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それではRSA暗号の手順と、そこに潜む数のマジックを解説していきます。 まず、簡単な数学的前提をお話します。数学で「モジュロ」とか「法」(ほう)といった言葉は聞いたことはないでしょうか。聞いたことがなくても大丈夫です。今から解説しますし、簡単なことですから。 これらの言葉は、ある数に対して「モジュロ 10 をとる」とか「10を法とする世界で考える」などと言って使います。プログラム言語の BASIC が分かる中学生なら “mod” と言えば分かるかもしれません。また、C言語の分かる高校生なら “%” と言えば分かるかもしれません。これは簡単な話で、例えば「モジュロ 10 をとる」と言えばある数を 10 で割り算して、その 余り が答えになるというだけのことです。普通の割り算は、余りではなく商が答えになりますよね。また「10を法とする世界」と言えば、数が 0 から 9 までの整数しかない数学上
ところが、公開鍵暗号の概念が発表された翌年(1977年)には、MIT(マサチューセッツ工科大学)に勤務していた Rivest(リベスト)、Shamir(シャミア,シャミール)、Adleman(エイドルマン,アドルマン)という三人の研究者により、公開鍵暗号の概念を実現する初めての数値上の変換方法が発明されました。この暗号は三人の名前の頭文字をとって RSA暗号(アール・エス・エー暗号)と名付けられました。その後、RSA暗号以外にも Rabin 暗号、ナップザック暗号、ElGamal 暗号(エルガマル暗号)、楕円暗号、超楕円曲線暗号などの公開鍵暗号が発明されていますが、現在まで一番実績があるのがRSA暗号です。 さて、次ページからはRSA暗号がどのような理論で公開鍵暗号の概念を実現したのかという解説になります。多少の数学的知識や興味が必要ですが、直感的に理解できるよう心がけていますので、暗号に
効率良い解き方が見つかっていない素因数分解も、コンピュータを使えばかなりの桁まで現実的に行えます。ところが、その数を構成する二つの素数 P と Q が少し大きくなっただけで、割り出すのに必要な計算時間が莫大に増えてしまうのです。現在、素数が 50 桁づつのペア(掛けて 100 桁)程度なら、現実的にコンピュータで素因数分解できます。というのは、RSA暗号の発明者の一人で RSA Security 社の創業メンバーでもある Rivest 博士が 1970 年に出題した 129 桁の数(2つの素数をかけ合わせた数)の素因数分解問題( RSA-129 問題)が、1994年に多重多項式ふるい法という方法によって解かれたというニュースが流れたからです。 その2つの素数をかけ合わせた 129 桁の数とは、 114381625757888867669235779976146612010218296721
しかし1976年、2000年もの間、仕方がないこと考えられてきたこの問題を解決する、暗号界の革命とも言える概念が Diffie と Hellman という二人の研究者によって発表されました。 この暗号の概念では、A と B という2つの鍵を使用します。一方の鍵 ( A ) を使って暗号化した暗号文は、なんと暗号化に使った鍵 ( A ) では復号することができず、もう一方の鍵 ( B ) でのみ復号できるというのです。また、逆にもう一方の鍵 ( B ) で暗号化した暗号文も、もう一方の鍵 ( A ) でしか復号できないという考え方なのです。 この概念を導入できれば、暗号化して伝えて欲しい場合は、一方の鍵 ( A ) を世界に公開し、送信者にこの鍵を使って暗号化して送ってもらえばいいのです。鍵 ( A ) は世界に公開するため、誰もが自分宛てにメッセージを送信できます。しかし鍵 ( A ) で
Maitou Laboratory is a social entrepreneurship organization that aims to fulfill the social responsibility of engineers in society, based on the spirit of repaying those who make a living from technology. Since 1995, we have been involved in research and development, mainly in the field of information science, as well as technical education and a wide range of content, including nature and enterta
現代の暗号のエッセンスは、伝えたい文を数値に直した後の 数値を別の数値に変換する という点にあることが分かりました。このような現代暗号は、これまでに DES・AES・FEAL・E2・Camelia・RC6・IDEA …など、実に様々な方法が研究・設計がされています。これら暗号には、数々の面白いエピソードが知られていますが、詳しくは筆者の本で紹介するとして、ここでは最近の大きな話題をいくつか紹介します。 DES(デス)は、1976年にアメリカ商務省標準局(NBS:現在のNIST)が行った標準暗号の公募に対してIBMが応募し、採用された暗号方式です。アメリカ政府機関のお墨付や実用における長い間の実績があり、前世紀中は最も安全性の高い暗号の一つとして幅広く標準的に利用されていました。しかし、RSA Security 社 という前世紀までRSA暗号の権利を持っていた企業が、「長年使用され古くなって
ビデオカードのないサーバなら不要な PC をシリアル端末としてコンソールにすると便利 ネットワーク経由でしか使用しないモニタレスサーバなら 使用してる PC をシリアル端末としてコンソールにすると便利 ちなみに端末が単なるシリアル端末ではなく, PC (Win機) + シリアル端末ソフトなら TeraTerm を使うと便利 (TeraTerm は TCP/IP (TELNET) だけでなく, シリアルもサポート) (注意!) コンソールを変更するという比較的重要なものである為、 あなたの技量によっては、 Solaris を利用できないような、 取り返しのつかない泣ける状態に陥る危険性があります。 問題が起きても ** 当然 ** 当方ではいっさい補償できませんので十分注意してください。 といっても、データが消える等の事象ではなく、 詳しい人とモノが揃えばもとに戻せるレベルのものですが。
SOCKS4, SOCKS5 のフリーなサーバ・クライアント実装 http://www.inet.no/dante/ 手順 % ./configure --prefix=/usr/local/socks % make # make install # cd /usr/local/bin # ln -s ../socks/bin/socksify # cd /usr/local/sbin # ln -s ../socks/sbin/sockd (ライブラリ /usr/local/socks/lib については気にしなくていい) 実行用のユーザ・グループ socksd と libwrap を作成 --- /etc/passwd --- sockd:x:110:110:socksd privileged user(dante):/: sockd_root:x:111:3:socksd priv
RSA暗号ではある数を法(モジュロ)とする世界で、平文の数値を別の数値に変換することは分かりました。それでは次に、RSA暗号を支えるこの世界の 数値の興味深い性質 をお話しします。 RSA暗号は、自由に選んだ異なる 二つの素数を掛けた数 を法とする世界を利用します。素数というのは、例えば、2, 3, 5, 7, 11, … のように、その数自身と 1 以外の自然数では割りきることができない 2 以上の整数のことです。4 は 2 で、 6 は 2 や 3 で割りきることができるから素数ではありません。では、そのような世界の例として、二つの素数に 3 と 11 を選び、これらを掛けた数 33 を法とする世界を考えてみましょう。33 を法とする世界に存在する数は、0 から 32 までだけです( 33 までいったら 0 に戻るからです)。 この世界に存在する全ての数の べき乗 を全て求めて表にして
「素因数分解」は、中学生三年生で習うはずです。ある数が与えられたら、その数と 1 でしか割りきることができない 2 以上の整数…すなわち素数を使った掛け算の式に分解することです。例えば、 33 なら 3×11 という式に分解できますね。3 も 11 もそれぞれ素数ですよね。 あら?そんな方法があるなら、法とする数 P×Q = 33 を公開してしまえば、誰にでも P=3, Q=11 であることが分かってしまいまいますョ…。そして公開する鍵 E は公開されてるから秘密の鍵 D を求められてしまいます。う〜ん、これは困りましたね…。でもこの 33 の素因数分解、あなたはどんな方法で 3×11 に分解しましたか? 実はこれ、人間の勘と長年の経験 によるところが非常に大きいのです。その証拠に、それでは 6887 はどう素因数分解されますか?これ12も2つの素数に分解できるのですが、どうすれば分解でき
RSA暗号は、インターネットでも広く利用されている話題の暗号です。 この暗号をはじめとする現代の暗号は、かつて戦時中に一部組織でのみ使用われた暗号とは異なり、情報セキュリティを確保するための基盤技術として、情報ネットワーク社会に生きる我々に安心を与えてくれるものです。無意識のうちに利用している方もいるでしょうし、既にこの社会にとって必要不可欠なものとなっています。 こうした現代暗号には、RSA暗号の他にも DES(デス、ディ・イー・エス)やAES(エー・イー・エス)など、数多くの方式があります。その多くは複雑な設計であるのに対し、最も特徴的なRSA暗号のエッセンスは非常に単純かつ興味深い理論によって成り立っています。この「からくり」がどんなものなのかを知らないままでは、何だかもったいなくありませんか? この読み物は、現代暗号をRSA暗号を中心に分かり易く解説したものです。詳しい話はこの先を
So what kind of ciphers are actually used? Ciphers for authentication purposes include the password mentioned earlier. On the other hand, ciphers for the purpose of hiding information include the famous Caesar cipher and the cryptogram mentioned earlier. The details will be discussed later. This Cryptogram, can you see that the unit to be encrypted […]
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