常微分方程式の数値解法 - Wikipedia
常微分方程式の数値解法 (じょうびぶんほうていしきのすうちかいほう、英: Numerical methods for ODEs) は、数値解析において常微分方程式を数値的に解く技術の総称である[1][2]。 数値解法の必要性[編集] これまで様々な自然現象 (物理現象など) を記述するために多くの常微分方程式が作られ、多くの数学者たちがその解法を探求してきたが、フックス型微分方程式[3][4]などを除いて、手計算だけで厳密に解ける常微分方程式は多くない。そのため多くの研究者たちが常微分方程式を数値的に解く技術について研究をしてきた[1][2]。最も標準的な手法はルンゲ・クッタ法であり[1][2][5][A 1]、MATLABにはode45として搭載されている。しかしこれは万能なソルバーとは言えない。例えばパンルヴェ方程式[6][7][8]やリッカチ方程式[9]などは非線形性によって精度の良
根元事象 - Wikipedia
確率論において、根元事象（こんげんじしょう、英語: elementary event）とは、1つだけの結果からなる事象である[1]。原子事象（げんしじしょう、英語: atomic event）ともいう。集合論の観点では、根元事象は単集合である。 根元事象とそれを構成する結果は、単純化するために区別なく記述されることもある。 根元事象の確率が互いに等しいとき、その確率空間を等確率空間という。等確率空間の標本空間は有限集合である。標本空間が無限集合ならば非等確率空間となる。 例[編集] k ∈ N としたときの、全ての集合 {k}。標本空間は S = {1, 2, 3, …}（自然数）となる。 コイントスを2回行ったときの (H, H), (H, T), (T, H), (T, T)。ここで、Hは表、Tは裏が出たことを示す。標本空間は S = {(H, H), (H, T), (T, H),
固有多項式 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "固有多項式" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2015年3月） 線型代数学において、固有多項式（こゆうたこうしき、characteristic polynomial）あるいは特性多項式（とくせいたこうしき）とは、有限次元線形空間での線形変換に対してその固有値を求めるために得られる多項式のことである。特に正方行列に対して定義される。 固有多項式は、その線形変換（正方行列）の行列の固有値、行列式、トレース、最小多項式といった重要な量と関連している。相似な行列に対しては同じ固有多項式が定まる。 またグラフ理論において、グラフの固有
？→φ→ψ→三
Kanrokoti氏がCollapsificationの考察で\(\varphi\rightarrow\psi\rightarrow\textrm{三}\)という図式で、\(\varphi\)のさらに左に位置する何らかの表記がある[1]とした。ここでそれを三関数に習い〇関数と命名し、定式化を試みる。p進大好きbot氏による拡張Buchholz OCFに伴う順序数表記や、Kanrokoti氏によるくまヒドラ関数やTSS-ψ関数などを元にした。 期待される性質[] \(\varphi\rightarrow\psi\rightarrow\textrm{三}\)の拡張であることから、次のことが期待される。[2] 加法ベースの表記である。つまり、\(\textrm{〇}(A,s+1)[n]=\textrm{〇}(A,s)+\cdots+\textrm{〇}(A,s)\)のような形になる。 \(\te
トレースクラス - Wikipedia
数学の分野におけるトレースクラス（英: trace class）作用素とは、有限かつ基底の選び方に依らないトレースを定義できるようなあるコンパクト作用素を指す。 トレースクラス作用素は、本質的には核作用素と等しいものであるが、多くの研究者は「トレースクラス作用素」の語はヒルベルト空間上の特別な核作用素の場合に対して用い、より一般的なバナッハ空間に対して「核作用素」の語を用いる。 定義[編集] 行列に対する定義と似ているが、可分なヒルベルト空間 H 上の有界線型作用素 A がトレースクラスに属するとは、H のいくつかの（実際には全ての）正規直交基底 {ek}k に対して、正の項の和 が有限であることを言う。この場合、和 は絶対収束し、その正規直交基底の選び方に依らない。この値は、A のトレースと呼ばれる。H が有限次元であるなら、すべての作用素はトレースクラスであり、この A のトレースの定
白川の定理 - Wikipedia
青と赤と橙と緑の三角形の面積は等しい。 白川の定理（しらかわのていり）とは幾何学の三角形に関する定理である。 当時、高校1年生だった白川昌宏が発見し、盛岡第一高等学校少年少女数学愛好会により1990年9月8日に発行された「取れたての定理です」第1巻において発表された。 定理[編集] △ABCに正方形ABB′A″, BCC′B″, CAA′C″が外接しているとき、 △ABC=△AA′A″=△BB′B″=△CC′C″ である。 当時の証明は元の三角形が直角三角形であることが条件だったが、後に宮本次郎により一般の三角形でも成り立つことが判明した。 証明[編集] △ABCに正方形ABB′A″, BCC′B″, CAA′C″が外接しているとき、 △ABCの内角で ∠BAC = α △AA′A″の内角で ∠A′AA″ = α′ △ABC = S, AC = AA′ = b, AB = AA″ = c
逐次二次計画法 - Wikipedia
逐次二次計画法（ちくじにじけいかくほう、英: sequential quadratic programming）は非線形最適化のための反復解法の一つである。逐次二次計画法は目的関数と制約関数の両方が二階微分可能であるような問題に対して使われる。 逐次二次計画法は逐次的に二次の部分最適化問題を解く。それぞれの部分最適化問題は最適解に向かう探索方向を未知数とする二次計画問題になる。この際、問題に与えられている制約は探索方向に対して線形の条件に置き換えられる。問題が制約なしの最適化であるならば、勾配がゼロである点を見つけ出す一般のニュートン法と同様の定式化となる。また、問題が等式制約のみを持つ場合には、カルーシュ・クーン・タッカー条件（KKT条件）に対するニュートン法と同様の定式化となる。逐次二次計画法はNPSOLやSNOPT、NLPQL、OPSYC、OPTIMA、MATLAB、GNU Octa
ベイカーの定理 - Wikipedia
ベイカーの定理（ベイカーのていり、英: Baker's theorem）とは、1966年-1968年にかけて、アラン・ベイカーによって発表された、対数関数の一次形式に対する線形独立性、および下界の評価に関する一連の定理のことである。 下界の評価が計算可能であることから、数論の様々な分野で応用されている。 定理の主張[編集] 定理1 (対数関数の一次形式の線形独立性) を 0 ではない代数的数とする。もし、 が有理数体上線形独立であるならば、 は、代数的数体上線形独立である。 定理2 (対数関数の一次形式の下界の評価) を 0 ではない、次数が d 以下、高さが A 以下の代数的数とする。 また、 を、次数が d 以下、高さが 以下の代数的数としたとき、 とおくと、 または、 である。 ここで、C は、n、 d、 A、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。 定理からの派生的な
CFL条件 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "CFL条件" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2012年8月） CFL条件（シーエフエルじょうけん、Courant-Friedrichs-Lewy Condition）またはクーラン条件とは、数値解析によるコンピュータシミュレーションにおいて、「情報が伝播する速さ」は「実際の現象で波や物理量が伝播する速さ」よりも速くなければならないという必要条件のことである。1928年に、リヒャルト・クーラント、Kurt Friedrichs、ハンス・レヴィーによって提唱された[1]。 概要[編集] 例えば、離散格子系において波動を扱う場合
無視可能函数 - Wikipedia
数学における無視可能函数（むしかのうかんすう、英: negligible function）は、極限においていかなる多項式よりも非常に緩やかな増加をするような函数である。 定義[編集] 実数列 μ: N → R は、任意の正整数 c に対して適当な整数 Nc を選べば、x > Nc なる全ての x について が成り立つようにできるとき、「無視できる」という。あるいは同じことだが、次のように定義してもよい。すなわち、実数列 μ: N → R が「無視できる」とは、任意の正値多項式 poly(•) に対して適当な自然数 Npoly を選べば、x > Npoly なる全ての x に対して が成り立つようにできることをいう。 歴史[編集] 「無視可能」という概念は sound models of analysis にまで遡ることができる。 ニュートンやライプニッツの時代（1680年代）には連続性や
タングル - Wikipedia
数学の分野において、タングル (tangle) は結び目の一部分を切り取って得られるような幾何的対象のことである。通常次の二種類のいずれかを指す。 ある 2次元球面で切り取って得られるもの。以下のタングル(1)。 平行な二つの平面で切り取って得られるもの。以下のタングル(2)。 これらは共に「境界付き 3次元多様体に埋め込まれた、 1次元の(境界付き)多様体」とみなせるが、これら二種類のタングル(もしくはその一般化)が統一的に扱われることはないようである。 タングル(1)[編集] n-タングル (n-tangle)とは、交わらない n 本の(両端のある)曲線の 3次元球への適切な埋め込みのことである。各曲線の各端点は 3次元球の境界にあらかじめ指定された 2n 個の点のいずれかに写されなければならない。二つの n -タングルは、片方のタングルを他方に移す、境界を固定する全同位が存在するとき
第一可算的空間 - Wikipedia
数学の位相空間論において、第一可算空間（だいいちかさんくうかん、英: first-countable space）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を指す。すなわちx の可算個の開近傍 U1, U2, …で以下の性質を満たすものが存在するということである：x の任意の近傍 V に対しある が存在し、Vは Uiを部分集合として含む。 例と反例[編集] 普通に使われる空間のほとんどは第一可算的である。特に、距離空間はすべて第一可算的である。というのは、各点 x に対し、それを中心とする半径 1/n (n は正の整数) の開球の系列は x の可算な基本近傍系となっている。 第一可算的でない空間の例として、補有限位相を入れた (実数直線などの) 非可算集合がある。 別の反例として
チコノフの定理 - Wikipedia
チコノフの定理 (ちこのふのていり、露: Теорема Тихонова、英: Tychonoff's theorem)または、チホノフの定理 は、数学の位相幾何学 (トポロジー) における定理であり、任意個 (非可算個の場合を含む)のコンパクト空間の直積空間がやはりコンパクト空間となることを主張する。 この定理は、ソビエト連邦、後にロシア連邦の数学者である Andrey Nikolayevich Tikhonov (露: Андре́й Никола́евич Ти́хонов) (1906年 - 1993年)が、1930年に、最初は実数の閉区間の場合について証明し、1935年に完全な証明を与えている。 非可算個の直積について定理を証明するためには、選択公理またはこれと同値な整列可能定理の援用が不可避であるが、逆も成立し、チコノフの定理と選択公理は同値であることが証明されている 。さら
ファトゥの補題 - Wikipedia
数学の分野におけるファトゥの補題（ファトゥのほだい、英: Fatou's lemma）とは、ある関数列の下極限の（ルベーグ積分の意味での）積分と、積分の下極限とを関係付ける不等式についての補題である。ピエール・ファトゥの名にちなむ。 ファトゥの補題は、ファトゥ・ルベーグの定理（英語版）や、ルベーグの優収束定理の証明に使うことが出来る。 ファトゥの補題の標準的な内容[編集] f1, f2, f3, . . . を、測度空間 (S,Σ,μ) 上の非負可測関数の列とする。関数 f : S → [0, ∞] を各点毎に と定義する。このとき f は可測であり、 が成立する。 注釈: これらの関数は +∞ の値を取ることも許されており、積分の値も無限となる場合がある。 証明[編集] ファトゥの補題は、次に記載する初めの証明のように、直接的に証明することも出来る。この証明は、Royden（参考文献を
ダウンタック記号 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "ダウンタック記号" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2018年2月） ダウンタック記号 (ダウンタックきごう、down tack) は「⊤」の形をしたアルファベットの T に似た形の数学記号。単にティー (tee) やラテン語で「真」を意味するヴェルム (verum) とも呼ばれる。以下のような意味を持つ: 束論における最大元 論理学におけるトートロジー（恒真式） 型理論におけるトップ型（英語版） またアルファベットの T の代わりに行列の肩に乗って、転置を表すこともある（例: M⊤, 列ベクトル: (1, 2, 3)⊤）。
数学上の未解決問題 - Wikipedia
数学上の未解決問題（すうがくじょうのみかいけつもんだい、英: unsolved problems in mathematics）とは、未だ解決されていない数学上の問題のことで、未解決問題の定義を「未だ証明が得られていない命題」という立場を取るのであれば、そういった問題は数学界に果てしなく存在する。ここでは、リーマン予想のようにその証明結果が数学全域と関わりを持つような命題、P≠NP予想のようにその結論が現代科学、技術のあり方に甚大な影響を及ぼす可能性があるような命題、問いかけのシンプルさ故に数多くの数学者や数学愛好家たちが証明を試みてきたような有名な命題を列挙する。 ミレニアム懸賞問題[編集] 以下7つの問題はミレニアム懸賞問題と呼ばれ、クレイ数学研究所によってそれぞれ100万ドルの懸賞金が懸けられている。 P≠NP予想 ホッジ予想 ポアンカレ予想（グリゴリー・ペレルマンによって解決済み）
)
NC (計算複雑性理論) - Wikipedia
計算複雑性理論において、NC（Nick's Class）とは多項式個数のプロセッサで構成される並列計算機で，問題サイズの対数について多項式時間で解ける決定問題の複雑性クラスである。換言すれば、NC に属する問題は、O(nk)個の並列プロセッサを使って O((log n)c) の時間で解ける（c と k は定数）。"Nick's Class" という用語はスティーブン・クックの造語で、計算機科学者 Nick Pippenger にちなんでいる。 クラス P と同様、NC に属する問題は並列計算機で効率的に解くことができると見なされている。並列計算機は通常の計算機でシミュレート可能であるため、NC は P に含まれる。NC = P かどうかは判っていないが、おそらく違うだろうと言われている。つまり、多項式時間で解ける問題には「本質的に逐次的」なものがあり、並列化によって高速化できないと考えられ
ミッチェルの埋め込み定理 - Wikipedia
ミッチェルの埋め込み定理（ミッチェルのうめこみていり、英: Mitchell's embedding theorem）、あるいはフレイド・ミッチェルの定理 (Freyd–Mitchell theorem)、充満埋め込み定理 (full embedding theorem) は、アーベル圏についての結果である。定理が本質的に述べているのは、これらの圏はかなり抽象的に定義されるが実は加群の具体圏（英語版）であるということである。この定理によりこれらの圏において元ごとの diagram chasing による証明を用いることができる。 正確なステートメントは以下のようになる： A が小さなアーベル圏であれば、ある環 R とある完全忠実充満関手 F: A → R-Mod が存在する。（ただし R は 1 を持ち、可換とは限らない。また、R-Mod はすべての左 R 加群の圏である。） 関手 F は
尖点表現 - Wikipedia
数論における尖点表現（せんてんひょうげん、英: cuspidal representations; カスプ表現）は L2-空間に離散的に現れる代数群の表現の一種である。「尖点的」というのは、それが古典的なモジュラー形式論に関する尖点形式に関係することに由来する。保型表現の現代的な定式化では、正則函数の表現の代わりに、アデール代数群の表現を考えうる。 考えている群が一般線型群 GL2 のときの尖点表現は、尖点形式とマース形式に直接に関係する。尖点形式の場合については、各ヘッケ固有形式（アトキン＝レーナーの新形式）が尖点表現に対応する。 定式化[編集] G を数体 K 上の簡約代数群とし、A を K のアデール環とする。また、Z を G の中心、ω を Z(K)\Z(A)× から C× への連続ユニタリ指標とし、アデール群 G(A) 上のハール測度を固定して、G(A) 上の複素数値可測函数 f
数え上げ数学 - Wikipedia
英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Enumerative combinatorics|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順
6x6リバーシの神 - まめめも
絶対に勝てない6x6リバーシを作りました。あなたは黒番、AIが白番です。 絶対に勝てない6x6リバーシを作りました！ ぜひ挑戦してみてくださいhttps://t.co/Ul5n3q9jMp— Yusuke Endoh (@mametter) December 30, 2021 これは何？ 6x6の盤面のリバーシは後手必勝 *1 であることが知られています。 このAIは白番（後手）で完璧にプレイします。つまり黒番のあなたは絶対に勝てません。無力感を楽しんでください。 技術的な話 このAIはWebAssemblyになっているので、全部あなたのブラウザの上で動いてます。真のサーバーレスです。 AIのソースコードはRustで書きました。わりと堅実なゲーム木探索になってます。UIは普通にTypeScriptとthree.jsで実装しました。 github.com 作った順に説明します。 盤面の表現
Same Stats, Different Graphs: Generating Datasets with Varied Appearance and Identical Statistics through Simulated Annealing
“…make both calculations and graphs. Both sorts of output should be studied; each will contribute to understanding.” F.J. Anscombe, 1973 Anscombe’s Quartet It can be difficult to demonstrate the importance of data visualization. Some people are of the impression that charts are simply “pretty pictures,” while all important information can be divined through statistical analysis. An effective (and
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