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大谷翔平
www.ruhamata.work
以前から熱方程式の記事について書いています。 以前までは以下の熱方程式を考察の対象にしていました。 (1)= (2)= (3)= 上の(1)~(3)を満たす熱方程式の初期値・境界値問題を熱方程式のディリクレ問題といいます。 今日は、 (1) (2) (3) 上の(1)~(3)を満たす熱方程式を考えることにします。このような初期値・境界値問題のことを熱方程式のノイマン問題といいます。(2)の == は端点で熱の出入りがないことを意味しています。 ディリクレ問題の時と同じように、ノイマン問題においても初期値に対して正値保存性が成り立ちます。また、この正値保存性を起点に、解の一意性、安定性が導かれます。それでは見ていきましょう。 定理(ノイマン問題の正値保存性) (1) (2) (3) ならば、古典解も]において、 が成り立つ。 証明 を任意の正数として、を]に制限して考え、そこでが負にならない
前回に引き続き、熱方程式についてです。 前回の記事はこちら www.ruhamata.work 実は最大値の原理から解の一意性や保存性が導かれます。前回の定義・定理のステートメントを引用しておきます。 定義① 任意の正の数に対して、 ] , とします。が熱方程式 = の古典解であるとは以下の(1)~(3)満たすことをいいます。 (1) は ] で連続。 (2) ,,,は] で存在し、連続。 (3) で が成り立つ。 次に熱方程式を具体的な形で定義しておきましょう。今回は簡単のために以下のように定義することにします。 定義②(熱方程式の初期値・境界値問題) (1) (2) (3) 定理(熱方程式の最大値・最小値の原理) が、熱方程 式の における古典解ならば、 これらの最大値・最小値の原理から系として以下のことが導かれます。 系(順序保存性) がともににおける熱方程式の古典解で、上 をみたす
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