ベルヌーイ過程 - Wikipedia
ベルヌーイ過程（ベルヌーイかてい、英: Bernoulli process）は、2つの値を取る独立な確率変数列からなる離散時間の確率過程である。ベルヌーイ過程とは、いわばコイントスであるが、そのコインは公平つまり裏と表の出る確率が等しいものに限定されない。このような確率過程における確率変数をベルヌーイ変数（Bernoulli variable）と呼ぶ。 定義[編集] ベルヌーイ過程は、離散時間の確率過程であり、有限または無限の独立な確率変数列 X1, X2, X3,... からなる。この確率変数列について、次が成り立つ。 それぞれの i について、Xi の値は 0 か 1 である。 i の全ての値について、Xi = 1 となる確率 p は常に同じである。 換言すれば、ベルヌーイ過程は独立していて確率分布が同じなベルヌーイ試行の列である。個々の Xi のとりうる2つの値を「成功; succe
リーマン球面 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "リーマン球面" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2015年9月） リーマン球面は、複素平面で包んだ球面（ある形式の立体射影による ― 詳細は下記参照）として視覚化できる。 数学においてリーマン球面（リーマンきゅうめん、英語: Riemann sphere）は、無限遠点 ∞ を一点追加して複素平面を拡張したものである。このとき、関係式 を、意味を持ち、整合的であり、かつ有用となるように構成できる。 19 世紀の数学者ベルンハルト・リーマンから名付けられた。 これはまた、以下のようにも呼ばれる。 複素射影直線と言い、CP1 と書
マルコフ再生過程 - Wikipedia
出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2018年1月） マルコフ再生過程（英: Markov renewal process; MRP）は、確率過程の一つであり、ジャンプ型マルコフ過程（Markov jump process）の考え方を一般化したものである。マルコフ連鎖やポアソン点過程（英語版）のような一部の確率過程、および再生過程（英語版）はマルコフ再生過程の特別な場合として導出することができる。 定義[編集] マルコフ再生過程の実例 状態空間を 、（連続的な）時刻の集合を とする。いま、確率変数の系列 を考える。ここで はジャンプ時刻 (jump time) 、 は対応するマルコフ連鎖の状態である (図を参照）。また、到着間時刻 (inter-arrival time) を と表記する。次の
実数直線 - Wikipedia
出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2019年6月） 実数直線の模式図 数学における実数直線（じっすうちょくせん、英: real line, real number line）は、その上の各点が実数であるような直線である。 つまり、実数直線とは、すべての実数からなる集合 R を、幾何学的な空間（具体的には一次元のユークリッド空間）とみなしたものということである。 この空間はベクトル空間（またはアフィン空間）や距離空間、位相空間、測度空間あるいは線型連続体としてみることもできる。 単に実数全体の成す集合としての実数直線は記号 R (あるいは黒板太字の ℝ) で表されるのがふつうだが、それが一次元のユークリッド空間であることを強調する意味で R1 と書かれることもある。 本項では R の位相幾何学的
小林距離 - Wikipedia
数学の分野における小林距離（こばやしきょり、英: Kobayashi metric）とは、小林昭七により1967年に導入された、複素多様体上のある擬距離のことを言う。それはカラテオドリ距離の双対と見なすことが出来、複素解析空間や概複素多様体へと拡張されている。 タイヒミュラー空間（英語版）上では、小林距離はタイヒミュラー距離（英語版）と一致し、単位球上では、ベルグマン距離と一致する。 平坦なアフィン構造や射影構造に対して、同様の擬距離を小林は1977年に構成し、その後（正規）射影接続（英語版）へと一般化した。本質的に同じ構成法は（正規、擬リーマン）共形接続へと応用され、さらに最近では、一般的な（regular）放物幾何学へと応用されている。 定義[編集] X を複素多様体としたとき、小林距離 d は、単位円板 D から X へのすべての正則写像 f に対して を満たすような X 上の擬距離
ポントリャーギン双対 - Wikipedia
数学、殊に調和解析および位相群の理論においてポントリャーギン双対性（ポントリャーギンそうついせい、英語: Pontryagin duality）はフーリエ変換の一般的な性質を説明する。ポントリャーギン双対は実数直線あるいは有限アーベル群上の函数の、たとえば 実数直線上の素性の良い複素数値周期函数はフーリエ級数展開を持ち、そのような函数はそのフーリエ展開から復元することができる。 実数直線上の素性の良い複素数値函数は、おなじく数直線上で定義される函数としてのフーリエ変換を持ち、周期函数におけると同様に、そのような函数はそのフーリエ変換から復元することができる。 有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）双対群上の函数としての離散フーリエ変換を持ち、有限群上の任意の函数がその離散フーリエ変換から復元することができる。 といったようないくつかの話題を統一的にみるこ
良い素数 - Wikipedia
良い素数（よいそすう、英: good prime）は、素数のうち、その平方数が素数列のなかで前後の等間隔の位置にあるもの2つの組の積すべてより大きいものをいう。 良い素数を不等式であらわすと、1 ≤ i ≤ n−1 であるすべての i に対して以下を満たす: ここで pn はn番目の素数。 例 : 素数の最初の5つは2、3、5、7、11。条件をみると、 となるため、5は良い素数の条件を満たす。 良い素数は無限に存在する[1]。最初のいくつかの良い素数は以下の通り。 5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 97, 101, 127, 149 （オンライン整数列大辞典の数列 A028388） 脚注[編集] ^ Weisstein, Eric W. "Good Prime". mathworld.wolfram.com (英語).
函数の平均 - Wikipedia
微分積分学および、特に多変数微分積分学における函数の平均（へいきん、英: mean, average value）は、略式的に言えば函数の定義域に亙って取った値の平均として定義される。 一変数の場合、区間 [a, b] 上の函数 f(x) の平均は で定義される。これは算術平均を一般化するものである。 幾何平均を一般化することも可能であり、より一般に測度論および確率論においていずれかの種類の平均が重要な役割を持つ。この文脈では、イェンゼンの不等式が函数の算術平均と幾何平均の間の関係を厳に評価するものである。 同様に、函数の調和平均や自乗平均（あるいは自乗平均平方根）なども定義できる。 動機付け[編集] 有限個の値 y1, y2, …, yn の（算術）平均 y の定義性質は であったことを思い出そう。すなわち「その値を n 個加えたものが、与えられた n 項 yi の和に等しいこと」として
r/oddlysatisfying - Double Pendulum Ring and Bar
Do you have any idea what makes this particular arrangement act the way it does, other than that it could be described by an ODE? I have been looking for something to build lately, and this looks like a fun build. I'm thinking that the moment of inertia of the ring plays a big role, as I doubt another rod in its place with the same mass and location of CG (relative to the joint) would behave the s
虚数単位 - Wikipedia
複素数平面において、虚数単位 i は、原点中心の90°回転の作用を表し、2乗すると −1 になる。 虚数単位（きょすうたんい、英: imaginary unit）は、2乗して −1 になる数である: 虚数単位 i は −1 の平方根の一つである。 i は実数でない。実数単位 1, 虚数単位 i は R 上線型独立である。 実数体に虚数単位 i を添加すると、四則演算ができる数の体系が得られる。この拡大体の元を複素数という。 虚数単位 i は実数でないため、感覚的には存在しない数ととらえられがちであるが、実数 C の直積集合の元として、実数の対（ハミルトンの定義）、行列表現、多項式環の剰余環などにより実現できる。 複素数平面では、虚数単位 i は、直交座標表示すると (0, 1) に当たる数である。 複素数に i を（左から）作用させると、複素数平面上で原点中心の 90° 回転になる。特に、
ナッシュの埋め込み定理 - Wikipedia
ジョン・フォーブス・ナッシュ (John Forbes Nash) の名に因んだナッシュの埋め込み定理 (Nash embedding theorems (or imbedding theorems)) は、すべてのリーマン多様体はユークリッド空間の中へ等長に埋め込むことができるという定理である。等長とは、すべての道 (path)（英語版）の長さが保存されることを意味する。例えば、紙のページを引き伸ばしたり破ったりすることなしに折り曲げると、ページのユークリッド空間への等長うめこみ（英語版）になる。ページに描かれた曲線はページが折り曲げられても同じ長さのままであるからだ。 第一の定理は、連続微分可能な（C1 級の）埋め込みに対するものであり、第二の定理は、解析的な埋め込みと、3 ≤ k ≤ ∞ に対して Ck 級の滑らかさを持つ埋め込みに関するものである。これらの 2つの定理は、互いに非常
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特徴づけ (数学) - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "特徴づけ" 数学 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2016年8月） 数学において、「性質 P が対象 X を特徴づける (characterize)」とは、X が性質 P を持っているだけでなく、性質 P を持っているものが X のみである ことを意味する。「性質 Q は Y を同型の違いを除いて特徴づける」というような主張も一般的である。 例[編集] 平行四辺形は対辺が平行な四角形である。その特徴づけの一つは、対角線が互いを二等分することである。つまり、すべての平行四辺形の対角線は互いを二等分し、逆に、対角線が互いを二等分
第二可算的空間 - Wikipedia
数学の位相空間論おける第二可算空間（だいにかさんくうかん、英: second-countable space）とは、第二可算公理を満たす位相空間のことである。空間が第二可算公理を満たすとは「その位相が可算な開基を持つ」ということを言う。つまり、位相空間 T が第二可算的であるとは、T の可算個の開集合からなる族 が存在して、T の任意の開集合が の適当な部分族に属する開集合の和に表されることをいう。他の可算公理と同様に、第二可算であるという性質は、その空間が持つことのできる開集合の数を制限するものになっている。 「素性のよい」空間のほとんどは第二可算的である。例えば、普通の位相を入れたユークリッド空間 (Rn) がそうである。全ての開球体を考える通常の開基をとるとこれは可算ではないけれども、半径が有理数で中心が有理点であるような開球体全体のなす集合を考えると、これは可算であり、開基も成す。
密着閉包 - Wikipedia
数学の可換環論における密着閉包（みっちゃくへいほう、英: tight closure）とは、正標数の環のイデアルに対して定義されるある操作である。メルビン・ホッシュター（英語版）[訳語疑問点]とクレイグ・ハネク（英語版）[訳語疑問点]によって考案された[1]。 を可換なネーター環で標数 の体（したがって は素数）を含むものとする。 を のイデアルとする。 の密着閉包 とは、 を含む のイデアルで次のように定義されるものである[2]。 であるのは、 のどの極小素因子にも含まれないある が存在して、全ての に対して が成り立つとき、かつそのときに限る。 が被約環のときは、全ての に対して、としてもよい。 ここで は の元の ベキで生成される のイデアルで、 の 次フロベニウス冪[訳語疑問点]という。 が成り立つとき、このイデアルは密着的閉（tightly closed）という[2]。 全てのイ
積の微分法則 - Wikipedia
微分積分学における積の法則（せきのほうそく、英: product rule；ライプニッツ則）は、二つ（あるいはそれ以上）の函数の積の導函数を求めるのに用いる公式。 公式[編集] この公式は、 あるいはライプニッツの記法では と書くことができる。 あるいは無限小（あるいは微分形式）の記法を用いて と書いてもよい。 三つの函数の積の導函数は である。 発見者について[編集] 積の法則の発見者はゴットフリート・ライプニッツであると言われる[1][注 1]。ライプニッツは無限小（微分）を用いてこれを示した。 その内容は、u(x), v(x) を x を変数とする二つの可微分函数とするとき、積 uv に対応する無限小は で与えられるはずだが、項 du⋅dv は（du および dv に比べて）「無視できる」（高位の無限小）ことから、ライプニッツは であると結論付けた。実際、これが積の法則の微分形である
黄鉄鉱体 - Wikipedia
黄鉄鉱体[疑問点 – ノート] (英:pyritohedron) は、黄鉄鉱の結晶構造にみられる十二面体の一種である。12枚の合同な四等辺五角形の面を持ち、20個の頂点にそれぞれ3本の辺が交わっている (五角十二面体の一種)。 正十二面体は、全ての面が合同な正五角形となっており、黄鉄鉱体の特殊な場合である。 概要[編集] 五角十二面体は30本の辺を持つが、黄鉄鉱体では、その長さによって、大きく6本と24本に分けられる。6本は外接立方体と共有し、24本は立方体切稜面に由来する。外接立方体の対角線上に新たに作られる8つの頂点は立方体切稜面3枚の交点である。五角十二面体が持つ対称軸は、3本の互いに直交する2回対称のものと、4本の3回対称のものがある。 黄鉄鉱体の面を構成する五角形は線対称の四等辺五角形で、3つの二等辺三角形を並べて作られる形をしている。 黄鉄鉱の結晶[編集] 黄鉄鉱 (英:pyr
始代数 - Wikipedia
数学において、始代数 (しだいすう、英: initial algebra) とは、与えられた自己関手 F に対する F-代数の圏における始対象を言う。始代数の持つ始対象性 (initiality) は帰納や再帰といったものの一般の枠組みを与える。 始代数の圏論的双対概念として、F-余代数の圏の終対象は終余代数（しゅうよだいすう、英: final coalgebra）と呼ばれる。終余代数の終対象性 (finality) は余帰納や余再帰といった概念の一般な枠組みを与える。 始代数の例[編集] 例えば、集合の圏 Set において、終対象である一元集合を 1 として、自己関手 1 + (–):: X → 1 + X を考える。この自己関手 F に対する F-代数とは、集合 X（これをこの代数の台集合と呼ぶ）とその点 x ∈ X (あるいは同じことだが写像 x: 1 → X) および自己写像 f:
超距離空間 - Wikipedia
数学において超距離空間（ちょうきょりくうかん、英: ultrametric space）とは、三角不等式が で置き換えられるような特殊な距離空間のことをいう。対応する距離函数はしばしば非アルキメデス距離や super-metric などとも呼ばれる。超距離空間に対するいくつかの定理は、第一印象では奇妙に感じられるかも知れないが、多くの応用の場面において自然に現れるものである。 定義[編集] 厳密に言えば、超距離空間とは点集合 M と以下の性質を満たす函数（距離函数あるいは計量）d との組 (M, d) を言う（紛れの虞の無い場合は、単に台集合 M のみで以て、超距離空間 M などと書く）。R を実数全体の成す集合として、 は、x, y, z ∈ M を任意として 正値性: 不可識別者同一性（ノルム性）: 対称性: 強三角不等式（超距離不等式）: を満たす。 非アルキメデス賦値の場合 M
主値 - Wikipedia
複素解析において、関数値として複数の複素数を取る多価関数を考えるとき、関数の主値（しゅち、英: principal value）とはその関数の分枝から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。 必要性[編集] 複素対数関数 log z は、一つの複素数 z を以下を満たす複素数 w に移す関数である。 例えば、 の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として w を求めることになる。 オイラーの公式から、 が一つの解であることは明らかであるが、解はそれだけでない。 関数の引数とした点 の複素平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。 から反時計回りに ラジアンだけ回転した点が になるが、ここからさらに 回転すると、また になる。したがって も の値であると考えることができ、また だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と
パッキング問題 - Wikipedia
英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Packing Problems|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説
zbMATH - Wikipedia
zbMATH（ジービーマス[1]、旧称: Zentralblatt MATH）は純粋数学及び応用数学の書籍・論文などに関する抄録・評論サービスである[2]。ヨーロッパ数学会、ハイデルベルク科学・人文アカデミー（英語版）、カールスルーエ学術情報センター（英語版）により編集・運営されている。数学の論文に関するデータベースとしてはMathSciNetと双璧をなす[3]。2021年からオープンアクセスに移行し、名称がzbMATH Openに変更された[4]。 各項目は書誌情報に加えて、キーワードと数学主題分類記号であるMSCが与えられており、多くには記名による評論がある。データベースはオンラインでアクセス可能で、 前身であるレビュー誌『数学とその学際領域のための中央誌』(Zentralblatt für Mathematik und ihre Grenzgebiete, Zbl) はオットー・ノイ
原始環 - Wikipedia
環論において、左原始環（ひだりげんしかん、英: left primitive ring）とは、忠実な単純左加群をもつ環である。よく知られた例として、ベクトル空間の自己準同型環や、標数0の体上のワイル代数がある。 定義[編集] 環 R が忠実な単純左 R-加群をもつとき、左原始環という。右原始環も同様に定義される。左原始環であって右原始環でない環、また右原始環であって左原始環でない環が存在する。最初の例はGeorge M. Bergman (Bergman 1964) によって構成された。また、Jategaonkar による例が(Rowen & 1988, p.159)にある。 環 R が左原始的であることと、{0}でない両側イデアルを含まない極大左イデアルが存在することは同値である。また、左イデアル A≠R であって任意の両側イデアル A'≠0 に対して A+A'=R となるようなものが存
🈡「世界三大数学者」 第3回 ガウス - 数学探究所
ライターのMarchimedethです。 今回は連載「世界三大数学者」の第3回です。 さて，今回はガウスの偉業とその生涯について解説していきます。 カール・フリードリヒ・ガウスは，プロシアで生まれました。ガウスの計算の才能は生まれつきのもので，10歳の時に学校の先生が出したとある問題を即座に説いて先生を驚かせました。では，皆さんも一度解いてみましょう。何秒で解けるでしょうか。1から100までの自然数の和を求めよ。さあ，解けましたか。解答・解説は後述します。ガウスの研究テーマは多方面にわたり，「最小二乗法の発見」，「正17角形の作図法」などの功績が有名です。ガウスは自身の数学的発見を日記につけていました。しかし，その成果を公表することはなく，この内容はガウスの死から43年後に公表され，当時の数学者より1世紀も先に進んでいたことがわかりました。さて，先ほどの問題を解説しましょう。先ほどの問題の
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台 (測度論) - Wikipedia
数学の分野で、ある可測な位相空間 (X, Borel(X)) 上の測度 μ の台（だい、英: support）とは、その空間 X のどこでその測度が「生きている」かということに関する厳密な概念である。しばしば位相的台（topological support）やスペクトル（spectrum）と呼ばれることもある。そのような台は、すべての点のすべての近傍が正の測度を持つような、X の最大の（閉）部分集合で定義される。 動機[編集] ある可測空間 (X, Σ) 上の（非負の）測度 μ は実際、函数 μ : Σ → [0, +∞] と表すことが出来る。したがって、通常の台の定義に従えば、μ の台は次のような σ-代数 Σ の部分集合となる。 しかし、この定義にはいくらか不十分な点がある。実際、Σ 上の位相すら与えられていないのである。今我々が本当に知りたいことは、空間 X 内のどこにおいて測度 μ
カヴァリエリの原理 - Wikipedia
コインの山は積み方に依らず、同じ体積を持つ。 カヴァリエリの原理（カヴァリエリのげんり、Cavalieri's principle）は、面積や体積に関する一般的な法則のひとつである。カヴァリエリの定理、不可分の方法 (method of indivisibles) ともいう。例えば体積についてのカヴァリエリの原理とは、大まかには「切り口の面積が常に等しい2つの立体の体積は等しい」という主張である。カヴァリエリは17世紀のイタリアの数学者。 内容[編集] カヴァリエリの原理の主張は、次の通りである[1]。 2つの平面図形 A, B が平行な2直線に挟まれているとする。この2直線に平行な任意の直線に対し、A との交わりの部分の長さと B との交わりの部分の長さが等しいならば、A の面積と B の面積は等しい。 2つの立体 A, B が平行な2平面に挟まれているとする。この2平面に平行な任意の平
誘導パス - Wikipedia
超立方体上の長さ4の誘導パス。 超立方体上の最長誘導パスを求める問題は、 en:Snake-in-the-box問題として知られている。 無向グラフG中の誘導パスは， Gの誘導グラフかつ道であるグラフのことである． つまり，誘導パスは そのパス上で隣接している任意の頂点対はG中で隣接しており， かつ， 隣接していない任意の頂点対はG中で隣接していないような，G中の頂点の列である． 誘導パスは，スネークとも呼ばれ， 超立方体上の最長誘導パスを発見する問題は， en:Snake-in-the-box問題として知られている． また， 誘導サイクルは， en:閉路をなすGの誘導グラフのことである． また，誘導サイクルは， コードレスサイクルや，その長さが4以上のとき，ホールとも呼ばれる． アンチホールは， Gの補グラフにおけるホールである． グラフ中の最長誘導パスの長さは， そのグラフのう回路数と
子供のデッサン - Wikipedia
有理関数 f = −(x − 1)3(x − 9)/64x から生じる子供のデッサン。縮尺は無視している。 子供のデッサンに無限遠点を描き入れ、リーマン面を作るための半平面の貼り合わせパターンにしたもの。 リーマン球面上の0の逆像（1と9）に黒点を置き、1の逆像（3 ± 2√3）に白点を置き、線分 [0, 1] の逆像に対応する弧を描くことで、f から子供のデッサンが得られる。この線分の逆像は4つの辺からなる。4つの辺のうち2つは1と9を結ぶ線になり、残りの2つは1から始まって0を回り1に戻ってくる単純閉曲線になる。できあがったデッサンを図に示している。 逆に、臨界点の位置情報の無い組合せ的な対象として記述されたデッサンから、コンパクト・リーマン面と、それからリーマン球面への写像を作ることができる。デッサンが今の手順で有理関数から描かれたものなら、得られるリーマン球面への写像はその有理関数
ラゲールの陪多項式 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "ラゲールの陪多項式" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2015年6月） ラゲールの陪多項式（ラゲールのばいたこうしき、associated Laguerre polynomials）とは、常微分方程式 を満たす多項式 のことを言う。ただし は を満たす整数である。 のときの微分方程式はラゲールの微分方程式と呼ばれ、その解 をラゲールの多項式という。 ラゲールの陪多項式とラゲールの多項式は次の関係で結ばれている。 またロドリゲスの公式 (Rodrigues's Formula) として以下の形にも表せる。 母関数は である。
損失関数 - Wikipedia
数理最適化および決定理論において、損失関数（そんしつかんすう、英: loss function）またはコスト関数（英: cost function、誤差関数（英: error function）とも呼ばれる）とは[1]、ある事象または1つ以上の変数の値を、その事象に関連する何らかの「コスト」を直感的に表す実数に対応づける関数である。最適化問題は、損失関数を最小化することを目的としている。目的関数（もくてきかんすう、英: objective function）とは、損失関数またはその逆関数（特定の領域では、報酬関数、利潤関数、効用関数、適合度関数（英語版）などと呼ばれる）のいずれかであり、この場合は最大化されることになる。損失関数は、階層のいくつかの層からの項目を含むことがある。 統計学では、損失関数は一般的にパラメータ推定（英語版）に使用され、問題における事象は、あるデータのインスタンスに
正則列 - Wikipedia
数学、特に可換環論において正則列（せいそくれつ、英: regular sequence）とは、不定元のように振る舞う可換環の元の列のことである[1]。例えば、係数環 R を持つ多項式環 R[X1, ..., Xn] において X1, ..., Xn は正則列である。 定義[編集] R を可換環、M を R-加群とする。元 x ∈ R が M-正則元（M-regular element）であるとは、x が加群 M 上の零因子でないことである。列 x1, ..., xn ∈ R が M-正則列（ M-regular sequence）であるとは2条件 各 xi は M/(x1, ..., xi−1)M-正則元 M/(x1, ..., xn)M ≠ 0 が成り立つことである。M = R のときには接頭語「R-」はしばしば省略される。 M-正則列を並び変えたものは M-正則列になるとは限らない[2
オッズ - Wikipedia
英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Odds|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります。 オッズ（
カルタン部分環 - Wikipedia
数学において，カルタン部分環（カルタンぶぶんかん，英: Cartan subalgebra，しばしば CSA と略される）とは，リー環 の冪零部分環 であって，self-normalising（英語版）なもの（すべての に対して であるならば， であるもの）のことである．エリ・カルタンによって彼の博士論文において導入された． 存在と一意性[編集] カルタン部分環は基礎体が無限体のときにはいつでも有限次元リー環に対して存在する．体が標数 0 の代数閉体でリー環が有限次元のとき，すべてのカルタン部分環はリー環の自己同型のもとで共役であり，とくにすべて同型である．その次元はリー環の階数（ランク）と呼ばれる． カッツ・ムーディ・リー環や一般カッツ・ムーディ・リー環もカルタン部分環をもつ． 性質[編集] この節の加筆が望まれています。 主に: The action of the Weyl group
統計的因果推論の理論と実装 - 共立出版
本書は、統計的因果推論の理論（数理的メカニズム）と実装（Rによる数値解析）の両方を統一的にカバーしたものである。具体的には、ハーバード大学統計学科のDonald B. Rubinの提唱した潜在的結果変数の枠組みによる統計的因果推論を扱う。また、データの一部が観測されない場合の因果推論も扱っており、これは類書にはほとんどみられない本書の特徴である。 本書の数理的な理論解説は、できるだけ高校数学の範囲内で理解できるように工夫した。微積分や線形代数も、ほぼ登場しない。さらに、必要な数学的知識は、登場する箇所で解説を加えた。また、Rを使った数値計算により、数学が苦手な人にも統計的因果推論のメカニズムを理解してもらえるように工夫している。そして、数式とRコードとの対応関係をRの初心者も理解できるように、できるだけ1行ごとに完結するコードを書くよう心がけた。 さらに、Rを使って統計的因果推論の実証研究
反射関係 - Wikipedia
反射関係（はんしゃかんけい、英: reflexive relation）は、数学における二項関係の一種。二項関係には反射性 (reflexivity) のものと無反射性 (irreflexivity) のものがある（無反射性の事を非反射性とよぶ文献もある）。なお、ここでの（二項）関係は X × X という形式であり、集合 X からそれ自身への関係である。 概要[編集] 集合 X における反射的な関係 R は、X の全ての元 a について、a が自分自身と R の関係を持つ。数学的記法では次のように表される。 . 無反射的な関係 R は、X の全ての元 a について、a が決して自分自身と R の関係を持たない。数学的記法では次のように表される。 . 反射閉包（reflexive closure）R = は、R = = {(x, x) | x ∈ X} ∪ R と定義される。これはすなわち、
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合同 (行列) - Wikipedia
数学において、（可換体上の）正方行列 A, B が合同 (congruent) であるとは、可逆行列 P が存在して となることをいう。ここで t は転置を表す。 行列の合同は同値関係である。 関連項目[編集] 行列の相似 行列の同値 シルヴェスターの慣性法則 二次形式 双線型形式
超双曲型方程式 - Wikipedia
数学の偏微分方程式の分野において、超双曲型方程式（ちょうそうきょくがたほうていしき、英: ultrahyperbolic equation）とは、2n 個の変数 x1, ..., xn, y1, ..., yn を持つ未知スカラー函数 u に対する、次の形の偏微分方程式を言う： より一般に、a が符号数 (n,n) を持つ 2n 変数の任意の二次形式であるとき、主要部が である任意のPDEは超双曲型と呼ばれる。そのような任意の方程式は、変数変換によって上述の (1) の形状に書き換えられる[1]。 超双曲型方程式は多くの観点から研究されている。一方それは、古典的な波動方程式に似たものでもある。このことより、その特性曲線に関する多くの結果が得られている。その内の一つは、フリッツ・ジョン（英語版）によるジョンの方程式である。 Walter Craig と Steven Weinstein は近
最小クリーク被覆問題 - Wikipedia
この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。脚注を導入して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2016年9月） 計算量理論において、最小のクリーク被覆（クリークひふく、英: clique cover）を求めることは、グラフ理論的NP完全問題である。クリーク被覆問題はリチャード・カープによるオリジナルの21問題の1つで、そのNP完全性は1972年の論文 "Reducibility Among Combinatorial Problems"（「組合せ論的問題間の還元可能性」）に示されている。 クリーク被覆問題（クリーク分割問題と呼ぶこともある）とは、与えられたグラフの頂点集合を k-個のクリークへ分割できるかを決定する問題である。頂点集合の k-個の集合への分割が与えられたとき、その各集合がクリークを成すかは多項式時間で判定する
多重解像度解析 - Wikipedia
多重解像度解析（たじゅうかいぞうどかいせき、英: multiresolution analysis, MRA）とは、2倍毎の解像度のウェーブレットを用いて離散ウェーブレット変換により解析する手法。スケーリング関数で基底展開された信号列を、半分の解像度のスケーリング関数とウェーブレット関数による基底展開の和に分解する。1989年に Stephane G. Mallat が発表した[1]。 本来は異なる物だが、Mathematica[2] や MATLAB[3] をはじめとして、多くのソフトウェアでは多重解像度解析の事を離散ウェーブレット変換と呼んでいる。離散ウェーブレット変換の本来の定義は、離散ウェーブレット変換の項目を参照。 概要[編集] 関数 をスケーリング関数 で展開した上で、 下記のウェーブレット関数 への展開を用いて、 関数 を異なる解像度（レベル）のウェーブレット関数に展開してい
球台 - Wikipedia
この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。脚注を導入して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2017年8月） 球台 球台 (きゅうだい、spherical segment) は、球面または球体を1対の平行な平面で切断することにより定義される立体である。先端が切り取られた球冠と考えることができ、球の錐台に相当する。 球台（の表面）から2つの底面を除いた曲面は、球帯 (きゅうたい、spherical zone) と呼ばれる。 もとの球の半径を R とし、球台の底面の半径を r1 と r2 とし、高さ（2つの平行な底面間の距離）を h とすると、体積は次の式で与えられる。 上底と下底を除いたものである球帯の表面積は、次の式で与えられる。これはランベルト正積円筒図法や円柱投影に関係が深い。 関連項目[編集] 球冠 球面扇形（英語版
自然変換 - Wikipedia
自然変換（しぜんへんかん、英: natural transformation）とは、数学における「自然な同型」という概念の定式化として生まれ、その後圏および関手とともに圏論の中核を構成した数学的な対象である。圏論において自然変換は「関手の間の射」[注 1]とも表現され、圏の構造の中で関手の像を別の関手の像へ変換させる対応として定義される。 関手 F, G : C → D の間の自然変換 τ : F ⇒ G は、よい条件を満たす C の各対象によってパラメータ付けられた射の族 {τx: Fx → Gx}x ∈ C によって構成される。逆に、C の各対象によってパラメータ付けられた族 {τx: Sx → Tx}x ∈ C が関手の間の自然変換を構成する場合[注 2]、射の族 {τx}x ∈ C は x で自然である (natural in x) とも表現される。 自然変換は圏や関手と並んで非常
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クラス (集合論) - Wikipedia
集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類（るい、英: class）は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツェルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。 （どのような定式化を選んだとしても）「全ての集合の集まり」はクラスである。（ZF では厳密な言い方ではないが）このクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス（つまり集合）
眠気と闘うあなたへ：素イデアル分解のすすめ - tsujimotterのノートブック
突然ですが、眠くて眠くてしょうがないときってありますよね。 スマホを開くことができれば、いろいろと目をさますコンテンツにアクセスすることができます。しかしながら、スマホを開くことができないときもありますよね*1。 ここには紙とペンしかない。眠気には耐えなければならない。 そんなときには 「素イデアル分解」 してみるのはいかがでしょう。 少しだけ前提知識の説明 素数 を適当に選びます。 これらの素数は、有理数体 上では有理素数、つまり「分解できない数」というわけですが、 の拡大体 まで持ち上げると分解してしまうことがあります。 たとえば、 まで持ち上げると、 の生成するイデアルは のように素イデアル分解されてしまいますね。 型の素数は、 で２つの素イデアルに完全分解します。 一般に、代数体 を考えたときに、有理素数 の生成するイデアルは と一意に素イデアル分解されます。ただし、 は重複を含ま
React + Material-UI: 無効化(disabled)したButtonにTooltipを表示・非表示する - Qiita
Material-UIのTooltipコンポーネントをButtonに使ったとき、disabledとの兼ね合わせで少し戸惑ったことについて書き留めます。 Material-UIとTooltipコンポーネント Material-UIは、Googleが提唱するMaterial Designに則った、ユーザーインタフェースを提供するReactコンポーネントライブラリです(Material Designについては、「Googleが推奨する『マテリアルデザイン』とは？5つの特徴と、メリット・デメリット・作り方について解説」参照)。豊富なコンポーネントとシンプルで直感的なデザイン・操作感に定評があります。 Tooltipコンポーネントの使い方は、マウスが重なったたとき表示したい部品を包むだけです。titleに与えたテキストがツールチップとして表れます。 <Tooltip title="tooltip"
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Oknow‰ on Twitter: "ドミノの直線分割問題が解けました。解はやはり4つです。 分割方法は合計角数6,7,8の三通りで場合分け。 1~3枚目は緑をそれ以上の長の白(既存辺)と合わせて1~3つの角と緑*2の周長を消す場合です。緑が長or端が180°未満で否… https://t.co/yLOCY119Gy"
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【数探美術館】美しき数式 展 ～その1～ - 数学探究所
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Tungsteno on Twitter: "Pythagorean Theorem - Spherical Version cos(a) = cos(b) cos(c) 🏐🏀🎾 https://t.co/yyMnsSYfUc #science #iteachmath… https://t.co/08rKDOGK1f"
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🈟「世界三大数学者」 第1回 アルキメデス - 数学探究所
「世界三大数学者」 第2回 ニュートン - 数学探究所
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AKBのエントロピーを求めよう ＠第10回日曜数学会
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ポリオミノを割る｜数学デー公式｜pixivFANBOX