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猫
tsujimotter-sub.hatenablog.com
数学ガール「ポアンカレ予想」を読んでいて(あまり本題に関係なく)感動したのが、不定積分についてである。 の不定積分は、原始関数 を用いて以下のように表せる。 ここで、 は積分定数である。 高校の時からずっと機械的に(もしくはおまじない的に)「 は積分定数である」と書いてきたわけだが、この積分定数とは一体何か、というのが今回の主題である。 まず、元の不定積分は、微分を使って以下のように書き換えることができる。 「これは微分方程式である」というのが、最も重要な視点の変換である。そういえば、これを微分方程式とみて考えたことは今までの人生の中で一度もなかった。これに感動したのである。 さて、微分方程式があったら、そのすべての解を求めたくなるわけだが、それが なのである。この積分定数 は、微分方程式の解すべてをあらわすためのパラメータである。つまり微分方程式の解の集合は というわけである。なるほど、
前回、ネイピア数 の話をしたので、今度は の話をしよう。 の定義はこうだった。 で、ここにひとつマイナスをつけると が現れる。 一瞬「えっ?」って思うかもしれない。マイナスを付けただけで、逆数になってしまうのだから、ちょっと不思議な感じがする。 が、少し計算してみるとたしかに になることがわかる。式 (2) の左辺を変形していこう。 最後に式 (1) を代入すると、 となる。たしかに一致した。 この という数だが、いろんなところで登場する数らしい。 たとえば、こんな確率の話がある。 から までの数字が書かれたカードの組が2つあって、一方の組を A さんが、もう1方の組を B さんが持っているとする。二人がそれぞれ から までのカードに対して、適当に順番を決めて、一斉に並べたとしよう。このとき、同じ順番に同じ数字のカードが1組も並ばない確率を考える。これを とする。 この の極限が に一致す
2022-10-17 Magmaの実行メモ 備忘録 このページにスクリプトを入力して実行できる: http://magma.maths.usyd.edu.au/calc 例: 超楕円曲線のヤコビアン を計算し、そのランクを計算する。 実行例のコマンド: R<w>:=PolynomialRing(Rationals()); C:=HyperellipticCurve((-3*w^3+2*w^2-6*w+4)^2-8</w>… 2021-12-26 僕が強制おじさんと呼んでいる人の話 雑記 いろんな場面であることなのですが、元々「こうなるのも良いね」から始まった話が、突如として「こうならなければならない。強制」ってなる瞬間があります。 こういうときはたいてい僕が「強制おじさん」と呼んでいる人が暗躍しています。いくつか具体例を紹… 2021-08-31 「怒られ駆動開発」の反省 僕自身は職種の特
最近、楕円曲線に関しての進展があったようで、twitterの数学徒の間では話題になっているみたいである。 楕円曲線は、フェルマーの最終定理の話ではよく出てくるし、ミレニアム問題のBSD予想にも関わっているし、何かとよく聞くワードではある。こういう状況で、数学にほとんどふれたことのない人が考えることは1つである。 「楕円曲線って何ですか?」 この質問を投げられた人が、楕円曲線の定義を答えて返すのは、きっと何の意味もないだろう。 質問者の意図する答えではないからだ。私が質問者が真に知りたいことを想像するなら、きっとこういうことである。 「なぜ他の数学的対象ではなく、楕円曲線がとりわけよく研究されているのですか?」 「いったいそこにはどんな魅力があるのでしょうか?」 この質問は、なかなか難しい。だが、今日はがんばって答えようとしてみよう。 参考までに楕円曲線は、以下のように定義されるのだが、これ
ネイピア数 。自然対数の底。自然対数という割に、ぜんぜん自然じゃない、と私は思っていた。どの説明を聞いてもどうにもしっくりこない。 つい先日、この数を人に説明する機会があったのだが、どうにも歯切れの悪い説明になってしまった。 この数を、どうにかして自然に導入する方法はないだろうか。これが本日のテーマである。 色々説明の方向性はあると思うが、この記事では、 となるような をネイピア数と呼ぶ、という導入の仕方を採用しよう。 を定義する前から を使うのは、気持ちが悪いので、ネイピア数 のことを一回サッパリ忘れよう。 まずは、一般の数 に対する指数関数 を考えよう。 微分の定義より、 となる。指数法則を使ってもう少しだけ変形できる。 ここで手が止まる。さぁ、困った。 さらに進めるための方法は一応ある。唐突だが以下のような変数変換を考える のとき であることを確認しておく。 また、 のようにも変形で
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