ボックス=ミュラー法のイメージ。単位正方形(u1, u2)内部の色の付いた点は円状に散布され、2次元正規分布となる。上と右の余白に点で示される曲線は変換後の確率密度関数である。図は有限の区間でのプロットであるが、実際には変換後の分布は無限に広がる。the SVG fileでは、カーソルを合わせた点と関係する点をハイライトする。 ボックス=ミュラー法(ボックス=ミュラーほう、英: Box–Muller's method)とは、一様分布に従う確率変数から標準正規分布に従う確率変数を生成させる手法[1]。計算機シミュレーションにおいて、正規分布に従う擬似乱数の発生に応用される。統計学者ジョージ・ボックス(英語版)とマーヴィン・マラー(ミュラー)によって考案された[2]。 概要[編集] 確率変数 X 及び Y が互いに独立で、ともに(0, 1)上での一様分布に従うものとする。このとき、 で定義され
正の整数の最初 160 個(X軸上) をゼッケンドルフの表現で表したもの。長方形それぞれの色がフィボナッチ数列での番号、高さが値に対応している。 数学におけるゼッケンドルフの定理とは、任意の正の整数は、1つ以上の、番号が連続しないフィボナッチ数の和として一意に表せるという定理である。名前はベルギーの数学者、Edouard Zeckendorf に由来する。より厳密には、 定理 ― N を任意の正の整数とすれば、ci+1 > ci + 1 を満たす正の整数 ci ≥ 2 が存在して、 (ただし Fn は n 番目のフィボナッチ数) というものである。このような和は N のゼッケンドルフの表現と呼ばれる。 例えば、100 のゼッケンドルフの表現は 100 = 89 + 8 + 3 となる。100 をフィボナッチ数の和として表す方法は他にも 100 = 89 + 8 + 2 + 1 100 =
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "階数・退化次数の定理" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2021年7月) 数学の線型代数学の分野における階数・退化次数の定理(かいすう・たいかじすうのていり、英: rank–nullity theorem)とは、最も簡単な場合、ある行列の階数 (rank) と退化次数 (nullity) の和は、その行列の列の数に等しいということを述べた定理である。次元定理[1]とも呼ばれる。 行列[編集] A がある体上の m × n 行列(行の数が m で、列の数が n)であるなら、 rank A + nullity A = n が成立
H. J. キースラー(英語版)著 Elementary Calculus: An Infinitesimal approach(『無限小解析の基礎―微積分の新手法』)は、大学初年度級向けの初等解析学(微分積分学)用の教科書として書かれた。副題は An approach using infinitesimals とされることもあり、アブラハム・ロビンソンの超実数の意味での無限小の利用を仄めかすものになっている。本書は、著者による無償オンライン版(CC BY-NC-SA)と、ドーヴァー出版からの書籍版[1]が、利用可能である。 教科書としての配慮[編集] 当教科書は、ロビンソンによる超実数の構成に基礎をおくものである。キースラーはより深く基本資料をカバーする指導者向けに傍用図書として Foundations of Infinitesimal Calculus(「無限小解析の基礎」)も著してい
ヒルベルトの第12問題(ヒルベルトのだい12もんだい、英: Hilbert's twelfth problem; ヒルベルトの23の問題より)またはクロネッカーの青春の夢(クロネッカーのせいしゅんのゆめ、Kronecker's Jugendtraum)は、「代数体のアーベル拡大は、もとの体に適当な解析函数の特殊値を添加してできる拡大体に含まれなければならない」という代数体のアーベル拡大を具体的に構成する方法を問う問題である。 有理数体にたいしては、そのアーベル拡大は円分体にふくまれるというクロネッカー・ウェーバーの定理が知られており、円分体は1のべき根により生成されるという具体的な構成法があたえられる。 虚数乗法の古典的な理論は「クロネッカーの青春の夢」として知られており、上の問題において代数体として虚二次体を選んだ場合の解答である。クロネッカーは、気に入った青春の夢 liebster J
数学におけるレギオモンタヌスの問題(またはレギオモンタヌスの角度最大化問題(レギオモンタヌスのかくどさいだいかもんだい、英: Regiomontanus's angle maximization problem)とは、15世紀のドイツの数学者ヨハネス・ミュラー・フォン・ケーニヒスベルク[1](レギオモンタヌスの名でも知られる)が考案した有名な最大化問題である[2]。問題は次の通り。 2つの点は鑑賞者の目の位置を表す。 絵画が壁に掛かっており、その上端と下端の高さが鑑賞者の目の高さより上にあるとする。このとき、鑑賞者(の目)の絵画に対する角度が最大になるのは、壁からどれだけ離れているときか。 鑑賞者が壁に近すぎても遠すぎても絵画に対する角度は小さくなってしまうため、その間のどこかで角度が最大になる。 ラグビーにおいてキックの最適な位置を求める問題もこれと同じである[3]。また、必ずしも絵画が
円周率の無理性の証明(えんしゅうりつのむりせいのしょうめい)は、円周率が無理数であること、すなわち円周率の小数展開が無限に続き、しかも循環しないことの証明である。円周率が無理数であること自体はよく知られた事実であるが、その証明を目にする機会はあまりない[1]。知られている中で最も簡単な証明は、初等的な微分積分学のみを用いるものである。 歴史[編集] 円周率は古代から考察の対象とされ、無理数であることは紀元前4世紀のアリストテレスが予想していたが、証明されたのは二千年以上後のことである。1761年、ドイツの数学者ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトは、正接関数の無限連分数表示 を用いて、初めて円周率の無理性を示した[2]。その証明は現代的にはやや不満の残るものであったが、1794年にフランスのアドリアン=マリ・ルジャンドルは厳密な証明を与え、さらに π2 も無理数であることを発見した。したがって
数論において、フェルマーの小定理(フェルマーのしょうていり、英: Fermat's little theorem)は、素数の性質についての定理であり、実用としてもRSA暗号に応用されている定理である。 概要[編集] を素数とし、 を整数とすると、 が成立すると言う定理である。また、 を素数とし、 を の倍数でない整数( と は互いに素)とするときに、 が成立する。すなわち、 の 乗を で割った余りは である。有名なフェルマーの最終定理と区別するためにあえて「小」定理と称されている。 この定理はピエール・ド・フェルマーの名を冠するが、フェルマーの他の予想と同じく、フェルマー自身によって証明が与えられていたことが確認されているわけではない。この定理に対する証明はゴットフリート・ライプニッツによって初めて与えられた。 証明[編集] 3通りの証明を示す。 証明(1)[編集] 二項定理から、数学的帰
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "算術オーバーフロー" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2023年11月) 算術オーバーフロー(さんじゅつオーバーフロー、英: arithmetic overflow)あるいは単にオーバーフローは、デジタルコンピュータにおいて、演算結果がレジスタの表せる範囲や記憶装置上の格納域に記録できる範囲を超えてしまう現象、またはその結果レジスタ等に格納される値を意味する。オーバーフローは、本来演算結果を格納する場所とは違う場所に格納される場合がある。溢れ(あふれ)とも言う。 符号無し表現の加減算では、最上位桁より上の桁(存在しない桁)へ
コーシー分布(コーシーぶんぷ、英語: Cauchy distribution)は、連続確率分布の一種である。分布の名称は、フランスの数学者オーギュスタン=ルイ・コーシーに因む。確率密度関数は以下の式で与えられる。 ここで x0 は分布の最頻値を与える位置母数(英語版)、γ は半値半幅を与える尺度母数(英語版)である。 この分布は、ヘンドリック・ローレンツの名を取ってローレンツ分布と呼ばれることもあり、またこれら2人の名前を合わせてコーシー-ローレンツ分布とも呼ばれる。また物理学の分野では、ブライト・ウィグナー分布という名前で知られている。この分布は強制共鳴を記述する微分方程式の解となることから、物理学では重要な存在となっている。また分光学では共鳴広がりを含む多くのメカニズムによって広げられたスペクトル線の形状を記述するために用いられる。以下では、統計学における名称であるコーシー分布を用いて
原文と比べた結果、この記事には多数の(または内容の大部分に影響ある)誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。 楕円曲線のカタログ、示されている領域は [−3, 3]2 である。ただし(a, b) = (0, 0) におけるものは楕円曲線ではない)。 数学における楕円曲線(だえんきょくせん、英: elliptic curve)とは種数 1 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、特定の基点 O を持つ種数 1 の代数曲線を言う[1]。 楕円曲線上の点に対し、先述の点 O を単位元とする(必ず可換な)群をなすように、和(この和は和差積商の和のこと)を代数的に定義することができる。すなわち楕円曲線はアーベル多様体(数学者ニールス・アーベルより)である。 楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 P2 の中の三次の平面代数曲線として見
数学において、一般四元数群[1][2][3](いっぱんしげんすうぐん、英: generalized quaternion group)とは、四元数群 を一般化した有限群のこと。これは という表示で定義される[4][5]、位数 4m で、位数が 2 である部分群()を唯一つ持つ群である[6]。(2群の場合しか考えないこともある[2][7][1]。この場合、位数 2n の一般四元数群を Qn と書く流儀もあり[1]、注意が必要である。)群の生成元を のように対応させることで、忠実な行列表現を得ることができる。 四元数群[編集] 四元数群(しげんすうぐん、英: quaternion group)は という表示で定義される[8]。これは位数 8 の非可換群で、すべての真部分群は巡回的である。元 ijk ∈ Q8 は唯一つの対合で中心的であり、 −1 と書かれることも多い。これらの記号はハミルトンの
トポロジーにおいて、 3次元多様体の素な分解 (en:Prime decomposition (3-manifold))とは任意のコンパクト、向き付け可能3次元多様体は有限個の素な多様体の連結和として(同相を除いて)一意に表されるという定理である。 多様体が素であるとは連結和として与えられた時少なくとも一方が球面と同相となることである。 P を素な3次元多様体とする時、S2 × S1 であるか、S1上の向き付け不可能なS2束であるか、既約多様体のどれかと Pが一致する。(既約多様体とは埋め込まれた任意の2次元球面が3次元球体の境界となるような多様体のことである。) 従って定理は既約な3次元多様体とS1上のS2束の連結和として一意に表せると言い換える事ができる。 証明はHellmuth Kneserによって連結和分解の存在性が証明され、一意性は30年後にJohn Milnorによって示された
作用素 のゼータ函数は、以下のように定義される関数である。 の右辺が存在するような s に対してはこの式で、他の s の値に対してはこの函数の解析接続として定義される。ここに tr は函数のトレースを表す。 ゼータ函数は、次の式で作用素 の固有値 によってスペクトルのゼータ函数(spectral zeta function)[1] としても表現できる。 これは汎函数行列式を厳密に定義することに使われる。それは で与えられる。 ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数は、作用素がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの場合の例である。 また、この考え方は、ゼータ函数正規化や解析的トーションに適用される。 さらに、代数幾何学的に一般化された熱核の方法とともに、作用素のゼータ函数は、アラケロフ理論(英語版)の最も重要な動機の一つになっている。[2] 参考文献[編集] ^ Lapidus & v
ゲーム木(ゲームき、英: game tree)は、組合せゲーム理論において、ゲームの盤面を有向グラフのノードで、手をエッジで表したものである。完全ゲーム木とは、ゲームの最初から指せる全ての手を含んだゲーム木である。なお、組合せゲーム理論ではない通常のゲーム理論の「ゲームの木」については展開型ゲームを参照。 三目並べの最初の2手のゲーム木 右図は、三目並べのゲーム木の最初の2レベル(あるいは2手)までを示したものである。ここでは、盤面を回転させたり反転させて同じになるものは等価としているため、最初の1手は3種類(中心、角、角と角の間)しかない。2手目は、1手目が中心の場合は2種類、そうでない場合は5種類ある。 完全ゲーム木の葉ノードの数をゲーム木複雑性(game-tree complexity)と呼び、そのゲームが最終的にどれだけの異なる盤面で終わるかを示している。三目並べのゲーム木複雑性は
定幅図形(ていふくずけい)は、差渡しの幅が常に一定となる図形である。つまり、転がした時に高さが変わらない図形である。ただし、重心の高さは変わっても良い。 2次元の閉曲線の場合は定幅曲線 (curve of constant width)、3次元の閉曲面の場合は定幅曲面 (surface of constant width) という。定幅曲線には円やルーローの多角形など(の周)、定幅曲面には球など(の表面)がある。 周長と面積[編集] 幅が同じ定幅曲線の周長は一定である。すなわち、幅 s の定幅曲線の周長は直径 s の円周と同じ である。これをバルビエ (Barbieri) の定理と呼ぶ。 幅が(すなわち周長が)同じでも、面積は異なりうる。円は周長が同じ図形の中で面積が最大なので、幅 s の定幅曲線の中でも最大である。その面積は である。 それに対し、面積が最小なのはルーローの三角形である。
ウィグナーの6j記号は、1940年にユージン・ウィグナーによって定義され、1965年に発表された。ラカー係数と次のような関係にある。 ラカー係数よりも高い対称性を持っている。 対称性[編集] 6j記号は任意の二つの列の交換に対して不変である。 任意の2つの列における上下の要素を入れ替えても不変である。 6j記号 は、、、に対して、以下の三角不等式を満たさない場合は0となる。 上下の要素の入れ替えに対する対称性とあわせて考えると、、、に対しても三角不等式が満たされなければならない。 別の形[編集] [1] ここで、 特殊な場合[編集] となる場合、6j記号は次のようになる。 が三角不等式を満たす場合、は1となり、それ以外は0となる。この対称性の関係は、どれかのが0となる場合の導出に用いられる。 直交性[編集] 6j記号は次の直交関係を満たす。 参考[編集] クレブシュ-ゴルダン係数 3j記号
数学において多重劣調和函数(たじゅうれつちょうわかんすう、英: plurisubharmonic function)は、複素解析において用いられるある重要な函数のクラスを形成する。しばしば psh、plsh あるいは plush 函数と略される[1]。ケーラー多様体上で、多重劣調和函数は劣調和函数の部分集合を形成する。しかし、(リーマン多様体上で定義される)劣調和函数とは異なり、多重劣調和函数は複素解析空間上で完全な一般性をもって定義される。 正式な定義[編集] 定義域が であるような函数 が多重劣調和的(plurisubharmonic)であるとは、それが上半連続であり、すべての複素直線 , に対して函数 が次の集合上で劣調和的であることを言う: 完全な一般性をもって、この概念は任意の複素多様体や複素解析空間 でも次のように定義できる。ある上半連続函数 が多重劣調和的であるための必要十分
この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注による参照が不十分であるため、情報源が依然不明確です。適切な位置に脚注を追加して、記事の信頼性向上にご協力ください。(2013年1月) 数学の分野における、n 階の双曲型偏微分方程式(そうきょくがたへんびぶんほうていしき、英: hyperbolic partial differential equation)とは、大まかには、n−1 階微分まで良設定な初期値問題を含む偏微分方程式のことを言う。より正確には、非特性的超曲面に沿った任意の初期データに対して局所的に解くことの出来るコーシー問題のことを言う。力学に現れる多くの方程式は双曲型であるため、その研究は本質的に重要かつ時代の要求に即したものとして、興味の注がれるものである。双曲型方程式の代表例として、波動方程式が挙げられる。空間が一次元の場合では、その方程式は として与えられる
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "局所体" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2021年1月) 局所体(きょくしょたい、英: local field)とは、離散付値に対して完備であり、剰余体が有限体である付値体のことである。 局所体の定義としては、上に挙げたもの以外にもいくつかあり、そのうちの代表的なものを挙げる。これらは互いに同値な定義である。 局所体とは、非アルキメデス付値に対して完備であり、付値環がコンパクトである付値体のことである。 局所体とは、自明ではない乗法付値に対して連結ではない局所コンパクトな付値体のことである。 局所体とは、p進体もしくは有限
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関数解析学におけるシフト作用素(シフトさようそ、英: Shift operator)あるいは平行移動作用素(translation operator)とは、ある関数 f(x) をその平行移動 f(x+a) に写す作用素のことを言う[1]。時系列解析では、シフト作用素はラグ作用素(英語版)と呼ばれる。 シフト作用素は線型作用素の例であり、その簡明さおよび自然発生的な需要において重要なものである。シフト作用素のある実数関数上での作用は、調和解析の分野で重要な役割を担い、例えば概周期関数や正定値関数(英語版)、畳み込みの定義において用いられる[2]。ある(整数を変数とする関数の)列のシフトは、ハーディ空間やアーベル多様体の理論、ベーカー写像(英語版)が陽的な表現となる記号力学(英語版)の理論のような広範な分野に現れる。 定義[編集] 実変数関数[編集] シフト作用素 Tt (t ∈ R) は、R
計算機科学において、多項式時間近似スキーム(英: polynomial-time approximation scheme、PTAS)は(大抵NP困難であるような)最適化問題に対する近似アルゴリズムの一種である。 PTASは最適化問題のインスタンスとパラメータ を入力として受け取り、多項式時間内に最適解の 倍以下の解を求めることのできるアルゴリズムである(最大化問題の場合は 倍以上)。例えば、ユークリッド距離に基づく巡回セールスマン問題では、最適解の長さを としたとき、高々 の解を見つけることができる。[1] PTASの実行時間は、 を固定すると、問題の大きさ の多項式であることが求められるが、 に対しては定められていない。このため、実行時間が や オーダーであっても、PTASである。 変形[編集] 決定的[編集] PTASアルゴリズムがある現実的な問題は、εを小さくすると多項式の指数部が
3次元のNURBS曲面は複雑で有機的な形状をとることができる。制御点は曲面の方向と位置を支配する。最下部の四角形はこの曲面のXY平面上への投影である NURBS曲線の例 Animated version NURBSはNon-Uniform Rational B-Spline(非一様有理Bスプライン)の略で、曲線や曲面を生成するためにコンピュータグラフィックスで一般的に採用される数学的モデルである。その柔軟性と正確性からモデリング用の形状にも、解析的な用途にも向いている。 歴史[編集] NURBSは1950年代に船体や航空機自動車の外表面形状に使われるような自由曲面を数学的に正確に表現する必要のあったエンジニアらによって開発された。必要に応じていつでも完璧に同一の形状が再生成されるような仕組みはそれ以前にはなく、曲面を表現するにはデザイナーによって形作られた物理的な模型を用いる他なかった。
応用数学合同研究集会[編集] 応用数学分科会が主催し、日本応用数理学会と龍谷大学理工学部が協賛している。広く応用数学に関連した研究報告を行うことを目的としていて、応用数学に関連した科研費の補助をうけて開催している[2]。解析系と離散系に分かれてセッションを行う。 応用数学特別セッション[編集] 応用数学分科会は日本数学会の年会・秋季総合分科会と並行して応用数学特別セッションを開催し、特定テーマに沿って研究報告を行っている。過去には 機械学習・深層学習 (2018年) 凸多面体 (2017年) en:topological data analysis (2016年) 量子ウォーク (2015年) 将棋 (2013年) フラクタル (2010年) などが扱われた[3]。 分科会特別講演・企画特別講演[編集] 応用数学分科会は日本数学会の年会・秋季総合分科会において、講演者を招待して分科会特別講
解答を作成しました。 図が気持ち悪いです。 https://t.co/hR2A0h184G https://t.co/NAdb6siJEV
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