Dedekind の公理と Weierstrass の公理の同値性を丁寧に証明する

$(\Rightarrow)$ を示す． 空集合でなく，上に有界な$\mathbb R$ の部分集合 $A$ を任意に取る．$A$ の上界の集合を $U(A)$ と書くことにし，$C = U(A)^c = \mathbb R \setminus U(A)$ で定義する．このとき，$< C, U(A)>$ は $\mathbb R$ の切断になっている． 定義1 に照らし合わせてこれを確認しよう．$C \neq \emptyset$ であることは，或る $a \in A$ に対し $b< a$ を満たす $b$ は $b \in \mathbb R$ かつ $b \neq U(A)$ であるため，$b \in C$ であるのでよい（$A \neq \emptyset$ よりこのような $a$，$b$ は存在する）．$U(A) \neq \emptyset$ は $A$ が上に有界であるという