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猫
iwalion.hatenablog.com
1,概要 正方行列の固有多項式について,が成り立つ. これをCayley–Hamiltonの定理という. Cayley–Hamiltonの定理は線形代数のクラスの後半で習うのが普通であるが,実は線形代数の知識を用いずに証明できる. 具体的には,置換を用いた行列式の定義と行列の乗の定義から,組合せ論的考察により証明できる. 本記事で紹介する証明は,組合せ論的な視点から線形代数を再構成したBrualdi [1]の本からとったものである. 以下第2節ではまず準備として行列式や固有多項式を,組合せ論的オブジェクトの母関数として解釈する. 次に第3節で,行列の乗とグラフ上の歩道の対応を復習する. 最後に第4節で,上の二つを組み合わせてCayley–Hamiltonの定理を証明する. 2,行列式のHarary-Coater流の定義 以下で述べるように,行列式はグラフのサイクルの母関数として解釈できる.
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