n個の立方体にも1個の立方体にもなる展開図に関する未解決問題に挑戦(部分解決)
はじめに この記事では「 $n$ 個の立方体にも $1$ 個の立方体にもなる展開図」に関するとある未解決問題に挑戦します! (2022.10.24 記事を大幅に加筆修正しました。) (2022.10.29 「おわりに$3$」を加筆しました。) きっかけとなったツイート まずはコチラをご覧ください。@panlepan さんのツイートの「4個の立方体にも1個の立方体にもなる展開図」 From 2 cubes to 1 (bigger) cube.🤩 idea & animation by Rinus Roelofs ! Source on fb :https://t.co/n7sSInsdtG pic.twitter.com/q5wFb6kL1I — Vincent Pantal🍩ni (@panlepan) October 17, 2022 4 続いて同じく@panlepan さんのツイ
「眠り姫問題」はパラドックスか?幼女が挑む【日曜数学会】(応用問題付き)
はじめにこの記事は、第 $24$ 回日曜数学会(2022.6.19)で発表した内容の完全版になります。 今回は、確率に関する難問「眠り姫問題」に挑戦しました。 Wikipediaでは「内容はシンプルでありながら、専門家同士でも答えが分かれるパラドックスでもある。」などと紹介されていて、いかにも手ごわそうです。 実際、この問題について「解けた!」と主張する人はこれまでも何人もいましたが、多数の同意を得ることには失敗しているようです。 自分としても今回の記事はかなりヤバいのではないかと感じていますが、しばらくお付き合いいただきたいと思います。 「眠り姫問題」とはWikipediaで紹介されているオリジナルの眠り姫問題は次のようなものです。 実験の参加者である眠り姫は、実験の内容を全て説明され、一日経過後、薬を投与され日曜日に眠りにつく。 眠り姫が眠っている間に一度だけコインが投げられる。 ・コ
オリジナル図形問題 with 円 and 楕円 and レムニスケート
長い数式が現れます。横幅の心もとないデバイスで本記事にアクセスした方は、どうにか数式を横スクロールする方法を探してください。ちなみに私のスマホだと横フリックで行けました。 前回に引き続き、本記事でも自作問題を扱おうと思う。 タイトルの通り、今回は円と楕円とレムニスケートが登場する図形問題である。だが、円と楕円はともかく、「レムニスケートって何？」という読者もいらっしゃるだろう。何か難しそうな響きの単語であるが、一応知らない読者のために簡単な説明をする。知っていたら読み飛ばしていただいて構わない。 【レムニスケートについて】 どう見ても無限大マーク(∞) レムニスケートは、正の実数$a$を用いて $$\begin{eqnarray} \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2a\left(x^{2}-y^{2}\right) \end{eqnarray}$$という方程式で表
OMC小技集
この記事が書かれたのはOMC090時点です。使えなくなっている、または意味がない裏技があるかもしれません。 素早いCA/WAの確認コンテスト中に提出した後グルグル表示されて中々ジャッジが見れない場合があります。非常にうざい。 しかし、なぜか左上のCA状況は画面が移行した時点で反映されているので、そこを見ればすぐにCA/WAが分かります。 赤の部分に注目 素早く解説を見るコンテストページから解説を見る際は直接問題に飛んでから解説に飛べばクリック数が2クリックで済みます。解説ページから行こうとすると3クリック掛かってしまいます。 OMC015Aの解説が見たいな～ 順位表の確認 https://onlinemathcontest.com/contests/omc○○○/standings というリンク(○○○にコンテスト番号)でまだ開催されていないコンテストの順位表が見れます。運営も多分隠そうと
四次方程式の解の公式を解剖してみる
$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\
調和数列の積の冪の部分分数分解
非負整数$n$、正の整数$N$、複素数$z$について、$$\prod_{k=0}^n \frac{1}{(z+k)^N}= \sum_{i=1}^N \sum_{k=0}^n\frac{a_{n,k}^{\langle N,i \rangle}}{(z+k)^i}$$であるとき、$a_{n,k}^{\langle N,i \rangle}$とは。 Heavisideの方法$1 \leq j \leq N$なる整数$j$および$0 \leq m \leq n$なる整数$m$について、$1/(z+m)^j$の係数$a_{n,m}^{\langle N,j \rangle}$をHeavisideの方法により求める。すなわち、両辺に$(z+m)^N$を掛けたものの$z=-m$における$N-j$階微分係数を求める。 右辺について、\begin{align} \frac{d^{N-j}}{dz^{N-
二進対数の有理数近似
こんにちは! 入試問題をジョークのネタにするマッドサイエンティスト ことNayuta Itoです。 今日は、私が最近興味のある二進対数の有理数近似について紹介したいと思います。 (この時点でオチが読めた人へ: その通りです。) 導入$$ 2^{10} = 1024 \fallingdotseq 1000 = {10}^3 $$ という近似は有名ですね。これを少し変形することで、 $$ 2^{\frac{7}{3}} \fallingdotseq 5 $$ という近似を得ることができます。また、両辺の二進対数を取ると、 $$ \log_2{5} \fallingdotseq \frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3} $$ となり、$ \log_2{5} $の近似値が得られました。 $ \log_2{5} $が簡単に求まるなら、他の素数$ p $に対しても$ \log_2{p
余りの世界からみる, 多項式の面白い性質
こんにちは！飛鳥です。かねてよりMathlogに寄稿することにずっと憧れていたこともあり, 大学受験が終わって一段落したので頑張って書いてみます。慣れない部分が多いですが, 最後までお付き合いくだされば嬉しいです。今回の内容は, タイトルにもある通り, 多項式と余りの関係についてです。高校数学の範囲内で, また議論を追いやすくなるよう, できるだけ簡潔にまとめて書きましたので, 是非ご一読ください！ この記事には, 等式の代わりに合同式が度々登場しますが, その法は全て$p$（$p$は$3$以上の素数）とします。また, 登場する文字は(通常は実数を表すことが多い$x$も含めて)基本的に整数とします。 それでは, 早速本題に入ります。 去年の秋頃に下の(✴︎)の方程式やそれを$n$次に拡げたものをいじっていたら, いくつかの面白い性質があることがわかったので, 今回はそのうちの (✴︎)にお
集合に関する基礎事項のまとめ（書きかけ）
はじめにこの記事は数学科新入生による数学科新入生のための記事である. それ以外の人も興味があればぜひ読んでほしい. もちろん, 読みたくない人は別に読まなくてもよい. この記事はなんなのか高校数学においても集合は登場するが, 大学以降の数学では集合の重要度はさらに増す。その理由は, 数学において扱う対象のほとんどが集合に構造を付加したものであるからだ. そこで, この記事では集合に関する基礎的な事項をまとめる. なお, 論理学のようなトピックは扱わなかったが, 興味がある人には前原昭二の記号論理入門などをおすすめする. 概要まず, 集合とはなにかについて簡単にまとめる. しかしながら厳密な定義は難しいため, ここでは基本的な性質を必要に応じて紹介するだけに留める. 詳しく知りたい人はKenneth Kunenの集合論の本を読んでみるとよいだろう. しかしながらこれは非常に難しい話題であるた
LTEの補題とその応用
$p$素数とし,$n$を($0$でない)整数とする.$n$を素因数分解したときの$p$の指数($n=0$のときは便宜的に$\infty$とする)を$v_p(n)$と書き,$p$進付値という. $\mathrm{ord}_p(n)$と書くこともあり(ここでは$v_p(n)$を使う),位数と呼ばれることもあるような気もします.またここから先の定理などで$n=0$のとき不合理であるときは適宜除いて考えてください. 添え字の$p$は明らかなときは省略するときがあります.
極小自由分解
本稿は局所環上の有限生成加群において極小自由分解が存在するならば、複体として一意的であることを示したものである。[1]で証明が委ねられていた部分の行間を補っただけなので誤りを含む可能性が大いにある。 $(A,\mathfrak{m},k)$を局所環,$M$を有限生成$A$加群とする。完全列 $\cdots\rightarrow L_i\overset{d_i}{\rightarrow}L_{i-1}\rightarrow\cdots\rightarrow L_1\overset{d_1}\rightarrow L_0\overset{\varepsilon}{\rightarrow}M\rightarrow0$ が次の3条件を満たすとき、これを$M$の極小自由分解という。 (1)各$L_i$は有限生成自由$A$加群である。 (2)各$i\geq0$に対して$d_iL_i\subseteq\
最後の1人が決まるまでジャンケンするゲーム
給食ジャンケン問題給食で出されるデザートが余っているとき, 希望者が先生とジャンケンをして最後まで先生に勝ち続けた人がそのデザートをもらうことができる, といったことがよく行われる. 同種のジャンケンでは, 誰もやりたがらない委員が決まらないことに業を煮やした担任が行うジャンケン, 何かのイベントで景品をかけた司会者と参加者とのジャンケン等もある. 似たような問題として, 複数枚のコインを投げ, 表が出たコインだけを残して再度投げるというのを繰り返すゲームを考えることもできる. そこで, このようなゲームにおいて何回試行が続くだろうかという疑問が生じる. 給食ジャンケンの例でいうと, デザートをもらえる人が決まるまで何回くらいジャンケンが行われるだろうかというのを知りたいのである. つまり次のような問題を考えよう: $a\leq N$, $a,N\in\mathbb{N}$, $0\leq
【収束】 ☆牛tan分解で導く円周率の興味深い等式☆ 【可視化】
逆正接関数($\arctan$)の引数が有理数のとき、その関数の値は 分子を１とする有理分数を引数に持つ逆正接関数の和で表せる。 $\displaystyle\arctan\frac{q}{pq\pm r}=\arctan\frac1p\mp\arctan\frac{r}{(pq\pm r)p+q}$ $\displaystyle\arctan\frac1p=\arctan\frac{q}{pq\pm r}\pm\arctan\frac{r}{(pq\pm r)p+q}$ (※複号同順) 牛タンを食べているときにひらめいたというしょうもない理由からこの定理を用いた分数分解を通称「牛tan分解」などと個人的に呼んでいるのですが、詳しくは過去記事「 みゆ式分数分解でマチンの公式を作ろう♪ 」を参照していただくとして、ここから次のような式を得ます。 $p=F_{2m}$、$q=1$、$r=F_{
Generalized Hankel Transform 続編
$$\newcommand{aa}[0]{\alpha} \newcommand{ad}[0]{\mathrm{ad}} \newcommand{bb}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{dd}[0]{\delta} \newcommand{DD}[0]{\Delta} \newcommand{ee}[0]{\epsilon} \newcommand{g}[0]{\mathfrak g} \newcommand{GG}[0]{\Gamma} \newcommand{gg}[0]{\gamma} \newcommand{h}[1]{\mathscr H_{#1}} \newcommand{hb}[0]{\hbar} \newcommand{K}[0]{\mathbb K} \newcommand{kk}[0]{\kappa
多元環の表現論とGabrielの定理
この記事では，多元環の表現論の概要と，この分野の金字塔の定理であるGabrielの定理について説明します．本当はこの後クラスター代数理論でこの定理を一般化する記事を書きたいのですが，ひとまずこれはこれで独立した記事としておきます（注：2021/7/1現在，筆者が力尽きたため一部未完成）． 要点をかいつまんで書いているだけなので，厳密なことを知りたい人は[ARS]とか[ASS]を読んでください． 多元環の表現論とはまず最初に，多元環の表現論について概略を述べる．多元環とは，可換環$K$上の加群$A$であって，$A$自身が単位元付きの環構造を持っており，$K$の$A$への加群としての作用と$A$の環としての積が両立するような(すなわち，$K\cdot 1_A$が環の中心に含まれるような)ものを指す．この記事では，特に$K$は代数閉体であると仮定しておく（したがって，$A$は$K$上のベクトル空
有限表示な平坦加群は射影的なことの、元を取らない証明
$$\newcommand{AA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{CC}[0]{\mathcal{C}} \newcommand{DD}[0]{\mathcal{D}} \newcommand{equiv}[0]{\Leftrightarrow} \newcommand{Ext}[0]{\operatorname{Ext}} \newcommand{Hom}[0]{\operatorname{Hom}} \newcommand{imp}[0]{\Rightarrow} \newcommand{implies}[0]{\Rightarrow} \newcommand{inj}[0]{\hookrightarrow} \newcommand{mod}[0]{\operatorname{\mathsf{mod}}} \newcommand{Mod}[0]{\operat
ファジィ論理によるカルバック・ライブラー情報量の特徴付けをしたかった話
※この記事はお遊びです。 本稿の目的カルバック・ライブラー情報量（Kullback-Leibler divergence）は統計学や情報理論によく現れる函数であり、真の分布$q(x)$をモデル$p(x)$で推定する際のズレを $$ D(q\Vert p):=\mathbb{E}_{X\sim q(x)}\left\lbrack -\log{\frac{p(X)}{q(X)}} \right\rbrack=\int_{x\in\Omega}q(x)\left\lbrack -\log{\frac{p(x)}{q(x)}} \right\rbrack dx $$ で測るものです。個人的にこの$D(q\Vert p)$という記号はどちらが真の分布なのかモデルなのか分からないので好ましく思っていませんが、慣例なので以下も使います。 教科書を読んでいるといきなり現れて「重要です」と言われるので、「は
哲学的視点からの直観主義論理入門 [前編]
古典命題/述語論理の証明論・モデル論や、健全性・完全性定理に多少触れたことがないと理解できない可能性が高いです。 また、哲学に関する前提知識は必要ありません(おそらく)。 分かっている人向けの説明 「金子先生や大西先生の文献を追いながら、ダメットの反実在論に関する議論をざっくり整理してスッキリしたい」という気持ちに突き動かされて書いた個人的なメモを、他人に見せられるように整形・拡張したものです。今年言語哲学について学んだことのメモにもなっています。 直観主義論理とはまず、今回のテーマである直観主義論理についての説明をしておきたいと思います(すでにご存じの方は次章に移ってくださって構いません)。いわゆる普通の論理学の体系、古典論理(classical logic)についての知識は前提としているので、知らない方は色々調べて見てください。 さて、直観主義論理を非常に簡単に説明するなら、古典論理の
![哲学的視点からの直観主義論理入門 [前編]](https://cdn-ak-scissors.b.st-hatena.com/image/square/e63fd1b69dcc0534e86c3d8e565ac66aa9c45634/height=288;version=1;width=512/https%3A%2F%2Fmathlog.info%2Fapi%2Fogp_image%3Ftitle%3D%25E5%2593%25B2%25E5%25AD%25A6%25E7%259A%2584%25E8%25A6%2596%25E7%2582%25B9%25E3%2581%258B%25E3%2582%2589%25E3%2581%25AE%25E7%259B%25B4%25E8%25A6%25B3%25E4%25B8%25BB%25E7%25BE%25A9%25E8%25AB%2596%25E7%2590%2586%25E5%2585%25A5%25E9%2596%2580%2B%255B%25E5%2589%258D%25E7%25B7%25A8%255D%26tags%3D%25E8%25AB%2596%25E7%2590%2586%25E5%25AD%25A6%252C%25E7%259B%25B4%25E8%25A6%25B3%25E4%25B8%25BB%25E7%25BE%25A9%25E8%25AB%2596%25E7%2590%2586%252C%25E8%25A8%2580%25E8%25AA%259E%25E5%2593%25B2%25E5%25AD%25A6%26profile_name%3D%25E2%258A%25A5%26profile_image%3Dhttps%253A%252F%252Ffirebasestorage.googleapis.com%252Fv0%252Fb%252Fmathlog-361213.appspot.com%252Fo%252Fuploads%25252Fprofile%25252F1464%25252F20210904221157.jpg%253Falt%253Dmedia)
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