基礎の基礎編その１ 内積と外積の使い方
ホーム＜ゲームつくろー！＜衝突判定編＜内積と外積の使い方 基礎の基礎編 その１ 内積と外積の使い方 この章では3Dゲームの特に衝突判定に無くてはならない「内積・外積」というベクトルの基本的な演算についてお話します。内積は高校で、外積はたぶん大学で習います。そのきちんとした意味を理解するのは大切ですが、ゲームで使う上では性質を体得する方が近道かと思います。そのためにはイメージが大切です。 この章ではゲームで使用するベクトルの内積や外積をイメージと一緒に見ていこうと思います。 ① 方向と大きさを表せる「ベクトル」 この記事をご覧になっている方の多くはきっと高校生以上だと思います（そうでない方は賞賛に値します！立派なプログラマーになれますよ(^-^)）。高校の頃には必ず「ベクトル（vector）」を習います。ベクトルは「方向と大きさを表す方法」です。下の図をご覧下さい： 見た目平面ですが、ゲーム
点の多角形に対する内外判定
点が多角形ループの内側にあるか外側にあるかを判定するには？ 要素は２次元空間内に存在するものとします。 解説 内外判定の基本的な考え方として、「内外を判定したい点から発するレイ（ray：一条の光）を仮定し、レイが多角形の辺を何回横切るかを数え、偶数回横切るとき、点は多角形の外側、奇数回横切るとき、点は多角形の内側と判定することができる」という考え方があります。 ただ、この考え方に従って実装を行うと、レイに対して点接触になる点のある多角形や、レイに対して線接触になる辺のある多角形の場合に判定を誤ってしまう実装になることがあります。 下に示す実装では、レイをＸプラス方向に発して、多角形の辺がレイを、「上から下に横切るときには横切り回数を１引き、下から上に横切るときには横切り回数を１足すこととする」ことや、「レイの線上にある点はレイより上にあることとする」ことにより、レイに対して点接触になる点の
http://homepage3.nifty.com/katamari/knowledge/knowledge1/knowledge1.html
多角形の内部か外部かを判定 落雷データの解析で、何県に落ちているかを判定するときに使ったものです。 ある点が多角形の内部にあるか外部にあるか判定するには、その点から下に垂線を引き、垂線が多角形と何回交わるかによって判定します。奇数回交わればその点は内部、偶数回交われば外部にあることになります。 線分の交差判定 線分 a = a2 - a1 と線分 b = b2 - b1 が交差している場合，線分 b の端点 b1 と b2 は必ず線分 a の両側にあります。また，線分 a の端点 a1 と a2 も必ず線分 b の両側にあります。逆に交差していない場合，線分 a か線分 b のどちらかから見て，両点ともに片側にある場合が必ずあるといえます。 ある点が線分（ベクトル）の左側にあるか右側にあるかというのは，外積を使えば判定できます。sinは0度～180度で正の値，180度～360度で負の値
変分法1 [物理のかぎしっぽ]
変分法という数学の分野があります．これは他の数学の分野と少し毛色の違った分野です．変分法はそれ自体で大変興味深い分野なのですが，『変分法』という独立した題目の講義がある大学は大変少ないようで，大抵は解析力学の授業で少し触れられるだけのようです． この記事は，変分法入門という位置づけですので，読者の方々に，変分法とは何なのかを理解して頂くことを当面の目標とします．物理学の中で変分法がどのように利用されるのか，というような話題には触れません．変分問題を解くためによく使うオイラー方程式という方程式を導くところまでを，この記事でカバーします． 微分法に関する初等的な知識があると，読みやすいと思います． 変分法って何だろう？ 関数 の最大・最小問題を考えるとき，一つの方法は，関数を微分し，その導関数 の値を調べるというものです．導関数を零にするような値 に対して，関数は最大値・最小値・変曲点のいずれ
『高校数学＋α 』各章の PDF
□ 各章の PDF を見る （ Adobe Reader 5.0 以上 が必要 ） ( 更新：2008.03.12 ) 第 1 章 数 第 2 章 方程式 第 3 章 関数とグラフ 第 4 章 三角関数 第 5 章 平面図形とその方程式 第 6 章 指数関数・対数関数 第 7 章 平面ベクトル 第 8 章 空間ベクトル 第 9 章 行列と線形変換 第 10 章 複素数 第 11 章 数列 第 12 章 微分−基礎編 第 13 章 微分−発展編 第 14 章 積分 第 15 章 確率・統計 □ きっちりと読む全章 PDF HSmath.pdf のダウンロード（※印刷は出来ません） □ この箇所は誤りか？ 『高校数学＋α 』の訂正 （訂正箇所が実物大で印刷可能です)． ■ 出版情報を見る注文・在庫確認 など ( 共立出版 より出版(^^)/~~~ )
固有値、固有ベクトル、対角化...何のため？
私は文系出身の32歳会社員です。 ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと 独学で最近始めました。 そこで... 本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが... (1)何のために固有値を求めるのでしょうか？ (2)何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか？ (3)何のために行列の対角化を行うのでしょうか？ 回答は歴史的背景、学術的背景、感情...etc、なんでも結構です。 例) ・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。 ・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっきりするから「数列」ではなく「ベクトル」と呼んでみた。 ・意味はない！目的はない！ただ数学として突き詰めているだけだ！ ...などなど あっ、でも急を要している訳ではないので もしご存知の方、もしくは自論をお持ちの方は お時間のある方はご回答いただければ幸いです。 ちなみにテキストは共立出版の『やさしく学べ
極座標系 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "極座標系" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2021年6月） 極座標系（きょくざひょうけい、英: polar coordinate system）とは、n 次元ユークリッド空間 Rn 上で定義され、1 個の動径 r と n − 1 個の偏角 θ1, …, θn−1 からなる座標のことである。点 S(0, 0, x3, …,xn) を除く直交座標系は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも
極座標と円柱座標
点Pがxy平面上にある場合を考えます．その座標を(x,y)とします．この位置は，r,φによっても表すことができます．この(x,y)と(r,φ)の間には， の関係があります．この(r,φ)をP点の極座標と言います．問題によっては，(x,y)で考えるより，(r,φ)で考える方がやさしくなりますね． 3次元の場合，Pからxy平面に下した垂線の足P’の極座標と，PP’（つまり，z軸）を座標とすることができます．この座標は(r,φ,z)で，これと(x,y,z)との間には， の関係がある． 3次元の極座標 また，z軸を含みPを通る平面がxy平面と交わる直線をOAとして，OAがx軸となす角をφとしてみる．OP=r,角POz=θとすれば，Pの位置は，r,φ,θによって指定することができる．このr,φ,θを3次元における極座標という．そして，(x,y,z)との間には， の関係がある． [ 物理難民を救うペー
エクセルを用い空間の３点を含む平面の方程式を求める
空間の点は座標値(x座標,y座標,z座標)で定義できる。 空間の３点をP1,P2,P3とすると、 P1を( x1, y1, z1) P2を( x2, y2, z2) P3を( x3, y3, z3) とおける。 空間上にある平面の方程式は(1)式となる。 ax + by + cz + d = 0 ・・・・・ (1) (1)の平面の方程式がP1(x1,y1,z1)点を含むためには ax1 + by1 + cz1 + d = 0 ・・・・・ (2) が成立する必要がある。 同様に、(1)の平面の方程式がP1,P3点を含むためには ax2 + by2 + cz2 + d = 0 ・・・・・ (3) ax3 + by3 + cz3 + d = 0 ・・・・・ (4) が成立する必要がある。 平面に対し、直角方向を向くベクトルを法線ベクトルという。 平面の方程式(1
http://homepage2.nifty.com/skimp-studio/htm/crawl_top.htm
Crawl 3Dプログラム(3Dのグラフィックや動きを扱うプログラム)入門コーナーです。 1.骨 1-1.ベクトル其の壱 1-2.ベクトル其の弐 1-3.ベクトル其の参 1-4.行列其の壱 1-5.行列其の弐 1-6.座標変換其の壱 1-7.座標変換其の弐 1-8.座標変換其の参 1-9.座標変換其の四 1-10.骨其の壱 2.球 2-1.微分其の壱 2-2.微分其の弐 2-3.積分其の壱 2-3.積分其の弐
内積の意味
１．内積が「３」って…どういう意味があるの？ ベクトルを学習すると必ず「内積って何なんだ!?」という疑問に直面すると思います。 ベクトルの和，差と習ってきたから，次は掛け算や割り算でも習うのかな?と思ったら「ベクトルには掛け算はない!」と言われ，「変わりにこんなのがある!」ということで突然導入されるのが内積という概念です。 まずは復習ですが，２つのベクトルa→とb→の内積は， a→・b→=|a→| |b→|cosθ で定義されます。θは２つのベクトルの始点をそろえたときにできる「なす角」です。 例えば右の図のような場合，a→とb→の内積は ２×３×(１/２)＝３ということになります。 しかしいったい，この「３」という数値は何を意味しているのでしょうか。 ２．内積は「仕事」や「貢献度」を表す 内積は「b→が，a→の方向に，a→と共に行った仕事の量である」という説明ができます。 右のような例で
『数学の美しさ』
数学の美しさとはいったいなんでしょうか。 シンメトリックで美しい公式、 一見複雑に見える式が、計算すると実は非常に簡単になる、 図形的な美しさと、数学との意外な関係、 意外な二つのものが実は簡単な規則で結びつけられているという発見。 思わぬアイディアで定理が美しく証明できる。 etc その他、いろいろなところで美しさを感じた方がおいでると思います。 あなたの感じている「数学の美しさ」を教えてください。 またぜひその理由も書いてください。 Ｐ．Ｓ 私の知っている美しい公式の一つは オイラーの公式 ｅｉπ＋１＝０です。 ルーツの異なるｅとｉ，π，１，０といった高校生でも知っている基本的な定数の中に、こんなにシンプルな関係があるというのに感動した記憶があります。 解答用紙はこちらです。 【美しい関係１】 【美しい関係２】 【美しい関係３】 【美しい関係４】 【美しい関係５】 【美
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