の存在を要求する。直接的な証明とは直接の計算手続きにより正しさを示すことである。そして、通常の証明は直接的な証明を構成するアルゴリズムとして捉えられる。そこで、扱われる対象に対する操作は計算可能であることが要求される。計算可能解析学：扱う対象は計算可能な実数や実数関数なもの。しかし、証明については↑のような制限を設けない。これがどのような違いを生むかと言うと、例えば中間値の定理。中間値の定理とは、連続な関数fがあって、abかつf(a) 普通の解析学では、これはもちろん成り立つ。構成的数学では、これは成り立たない。与えられた関数から、中間値を求める一般的な方法が存在しないから。一方で、計算可能解析学では、中間値の定理は成り立つ。この場合、中間値を与える計算可能なdの存在は（背理法その他を使って）言えるのだが、dを求める方法までは証明は示
ゲーデルと20世紀の論理学 第四巻 集合論とプラトニズム - kururu_goedel’s diary
ゲーデルと20世紀の論理学 4 集合論とプラトニズム 作者: 田中一之出版社/メーカー: 東京大学出版会発売日: 2007/07/24メディア: 単行本購入: 9人 クリック: 135回この商品を含むブログ (14件) を見る というわけで書評書きます。集合論者としてのバイアスがかかることはご了承ください。 まず最初に言わないといけないことは、「（特に最近の）集合論に興味がある非専門家の人は、自分が日本語を読めることに感謝しつつこの本を読むべきである」ということ。松原先生による第II部は、英語で書かれたものでもここまでのものはないだろうというくらいに、深いところまで簡潔にしかし手を抜かずに書いてあります。この短さの基礎知識を前提としないサーベイに、プレシピタス性とか飽和性とかウディン基数とかの定義が入っているというのはすごいとしか言いようがありません。 その前にある渕野先生による第I部では
円周率の計算に関する話題
【円周率の計算に関する話題】 最初に戻る 円周率計算の記録を追加(2008/09/04) １．円周率とは 円周÷直径、円周とは一定点から等距離にある点の集合。 πの語源はギリシア語の周りを意味するπεριφερειαの頭文字をとったと思われる？？？ 円周率は現実的に考えれば、物理学の世界でも20桁(3.14159265358979323846)もあれば足ります。 円周率は無理数であり、かつ、超越数である事から小数点以下の値は無限に続く事は証明されています。 よってどんな高性能なコンピュータや算出式があったとしても正確な値を知ることはできません。 （無理数の証明、超越数の証明です。直感的に理解できるものではありません。周辺の知識もかなり必要です） にもかかわらず、多くの桁を求めようとする人々はいます。 なぜ計算するのかと言われても、それは山に登りたいと同じ感覚なのかも知
円周率の公式集 暫定版 Ver. 3.141
Next: Contents 円周率の公式集 暫定版 Ver. 3.141 編集 : 松元隆二 December 26, 2000 暫定版です．書きかけの章があります． この公式集は，LATEXで書かれた原稿をLATEX2htmlで自動変換した ものです． 自動変換が正しく行われていない部分があり，一部の文章が欠けたり，式番号， 章番号が間違ってる部分があります．Adobe Acrobat版，ASCII pTEXDVI版で は正しく表示されます． Adobe Acrobat版，ASCII pTEXDVI版は，ここにあります． 数式は画像ファイルとして表示されます．したがって画像ファイル が いっぱいあります．ネットワークが細い人は見るのは止めたほうがよいでしょ う． Contents 独自定義の数学記号 円周率の公式 定義 微分積分学以前 Archimedes of Syracuse (
コンウェイの和スター公式とデリミータで区切ったデータ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
正規表現パターンに対して次が成立します。 (A | B)* = (A*B)* (A*) AとBは任意のパターン、イコールは「左辺にマッチする文字列は右辺にもマッチし、右辺にマッチする文字列は左辺にもマッチする」という意味。 もう少し一般的な文脈では、これをコンウェイ（Conway）の和スター公式（sum-star equation）と呼びます。右辺の「|」を「+」に書き換えると、(A + B)* なので、和とスターの組み合わせから和を除く手順だと思ってもいいでしょう。 この和スター公式は憶えにくいし、憶えても忘れる。そこで、具体的で馴染みのある例を考えました。 DataChar ::= [-_a-zA-Z0-9] DelmChar ::= [, ] EndOfData ::= [.\n] /* 注：[]のなかでは\.としなくてもよい。 */ 区切り文字を「コンマまたは空白」として、データ項
多項式時間素数判定アルゴリズム
ＡＫＳアルゴリズムと PRIMES is in Pに関する解説のページです 以下の説明は、元論文を参照しながらお読みください。 元論分のサイト：Manindra Agrawal, Neeraj Kayal and Nitin Saxena, PRIMES is in P, the original version of the paper. アルゴリズムの基本となるアイデア アルゴリズムの概要 AKS アルゴリズム 使用する用語と記号 アルゴリズムの動作概要 アルゴリズムの正当性の証明概要 アルゴリズムの正当性の証明の蛇足説明 アルゴリズムの正当性の証明詳細のための準備 PRIMES is in P セクション３の解説 Lemma 3.1. Lemma 3.1.(fact 1) Lemma 3.1.(fact 2) Lemma 3.1.(fact 3) Lemma 3.1.(fact 4
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