数学、特に群論と呼ばれる代数学の分野において、有限群 G のフィッティング部分群（英: Fitting subgroup） F(G) = Fit(G) とは、G の最大冪零正規部分群である。名前はハンス・フィッティング（英語版）に由来する。直感的には、G が可解群のとき、群 G 全体の構造を〈統制〉する最小の部分群に相当する。群 G が可解でないとき、一般化されたフィッティング部分群（generalized Fitting subgroup） F*(G) = F(G)E(G) が同様の役割を果たす。ここで E(G) は G の最大半単純正規部分群である。 有限とは限らない一般の群に対して、フィッティング部分群は冪零正規部分群により生成される部分群として定義される。無限群のフィッティング部分群は冪零であるとは限らない。 この記事では専ら有限群の場合を扱う。 フィッティング部分群[編集] 有限

数学のエポニムの一覧（すうがくのエポニムのいちらん）は、数学分野におけるエポニムの一覧である。 あ行[編集] ポール・エルデシュに由来するものはポール・エルデシュに因んで命名された物の一覧参照 レオンハルト・オイラーに由来するものはオイラーにちなんで名づけられた物事の一覧参照

数学、特に公理的集合論において、ダイヤモンド原理 ◊ （ダイヤモンドげんり、英: diamond principle） とはB. イェンセンによって1972年に導入された組み合わせ論的原理で、構成可能集合で真になり、連続体仮説を含意する。イェンセンはV=L（英語版）からススリン木の存在を導く証明の中からダイヤモンド原理を抽出、提唱した。 定義[編集] ダイヤモンド原理 ◊ は◊-列の存在を主張する。すなわち、各α<ω1に対し、Aα⊆α があって、それがいかなるω1の部分集合Aに対しても、A∩α = Aαとなるαの集合がω1の中で定常集合になる。 もっと一般には、基数 と定常集合が与えられたとき、 言明 ◊S (◊(S) or ◊κ(S)とも書かれる) は以下の項目を満たす列の存在を主張する 各αに対し、 各に対し、はの中で定常である この原理の意味において◊ω1は◊と同じ意味である。 性質

確率論において、条件付き確率分布（じょうけんつきかくりつぶんぷ、英: conditional probability distribution）とは、確率変数 X と Y があり、X の値が特定の値であることを知ったときの Y の確率分布のことである。 条件付き累積分布関数・条件付き確率質量関数・条件付き確率密度関数などから、条件付き確率・条件付き期待値などが計算できる。 条件付き累積分布関数[編集] 確率変数 X と事象 A が与えられたときに の時に条件付き累積分布関数（conditional cumulative distribution function）は以下のように定義する[1]:p. 97。 条件付き離散確率分布[編集] 離散確率変数の場合、条件付き確率質量関数（conditional probability mass function）は の時に以下のように定義する。 条件

理論物理学では、ラジェシュ・ゴパクマー（英語版） (Rajesh Gopakumar) とカムラン・ヴァッファ (Cumrun Vafa) は、3次元カラビ・ヤウ多様体のBPS状態(BPS state)の数を表す、新しい位相不変量、ゴパクマー・ヴァッファ不変量 (ゴパクマー・ヴァッファふへんりょう、Gopakumar-Vafa invariant) を、一連の論文で導入した。（Gopakumar & Vafa (1998a)、Gopakumar & Vafa (1998b) を参照。また、Gopakumar & Vafa (1998c)、 Gopakumar & Vafa (1998d) も参照。）彼らは、3-次元カラビ・ヤウ多様体 M のグロモフ・ウィッテン不変量の母函数となる次の公式を導いた。 ここに、 はグロモフ・ウィッテン不変量を、 は種数 g を持つ擬正則曲線（英語版） (pse

環論において、素環（そかん、英: prime ring）とは、任意の a, b ∈ R について、aRb = {0} ならば a = 0 または b = 0 が成り立つような環 R のことである。 同値な定義[編集] 環 R が素環であることは以下のいずれの条件とも同値である。 {0} は素イデアル R の左イデアル I, J について、IJ = {0} ならば I = {0} または J = {0} R の右イデアル I, J について、IJ = {0} ならば I = {0} または J = {0} R の両側イデアル I, J について、IJ = {0} ならば I = {0} または J = {0} 例[編集] 域は素環である。 単純環は素環である。 性質[編集] 可換環において、整域と素環は同値である。 参考文献[編集] 岩永, 恭雄、佐藤, 眞久、佐藤眞久『環と加群のホモロジー

初等幾何学における点の集合の共線性（きょうせんせい、英: collinearity）は、それら点がすべて同一直線上にあるという性質を言うものである[注釈 1]。与えられた点の集合が共線性を持つとき、それらの点は共線（きょうせん、英: collinear, colinear[4]）であると言う。極めて一般に、様々な対象に対してそれらが「一列に」("in a line") あるいは「一行に」("in a row") 並べられたときに、共線という言葉を用いることができる。 直線上の点とは[編集] 任意の幾何学において、一列に並んだ点の集合は共線であると言われる。ユークリッド幾何学において共線であるという関係は、同一の「直線」線上に並ぶ一連の点として直観的に視覚化することができる。しかし多くの幾何学において（それはユークリッド幾何学でもそうであるけれども）直線は根元的な幾何学的対象の型（英語版）と

原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。 数学において、層コホモロジー（そうコホモロジー、sheaf cohomology）は、アーベル群の層に関連する層の理論の一面であり、ホモロジー代数を用いて、層 F の大域切断の具体的な計算を可能とする。数値的な領域での幾何学的な問題の記述として、層コホモロジーの理論は、重要な幾何学的な不変量の次元を計算することへ有用なツールとして使うことができる。 1950年以後の数年間で急速に発展した層コホモロジーは、リーマン・ロッホの定理のより古典的な方法や代数幾何学の因子の一次系（英語版）(linear system of divisors)の解析や多変数複素函数論やホッジ理論へ結びついた。層コホモロジー群のランク、もしくは次元

数学の特に代数的位相幾何学およびホモロジー論におけるマイヤー・ヴィートリス完全系列（マイヤーヴィートリスかんぜんけいれつ、英: Mayer–Vietoris sequence）は、位相空間が持つホモロジー群やコホモロジー群といった代数的位相不変量を計算するのに便利な道具の一つで、オーストリアの数学者ヴォルター・マイヤーとレオポルト・ヴィートリスによって示された。これは、位相空間を（コ）ホモロジーの計算がより容易にできるような部分空間の小片に分解するとき、得られる部分空間の（コ）ホモロジーの列ともとの空間のそれとの関係を述べたもので、それによりもとの空間のそれらを計算するという方法論を与える。マイヤー・ヴィートリス完全系列と呼ばれる完全系列は、全体空間の（コ）ホモロジー群、部分空間の（コ）ホモロジー群の直和、部分空間の交わりの（コ）ホモロジー群の三者から構成される自然な長完全列である。 マイ

数学において、カルタン・デュドネの定理（カルタンデュドネのていり、Cartan–Dieudonné theorem、名前はエリ・カルタン、ジャン・デュドネに由来している）とは、対称双一次空間の自己同型群の構造に関する定理である。 定理のステートメント[編集] (V, b) を標数が 2 でない体上の、n 次元非退化対称双一次空間とする。このとき、直交群 O(V, b) の全ての元は、高々 n 個の鏡映の合成である。 例えば Rn に通常の内積を考えたものは定理の仮定を満たす。直交群は である。 関連項目[編集] 不定値直交群（英語版） 座標の回転と鏡影（英語版） 参考文献[編集] Gallier, Jean H. (2001). Geometric Methods and Applications. Texts in Applied Mathematics. 38. Springer-Ve

左切り捨て可能素数[1]（ひだりきりすてかのうそすう、英: left-truncatable prime）あるいは単に切り捨て可能素数とは、それ自身が素数であるとともに、左から数字を順に取り除いたものが全て素数であり、さらにどの桁も 0 ではないものをいう。同様に、右切り捨て可能素数も定義できる。「素な素数」とも称される[2]。 左切り捨て可能素数[編集] 例えば 4632647 は、それ自身が素数であって、左から順に数字を切り捨てた数 632647, 32647, 2647, 647, 47, 7 が全て素数であり、どの桁も 0 ではないので、左切り捨て可能素数である。0 を含まないという条件は、1060+7 のようなつまらない例（切り捨てた数が全て 7 となってしまう）を排除するためである[3]。 左切り捨て可能素数を小さい順に列挙すると 2, 3, 5, 7, 13, 17, 23,

数学において、平坦加群（へいたんかぐん、英: flat module）とは、テンソル積をとる関手 M ⊗ – が完全となる加群 M のことである。 ホモロジー代数学および代数幾何学における基本的な概念のひとつ。ジャン＝ピエール・セールによって導入された[1]。 定義[編集] A を環、M を右 A 加群とする。 A 加群からなる任意の短完全系列 に対して、M とのテンソル積をとった系列 が完全になるとき、M は A 上平坦である、または M は平坦 A 加群であるという。 M が左 A 加群のときも同様に定義される。 なお一般の加群 M に対しては、関手 M ⊗A – は右完全ゆえ は完全系列となるが、左端の射が一般には単射にならない。 A 代数 B が平坦であるとは、B が A 加群として平坦であることをいう。 性質[編集] 射影加群は平坦である。特に自由加群も平坦である。 （推移性）

因子（いんし; divisor）とは、代数幾何学や複素幾何学において、代数多様体（または複素解析空間）の余次元1の部分多様体の形式的有限和のことをいう。因子は、代数多様体や解析空間上の有理関数あるいは有理型関数の極や零点の分布を表すために用いられる（概説参照）。線形同値な因子の空間である線形系を考えることは、射影空間への有理写像を考えることと1対1に対応しているので、代数多様体（または複素解析空間）の代数幾何的な性質・情報を取り出すときに欠かせない概念である。 概説[編集] 因子が代数幾何（あるいは複素幾何）で演じる役割については、代数曲線（あるいは、コンパクトなリーマン面）の場合を見ればおおよそ理解する事が出来る。C を代数関数 f(z1 , z2) = 0 から定まるコンパクトリーマン面（あるいは、f(z1 , z2) = 0 で定まる平面曲線の特異点解消）とするとき、C 上の有理型関

クヌース・ベンディックス完備化アルゴリズム（クヌース・ベンディックスかんびかアルゴリズム、英: Knuth–Bendix completion algorithm）、あるいはクヌース・ベンディックス完備化手続きは、等式の有限集合をそれと等価な完備性のある項書き換えシステムに変換するアルゴリズムである。このアルゴリズムは普遍代数（en）での語の問題（word problem）（en）を解くための手法としてクヌースとベンディックスから提案された[1]。 アルゴリズムは必ず成功するとは限らないが、成功した場合は停止性と合流性のある項書き換えシステムを生成することができる。そのベースとなる考え方は多くの分野で応用することができる。 背景[編集] 一般に、項書き換えシステムは項の書き換え（簡約、reduction）が必ず停止するとは限らず、また書き換えの際に複数の書き換え規則を適用できる場合は最終的

グラフ理論においてムーアグラフとは、次数d、直径kの正則グラフで、頂点数が以下の上限に一致するものである。 直径k、内周2k+1のグラフで頂点数が最小のもの、とムーアグラフを定義することもできる。また内周が2k+1のときに長さgのサイクルをちょうど個含むようなグラフと定義することもできる。ここでnは頂点数、mは辺の数である。実際、内周に一致するサイクルを上記の条件のように含むグラフが頂点数最小のグラフとなる (Azarija & Klavžar 2014)。 ムーアグラフという名前はエドワード・F・ムーア（英語版）にちなんで1960年にホフマンとシングルトンによって名付けられた。 次数と直径が与えられたとき最大の頂点数を持つものがムーアグラフであるが、これは次数と内周が与えられたときに最小の頂点数をもつグラフでもある。すなわちムーアグラフはケージ(Erdős, Rényi & Sós 19

数学の一分野である圏論において、集合の圏（しゅうごうのけん、英: category of sets）Set (あるいは などとも書く) は、その対象の成す類が集合全体の成す類であるような圏である。ただし、対象の間の射の類は、集合 A, B に対して f: A → B を任意の写像とするとき、(f, A, B) の形に書ける三つ組全体の成す集合によって与えられる。 対象の類: Ob(Set) ≔ {集合}, 射の集合: MorSet(A, B) = Hom(A, B) ≔ {(f, A, B)  |  f: A → B は写像} (A, B ∈ Ob(Set)), 射の合成: f, g ∈ Hom(A, B) の合成 g ∘ f は写像の合成 他に多くの具体圏（英語版）と呼ばれる圏（例えば 群の圏（対象は群で、射は群準同型）など）は、集合の圏の対象に構造を加えたものを対象とし、射は特定の種類

位相空間 の部分集合 が ベールの性質を持つ、またはほとんど開な集合であるとは、その集合がある開集合との差が第一類集合であること。すなわち開集合 で が第一類集合となるものがあることである（ここでの は対称差を表す）[1]。ベールの性質と言う名前はルネ＝ルイ・ベールにちなむ。 ベールの性質を満たす集合全てによる族はσ-代数をなす。すなわち、ほとんど開な集合の補集合はほとんど開であり、ほとんど開な集合の可算和や可算交叉もまたほとんど開である[1]。 開集合はほとんど開な集合である（空集合は meager である）ため、どんなボレル集合もほとんど開である。ポーランド空間の部分集合がベールの性質を持つとき、それに対応するバナッハ・マズール・ゲーム が determined である。その逆は成り立たない。しかし、与えられた adequate pointclass に属するゲームがすべて deter

ガロア接続（Galois connection）という考え方がある。かの有名なガロア理論に由来するが、その大事な中身を抜き取った枠組み、言わば抜け殻のようなものである。以下で述べるように、それ自体は大したことの無い議論だが、様々な数学的対応への一つの見方を与えてくれるという意味で（少なくとも私にとっては）有効である。 半順序集合（partially ordered set、通称posetは結構好き）及びその間の写像に対し、組がガロア接続であるとは、次の条件を満たすことを言う。 はantitoneである。（ならのときをantitoneと言う。） とは同値である。 以下にどこかで見たことのある例を幾つか挙げよう。 例1 体の拡大及びに対し、の中間体全体を、の部分群全体をとする。このとき と定めるとガロア接続となる。勿論これだけでは何も言っていないに等しく、ガロアによる結果はより強力な対応を与え

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "四素合成数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2021年4月） 四素合成数（よんそごうせいすう）[独自研究?][要出典]とは、相異なる 4 つの素数の積で表される自然数（合成数）のことである。 最小の四素合成数は 210（= 2 × 3 × 5 × 7）である。また、四素合成数は無数に存在する。 四素合成数の列は以下の通りである。 210, 330, 390, 462, 510, 546, 570, 690, 714, 770, 798, 858, 870, 910, 930, 966, 1110, 1122, 1155,

数学において、算術数列と幾何数列の項ごとの積によって与えられる、算術–幾何数列 (arithmetico–geometric sequence) は、象徴的に「算術⋅幾何数列」とか「(等差)×(等比)-型の数列」などのようにも呼ばれる。より平易に述べれば、一つの算術×幾何数列の第 n-項は、適当な算術数列の第 n-項と幾何級数の第 n-項の積で与えられる。算術幾何数列は、確率論における期待値の計算など様々な応用において生じる。例えば数列 は分子 (青) が算術数列を成す成分、分母 (緑) が幾何数列を成す成分となっている算術幾何数列である。 注意 「算術­幾何数列」という呼称は、算術数列と幾何数列の両方の特徴を持つほかの対象に用いられる場合がある。[注釈 1] 一般項の様子[編集] 初項 a, 公差 d の算術数列 (青) と初項 b, 公比 r の幾何数列 (緑) を合成して得た算術幾何

μ再帰関数（ミューさいきかんすう、英: μ-recursive function）または帰納的関数（きのうてきかんすう）とは、数理論理学と計算機科学において、直観的に「計算可能」な自然数から自然数への部分関数のクラスである。計算可能性理論では、μ再帰関数はチューリングマシンで計算可能な関数と正確に一致することが示されている。μ再帰関数は原始再帰関数（原始帰納的関数）と密接な関連があり、その帰納的定義（後述）は原始再帰関数に基づいている。ただし、μ再帰関数が全て原始再帰関数とは言えない。そのような例としてアッカーマン関数がある。 また、ラムダ計算で記述される再帰関数やマルコフアルゴリズムで計算できる関数も同じである。 計算複雑性理論では、全再帰関数の集合をRと称する。 定義[編集] μ再帰関数（または部分μ再帰関数）は、有限個の自然数の引数をとり、1つの自然数を返す部分関数である。μ再帰関数

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Euler (Euler Mathematical Toolbox または EuMathT) は数値計算パッケージであり、オープンソースかつフリーソフトウェアである。行列演算構文やノートブック形式のインターフェイスを備え、プロットを描画することもできる。 Euler は実数、複素数、離散値、ベクトル、行列を扱うことができる。また 2D/3D プロットを行うこともでき、数式処理システムとして Maxima を使うことができる。Euler は Windows で実行することができる。Unix および Linux 版では計算機代数システムを内蔵していない。 開発の経緯[編集] Euler Math Toolbox は元々、1988年に Atari ST 用に開発され、当時は単に Euler という名前だった。しかしインターネット上では Euler という名前は他にも多く使われていて、まぎらわしか

ISO 80000-2:2019 は、数学記号について定義している国際規格である。国際標準化機構 (ISO) と国際電気標準会議 (IEC) が共同で発行している ISO/IEC 80000 の一部として、ISO によって2009年に発行され、2019年に改訂された[1]。 ISO 80000-2 は、それまでの数学記号についての規格であった ISO 31-11 を置き替えるものである。 日本工業規格 (JIS) では2022年に制定された JIS Z 8000-2:2022 が相当する。これに伴い、それまで ISO 80000-2 に相当する部分を担ってきた JIS Z 8201:1981 は廃止された[2][3]。 内容[編集] ISO 80000-2は以下の章からなる。3章は記号の使い方の説明で、4章から19章に数学記号を列挙している。 序文 (Foreword) 0 導入 (Int

英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Variance|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります。

ブラーフミー数字とは古代インドで用いられた数字で、紀元前3世紀以前のものであり、現代のインド数字、アラビア数字の直接の祖先である。ただし、概念的には後世の記数法とははっきりと区別される。何故ならゼロを用いた位取り記法ではなく、10の倍数（10、20、30など）ごとに別々の数字があったからである。100や1000を表す記号もあり、連結（合字）されて200,300,200,3000などを表す記号となる。 起源[編集] 1,2,3の起源は明らかである。それぞれ1本、2本、3本の横棒である。アショーカ王の時代ではローマ数字のように縦棒で表していた。しかし後に漢数字のように横棒になった。最古の碑文では4は十字型の記号で表される。姉妹の文字体系であるカローシュティー文字が4をX字型の記号で表していたことを連想させる。その記号は4本の線、もしくは四方を表していると考えられる。しかし、ほかの数字は最古の碑

原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。 数学における、乗法列（英語版）(multiplicative sequence)の種数とは、向き付けられた滑らかな閉多様体のコボルディズム環(cobordism ring)から、他の環（大抵は有理数環）への環準同型のことを言う。 定義[編集] 種数(genus) φ は、各々の多様体 X に次の項目を満たす数値 φ(X) を対応させる。 φ(X∪Y) = φ(X) + φ(Y) (ここに ∪ は合併を表す) φ(X×Y) = φ(X)φ(Y) X が境界であれば、φ(X) = 0 多様体は特別な構造を持っているかもしれず、例えば、向きづけられているとか、スピンを持っているなどの構造が考えられる（コボルディズム論のリスト

数学における「乗法的積分」（じょうほうてきせきぶん、英: "product integral"）は、古典微分積分学において通常の積分がある種の和の極限と見做されることに並行して、その乗法版となるものを指す示唆的な呼称である。原初の乗法的積分は、1887年にヴィト・ヴォルテラが線型微分方程式系を解くために用いた[1][2]（後述）。そのほか、乗法的積分の例には幾何積分 (geometric integral)、第二幾何積分 (bi­geometric integral)[訳語疑問点] など非ニュートン微分積分学におけるいくつかの積分を挙げることができる[3]。 本項ではヴォルテラらに倣い、乗法的積分を表すのに積分記号 ∫（や、それに積記号 × や P を重ねた変形版）ではなく ∏ を用いる。 定義[編集] 函数 f: [a, b] → R の古典リーマン積分は と定義される（ただし極限は、区

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数学における恒等写像（こうとうしゃぞう、英: identity mapping, identity function）、恒等作用素（こうとうさようそ、英: identity operator）、恒等変換（こうとうへんかん、英: identity transformation）は、その引数として用いたのと同じ値を常にそのまま返すような写像である。集合論の言葉で言えば、恒等写像は恒等関係（こうとうかんけい、英: identity relation）である。 定義[編集] 厳密に述べれば、M を集合として、M 上の恒等写像 f とは、定義域および終域がともに M であるような写像であって、M の任意の元 x に対して f(x) = x を満たすものを言う[1]。言葉で書けば、M 上の恒等写像は、M の各元 x に x 自身を対応させて得られる M から M への一つの写像である[2]。 M 上の

数学におけるリース＝ソリンの定理（リース＝ソリンのていり、英: Riesz-Thorin theorem）とは、「作用素の補間」に関する一結果で、しばしばリース＝ソリンの補間定理（Riesz-Thorin interpolation theorem）やリース＝ソリンの凸性定理（Riesz-Thorin convexity theorem）と呼ばれる。リース・マルツェルとその指導学生オロフ・ソリン（英語版）の名にちなむ。 この定理は、の間の線形写像のノルムを評価する。この定理の有用性は、のいくつかが、その他の空間よりも簡単な構造を備えることに由来する。通常はそのような空間として、ヒルベルト空間である や、 などが考えられる。したがって、リース＝ソリンの定理を使うことで、2つの簡単な場合に成り立つ定理を、より複雑な場合へ拡張することができる。マルチンケーヴィッチの定理は同様の定理であるが、それ

この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。脚注を導入して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2023年8月） デデキント切断（デデキントせつだん、英: Dedekind cut）、あるいは単に切断 (独: Schnitt) とは、リヒャルト・デデキントが考案した数学的な手続きで、実数論の基礎付けに用いられる。 定義[編集] 全順序集合 K を、一方が他方の全ての元よりも小であるような二つの組に分けたとする。 K = A ∪ B, A ≠ ∅, B ≠ ∅; a ∈ A, b ∈ B ⇒ a < b. このような組 (A, B) をデデキント切断という。 概論[編集] 以下では全順序集合Kとして有理数をとり、「切断が一つの数を確定する」ことを公理に採用して有理数の"隙間"を埋める形で、実数を構成する。仮に上記のA,Bをそれぞ

This SQL query (requires PostgreSQL 8.4) produces an ASCII-art image of the Mandelbrot set. It is written entirely in SQL:2008-conformant SQL. WITH RECURSIVE x(i) AS ( VALUES(0) UNION ALL SELECT i + 1 FROM x WHERE i < 101 ), Z(Ix, Iy, Cx, Cy, X, Y, I) AS ( SELECT Ix, Iy, X::float, Y::float, X::float, Y::float, 0 FROM (SELECT -2.2 + 0.031 * i, i FROM x) AS xgen(x,ix) CROSS JOIN (SELECT -1.5 + 0.031

Accidentally Turing-Complete Some things were not supposed to be Turing-complete. This is a collection of such accidents. Stuff which is somehow limited (stack overflows, arbitrary configuration, etc) is still considered Turing complete, since all "physical" Turing machines are resource limited. C++ Templates Although they were initially not supposed to, C++ templates are Turing-complete. For proo

擬似相関（ぎじそうかん、英: Spurious relationship, Spurious correlation）は、2つの事象に因果関係がないのに、見えない要因（潜伏変数）によって因果関係があるかのように推測されること。擬似相関は、客観的に精査するとそれが妥当でないときにも、2つの集団間に意味の有る関係があるような印象を与える。 2つの（確率）変数間の擬似相関は、第三の原因変数を導入することで生み出される。換言すれば、A と B の間の相関を見出す。従って、考えられる関係としては次の3つがある。 A が B を発生させる B が A を発生させる または C が A と B を発生させる 最後の関係が擬似相関である。そのため、「相関関係は因果関係を含意しない」とよく言われる。 例[編集] 擬似相関の例として、ある街でのアイスクリームの売り上げを考えてみよう。アイスクリームの売り上げが

数学において、アフィン・リー環（英: affine Lie algebra）は、有限次元単純リー環から自然な方法で構成される無限次元のリー環である。アフィン・リー環は一般カルタン行列が半正定値で余階数が 1 のカッツ・ムーディ・リー環である。純粋数学的な視点からは、アフィン・リー環は面白い理由は、その表現論が、有限次元半単純リー環の表現論のように、一般のカッツ・ムーディ・リー環の表現論よりもはるかによく理解されているからである。ヴィクトル・カッツによって発見されたように、アフィン・リー環の表現に対する指標公式から、組合せ論的な恒等式であるマクドナルド恒等式が導かれる。 アフィンリー環はそのつくり方により弦理論や共形場理論において重要な役割を果たす。つくり方は、単純リー環 からはじめて、円（閉弦と解釈される）上の 値関数からなる点ごとの交換子によるループ代数 を考える。アフィンリー環 はルー

関数解析学における開写像定理（かいしゃぞうていり、英語: Open mapping theorem）あるいはバナッハ・シャウダーの定理（ステファン・バナッハとユリウス・シャウダー（英語版）の名にちなむ）とは、バナッハ空間の間の連続線形作用素が全射であるならば開写像であるということについて述べた、同分野の基本的な結果の一つである。より正確に言うと (Rudin 1973, Theorem 2.11): もし X と Y がバナッハ空間で、A : X → Y が全射の連続線形作用素であるなら、A は開写像である（すなわち、U が X の開集合であるなら、A(U) は Y の開集合となる）。 証明にはベールの範疇定理が用いられる。また X と Y が完備であることは、定理の成立において本質的な条件である。実際、上記の主張において X, Y がバナッハ（完備なノルム空間）であるという仮定を緩めて、

計算複雑性理論におけるArthur–Merlinプロトコル(Arthur–Merlin protocol)あるいは、Merlin–Arthurプロトコル(Merlin–Arthur protocol)は、検証者のコイン投げが公開されている(使用する乱数が証明者に知られている)タイプの対話型証明プロトコルである。そのようなプロトコルを持つ言語のクラスとして、AM及びMAがそれぞれ定義され、本項では主にこのクラスについて説明する。Babai (1985)によって導入された。 概要[編集] Arthur–Merlinプロトコルは、ArthurとMerlinがやりとりをして、与えられた問題を解く(受理する/拒否する)ようなプロトコルである。他の対話証明プロトコルと用語を合わせるため、以降、Arthurを検証者(Verifier)、Merlinを証明者(Prover)と呼ぶ[1]。検証者は、確率的多

数学において、主束（しゅそく、英: principal bundle）は、枠束を抽象化した概念である。 ここで枠束（英: frame bundle）とは、ファイバー束であって、任意の一点上のファイバー（繊維）が、あるベクトル空間における並び順の付いた基底全体の集合からなるものである。 主束は、構造群と呼ばれるある与えられた群 G により、ファイバーが G の主等質空間（英：principal homogeneous space）（G が自由かつ推移的に作用する集合のこと。G-トルソ（英：G-torsor）ともいう）になるものとして特徴付けられる。 これは、一般枠束におけるベクトル空間の全基底に対する一般線型群の作用を一般化したものである。 さらに、主 G 束（しゅ G そく、英: principal G-bundle）とは、ファイバー束であって、全てのファイバーが位相群 G の群の作用によ

数学において弱形式（じゃくけいしき、英: weak formulation）は、線型代数学の概念を、例えば偏微分方程式などの他の分野において問題を解くために用いることを可能にする、重要な解析上の道具である。弱形式において、方程式の絶対性はもはや要求されず（適切である必要すらない）、代わりにあるテストベクトルあるいはテスト函数に関する弱解が存在する。これは超函数の意味で解を要求する問題を構成することと同値である。 ここでは弱形式に関するいくつかの例を紹介し、その解に対する主要な定理であるラックス＝ミルグラムの定理（Lax-Milgram theorem）を述べる。 一般の概念[編集] をあるバナッハ空間とする。次の方程式の解 を見つけたい。 但し および であり、 は の双対である。 定義よりこの問題は全ての に対して次を満たすような を見つけることと同値である： . ここで をテストベクト

以下の定積分をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の楕円積分（だえんせきぶん、英: elliptic integral）という。ただし、である。 定数を母数（modulus）、を特性（characteristic）という。母数の代わりにパラメーター、あるいはモジュラー角を用いることもあり、慣れない人を混乱させる種になっている。日本語の場合は、特性を助変数（通常はparameterの訳語）と称することもあるので更に注意が必要である。 楕円の弧長など、三次式、或いは四次式の平方根の積分や五次以上の高次方程式は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。 ルジャンドルの標準形[編集] 最初に示したものはヤコービの標準形であるが、ヤコービの標準形において積分変数と置けば(置換積分)幾らか簡単なルジャンドルの標準形が得られる[1]。 特定の母数の場合[編集] ヤコービの標準形[編集] の場合