リッジ回帰 - Wikipedia
リッジ回帰（リッジかいき、Ridge regression）は、独立変数が強く相関している場合に、重回帰モデルの係数を推定する方法[1]。計量経済学、化学、工学などの分野で使用されている[2]。 この理論は、1970年に Hoerl と ケナード が Technometrics の論文「RIDGE regressions: biased estimation of nonorthogonal problems」と「RIDGE regressions: applications in nonorthogonal problems」で初めて紹介した[3][4][1]。これは、リッジ分析の分野における 10 年間の研究の結果だった[5]。 リッジ回帰は、線形回帰モデルに多重共線性がある（強く相関する独立変数がある）場合に最小二乗推定量が不正確になることを解決するために開発された。リッジ回帰推定量
ブロイデン法 - Wikipedia
ブロイデン法（ブロイデンほう、英: Broyden's method）は、準ニュートン法の一種。Charles George Broyden が1965年に発表した[1]。 ニュートン法で f(x) = 0 を解く際はヤコビ行列 J をイテレーションの度に使用する。しかしながら、ヤコビ行列の計算は困難かつ計算量が多い。ブロイデン法のアイディアはイテレーションの初回だけヤコビ行列全体を計算し、2回目以降はランク1更新をする。 1979年に David M. Gay が大きさ n × n の線形システムにブロイデン法を適用した場合、2 n ステップで終了することを証明した[2]。しかしながら、他の準ニュートン法同様、非線形システムでは必ずしも収束しない。 関連項目[編集] 準ニュートン法 参照[編集] ^ Broyden, Charles George (October 1965). “A C
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跡 (線型代数学) - Wikipedia
数学の線型代数学において、正方行列の跡（せき、英: trace; トレース、独: Spur; シュプール）あるいは対角和（たいかくわ）とは、主対角成分の総和である。つまり を指す。それは基底変換に関して不変であり、また固有値の総和（固有値和）に等しい。ゆえに、行列の跡は行列の相似に関する不変量であり、そこから、行列に対応する線型写像の跡として定義することができる。 行列の跡は、正方行列に対してのみ定義されることに注意せよ。この語は（この同じ数学的対象を意味する）ドイツ語のSpurからの翻訳借用である。 定義[編集] 座標に依らない定義 係数体 F 上有限次元ベクトル空間 V 上の自己線型作用素全体の成す空間 L(V,V) を V の双対空間とのテンソル積と によって同一視することができる。このとき、標準的な双線型写像 から（テンソル積の普遍性により）導かれるテンソル積空間上の線型写像 tr
フォドアの補題 - Wikipedia
フォドアの補題 ― を非可算な正則基数、 を の定常集合、順序数関数 を押し下げ関数(regressive function; すなわち、全ての , に対し )とする。 このとき、ある順序数 と、ある定常集合 があって、全ての に対して を満たす(すなわち、 上で は定値関数である)。 証明 — このような定常集合 が存在しないとすれば、任意の に対し () は非定常である。ゆえに各 について と交わらないclub集合 が取れ、任意の について である。これらの族 の対角線共通部分を () とおく。 が正則より対角線共通部分 は再びclubとなり、 が定常なので も定常である。() を一つ選ぶ。このとき であり、全ての に対して である。よってどんな についても、 すなわち 。従って となるが、 が押し下げ関数だったことに矛盾する。// この補題はハンガリー人集合論者 Géza Fodor
中心的単純環 - Wikipedia
数学の特に環論において、体 K 上の中心的単純多元環（ちゅうしんてきたんじゅんかん、英: central simple algebra; CSA）とは、与えられた K 上の階数（ベクトル空間としての次元）が有限な結合多元環 A であって、環として単純で、その中心がちょうど K となっているようなものをいう。明らかに、任意の単純多元環は、その中心上の中心的単純環である。 例えば、複素数体 C はそれ自身の上の中心的単純環だが、（C の中心は C であって R ではないから）実数体 R 上の中心的単純環ではない。四元数体 H は R 上 4-次元の中心的単純環をなし、後述するように R のブラウアー群 Br(R) の非自明な元によって表される。 同じ体 F 上の二つの中心的単純環 A ≅ Mn(S) と B ≅ Mm(T) とが互いに相似（あるいはブラウアー同値）であるとは、それらに属する斜体
有界級数空間 - Wikipedia
数学の函数解析学の分野における有界級数（ゆうかいきゅうすう、英: bounded series）の空間 bs は、その部分和（series; 有限級数）の列が有界 (bounded) となるような実または複素無限数列全体の成す数列空間として で与えられる。この空間 bs は項ごとの和とスカラー倍に関してベクトル空間を成し、ノルム ‖ • ‖bs を与えてノルム空間の構造を持つ。さらに bs はこのノルムの誘導する距離に関して完備、従ってバナッハ空間となる。 bs の部分空間として、収斂級数 (convergent series) の空間 csは、その和（無限級数）が収斂（条件収斂（英語版）でもよい）する無限数列全体の成す数列空間 を言う。cs は、バナッハ空間 bs の（ノルム ‖ • ‖bs に関する）閉部分空間となるから、それ自身バナッハ空間を成す。 空間 bs は有界数列の空間 ℓ∞
局所コンパクト群における格子 - Wikipedia
リー理論（英語版）およびその周辺分野において、局所コンパクト位相群における格子（こうし、英: lattice）とは、離散部分群であって、それによる商位相空間が有限な不変測度を持つようなものをいう。特別な場合として、局所コンパクト群 Rn の場合を考えると、通常の幾何学的な概念としての格子が得られ、このときの格子の代数的構造や全ての格子全体における幾何はどちらも比較的よく知られている。1950年代から1970年代に掛けて得られた、ボレル、ハリシュ＝チャンドラ、ジョージ・モストウ、玉川、M.S.ラグナータン、マーグリス、ジマーらによる格子に関する深い結果は、理論の例を与えるとともに冪零リー群や局所体上の半単純代数群に対する理論への大きな一般化を与えた。1990年代には、ハイマン・バスやルボツキーによって樹状格子 (tree lattices) の研究が始められ、今もなお活発に研究されている。
『人と数学のあいだ』を読んで - onewanのメモ帳
最初に 先日販売された、東工大の数学科教授 加藤文元先生の新刊『人と数学のあいだ』を読了しましたので、読んでいて思ったことをつらつら書かせて頂きます。 本書は、文元先生と数学以外の領域の方との対談をオムニバス形式で紹介した内容となっておりました（下記発行元のトランスビューさんのページもご参照下さい）。 www.transview.co.jp それでは、ざっくりですが感想を書いていきます。 感想 第１章 数学することは生きること 竹内薫（ サイエンス作家） ルービックキューブと群論、接吻数と超ひも理論の話など興味深い話が盛りだくさんでした。未来の数学の姿として、圏論・トポスという言葉も出てきたので、これらの概念には一度入門したいですね。 第２章 数学と文学の交差点―すべての表現者は孤独か？ 岩井圭也（ 小説家） 岩井先生は「永遠についての証明」の中で、数学者は理論を想像するというよりも見出す
ケーリー＝ディクソンの構成法 - Wikipedia
順序対としての複素数[編集] 複素数は、実数 a, b の順序対 (a, b) として書くことができて、成分ごとの加法と で定義される乗法とを持つ。第二成分が零であるような複素数は実数に対応する（複素数 (a, 0) は、実数 a である）。 もう一つ、複素数上に定義される重要な演算に共役がある。(a, b) の共役 (a, b)∗ は で与えられる。この共役は が非負の実数であるという性質を持っている。以下の方法で、共役はノルムを定義し、複素数の全体は実数体上のノルム線型空間になる。複素数 z のノルムは、 で与えられる。さらに零でない複素数 z に対して、共役は乗法逆元 を与える。 2つの独立した実数からなるのだから、複素数の全体は実数体上の2次元ベクトル空間を成す。 次元が高くなったことの代償として、自分が自分自身と共役になるという実数が持っていた代数的性質を、複素数は失ったともいえ
関数の零点 - Wikipedia
を満たすようなもののことである。別の言い方をすれば、関数 f の零点 (zero) とは、x を f で写した結果が 0 (zero) となるような値 x のことである。 が x で消えている (vanish) と表現することもできる[1]。実関数、複素関数、あるいは一般に、環に値を持つ関数やベクトル値関数に対して用いられる。 多項式の根 (root) とは、それを多項式関数として考えたときの零点のことである。代数学の基本定理によると、0 でない任意の多項式は根を高々その次数個だけもち、根の個数と次数は、複素数の根（あるいはより一般に代数的に閉じている拡大における根）を重複度を込めて考えると等しい。例えば、多項式
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ケージ (グラフ理論) - Wikipedia
The Tutte (3,8)-cage. グラフ理論において、ケージとは与えられた与えられた内周を満たす正則グラフのうち、頂点数が最小のものである。 厳密に述べると次のようになる。(r,g)-グラフとは任意の頂点が相異なるr個の頂点と隣接し、かつグラフに含まれる最小のサイクルの長さがgに一致するものを指す。任意のr ≥ 2、g ≥ 3に対して(r,g)-グラフは存在することが知られている。(r,g)-ケージとは(r,g)-グラフのうちもっとも頂点数が少ないグラフのことである。 次数r、内周gのムーアグラフは存在すれば、ケージとなる。ムーアグラフの頂点数を表す式はケージに対して一般化することができる。すなわち奇内周gをもつグラフの頂点数は 以上となる。任意の(r,g)-グラフが上述の式を満たすと、定義からムーアグラフとなり、またケージとなる。同様に偶内周の場合は頂点数は 以上となる。またr
準有限射 - Wikipedia
数学の1分野である代数幾何学において、スキームの射 f : X → Y が準有限（じゅんゆうげん、英: quasi-finite）であるとは、有限型（英語版）かつ以下の同値な条件をいずれか１つ、したがって全てを満たすことを言う[1]。 X の全ての点 x はファイバー f−1(f(x)) の中で孤立している。言い換えれば、全てのファイバーは離散集合（したがって有限集合）である。 X の全ての点 x に対して、スキーム f−1(f(x)) = X ×YSpec κ(f(x)) は有限 κ(f(x)) スキームである。ここで、κ(p) は点 p での剰余体である。 X の全ての点 x に対して、 は 上有限生成である。 準有限射はアレクサンドル・グロタンディークにより SGA 1 の中で初めて定義されたが、そのときは有限型という仮定はついていなかった。この仮定は、のちに EGA II 6.2
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カレント (数学) - Wikipedia
原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。 数学、特に函数解析、微分幾何学や幾何学的測度論（英語版）(geometric measure theory)では、ジョルジュ・ド・ラーム(Georges de Rham)の意味でk-カレント(k-current)は、滑らかな多様体(smooth manifold) M のコンパクトな台を持つ微分形式 k-形式の空間上の汎函数である。形式的なカレントの振る舞いは、微分形式上シュワルツの超函数に似ている。幾何学的な設定では、ディラックのデルタ函数や、より一般的な M の部分集合に沿った（多重極（英語版）(multipole)を持つ）デルタ函数の方向微分も、一般化した部分多様体上の積分で表わすことができる。 定義[編集] で
特異分布 - Wikipedia
数学の確率論の分野における特異分布（とくいぶんぷ、英: singular distribution）とは、そこに含まれる各点での確率が 0 である零集合上に集められた確率分布のことを言う。しばしば特異連続分布とも呼ばれる。このような分布は、ルベーグ測度に関して絶対連続ではない。 各離散点は確率 0 であるため、特異分布は離散確率分布ではない。一方、任意の関数のルベーグ積分がゼロとなってしまうため、特異分布は分布関数を持つこともない。 このような分布の一例として、カントール分布が挙げられる。 関連項目[編集] 特異測度 ルベーグの分解定理 外部リンク[編集] Springer Encyclopaedia of Mathematics
多項定理 - Wikipedia
数学における多項定理（たこうていり、英: multinomial theorem）とは、多項和 (multinomial) の冪を展開した式を表すものである。二項定理において項数を一般化したものである。 定理の主張[編集] 多項公式 (multinomial formula) とは、正整数 m, 非負整数 n に対して、m項和の任意の n-冪を展開すると となることを示すものである。ここで係数 (n k1, …, km) は多項係数と呼ばれ、 となる。また、k1, k2, …, km は非負整数であり、総和は k1 + k2 + … + km = n となるもの全てに亘って取る。従って、展開式の各項の次数は n となる。また、x0 はここでは、二項定理の場合と同様に、（x が零のときも含めて恒等的に）1 と定義している。 m = 2 のとき、主張は二項定理である。 多重添字記法を用いると、
ヘルダー平均 - Wikipedia
ヘルダー平均（ヘルダーへいきん、英語: Hölder mean）、またはべき平均（べきへいきん）、一般化平均（いっぱんかへいきん、英語: generalized mean）、[1]とは、数の集合を集計する関数の族である。特別な場合としてピタゴラス平均（算術平均、幾何平均、調和平均）を含む。名称はオットー・ヘルダーにちなむ。 定義[編集] p を0でない実数とする。正の実数 x1, ... , xn に対して指数 p のヘルダー平均は次で定義される[2]： p = 0 のときは、幾何平均（指数が0に向かうときの極限）で定義する。 さらに、重み wi （正の数のセット。ただし）に対して重み付きヘルダー平均は次で定義される： 重みを考えない平均は、すべての重みを wi = 1/n としたものに相当する。 特別な場合[編集] n = 2、a = x1 = M∞, b = x2 = M−∞の場合の図
ブルンの篩 - Wikipedia
ブルンの篩（ブルンのふるい、英: Brun(’s pure) sieve、ブルンの純正篩とも[1]）は、数学の整数論における手法で、整数の集合から与えられた合同条件を満たすものを篩って残った集合の大きさを評価するもの。ヴィーゴ・ブルンによって創められた[2][3]。 ブルンの篩は、包除原理を基礎としたものであることから、篩法では組合せ型（combinatorial type）に分類される。 定式化[編集] A を x 以下のいくつかの正の整数からなる集合、P を（必ずしも全てではない）素数の集合（A も P もいづれも元に重複はないものとする）とし、正の実数 z に対し P(z) を P の z 以下の元から成る集合とする。 P の元 p に対し Ap を A の要素で p の倍数でもある元の集合、更に P に含まれる異なる素数の積として表される任意の d に対し Ad を、d の全ての素
「2乗してはじめて0になる数」とかあったら面白くないですか？ですよね - アジマティクス
「その数自体は0でないのに、2乗するとはじめて0になる数」ってなんですか？ そんな数あるはずがないと思いますか？ でももしそんな数を考えることができるなら、ちょっとワクワクすると思いませんか？ 今回はそんな謎の数のお話。 実数の中には、「2乗して0になる数」というのは0しかありません。 （2乗して0になる実数は0しかない図） ということは、「2乗してはじめて0になる数」というのがあるとしたら、それは実数ではありえません。 「1年A組にはメガネの人はいないので、メガネの人がいたとしたらその人は1年A組ではありえない」くらいの当たり前のことを言っています。 この辺の議論は、複素数で「」を導入したときと同じですね。 「実数の中には、2乗して-1になる数というのは存在しないので、それがあるとしたら実数ではありえない」ということで「虚数」であるが導入されるわけです。 それならばということで、ここでは
正則素数 - Wikipedia
数論における正則素数（せいそくそすう、regular prime）とは、円の p 分体の類数を割り切らない素数 p のことであり、エルンスト・クンマーにより考案された。 正則素数[編集] 小さいものから順に 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …（オンライン整数列大辞典の数列 A7703） と続く。 クンマーは、奇素数の正則性は p が k =2,4,6,…, p − 3 におけるベルヌーイ数の分子を割り切らないことと等価であることを示した。また、次数が正則素数である場合にフェルマーの最終定理が正しいことを証明した。 正則素数は無限に存在すると予想されている。より正確には、e−1/2 、つまり約 61% の素数が正則であると予想されている (Siegel, 1964)。どちらの予想も、2009 年現在まだ証明されていない。 非正則素数[編集]
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