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計画数理演習(確率微分方程式) 吉野 Date: 平成16年1月22日 疑似乱数 講義 はじめに 一様乱数 標準正規乱数 数値積分 課題 課題1-1 乱数列の生成 課題1-2 課題1-3 課題1-4 課題1-5 プログラムの例 課題1-1 課題1-2 課題1-3 課題1-4 結果 課題1-1 課題1-2 課題1-3 課題1-4 ランダムウォーク 講義 なぜランダムウォークなのか ランダムウォーク 課題 課題2-1 酔歩モデル 課題2-2 複数の見本過程 課題2-3 ノイズが正規分布をする場合 プログラムの例 課題2-1 課題2-2 課題2-3 結果 課題2-2 課題2-3 ランダムウォークの性質 講義 ランダムウォークの性質 Langevin 方程式 Fokker-Plank 方程式 Wiener 過程の重要性 課題 課題3 ランダムウォーカーの分布 プログラムの例(課題3) 結果 課題3
「計画数理II」講義ノート
と表すことができる場合のみを考える. ここで, は平均 0 ・分散 のブラウン運動(標準Wiener過程)の 経路を表す. また第3項の積分は伊藤の意味での積分である(詳細は省略するが, このタイプの積分には伊藤積分の他にもうひとつの定義の仕方がある). このような微分方程式によって記述される過程を伊藤過程という. 伊藤過程を数値的に解く方法についてはここでは考えないことにして 解析的に解くことを考える.このときに必要な公式が伊藤の公式 である. すぐにわかるように最も重要なのは が無視できず に 置きかわることである.これは標準 Wiener 過程を構築するときに を 倍するときに を 倍するのと同じ 理由である.以下に示すように, 確率微分方程式の数値解を求める場合にもこの結果は重要となる. いくつかの例 ブラウン粒子の速度変化(Ornstein-Uhlenbeck 過程)
となる.これは, と の取り方によって 同じ時間でも分布関数の形が変わることを意味しており,実際に 用いる場合,細かく見るために を変更すると, 同一な時間だけ経過しているにもかかわらず,違う分布が得られる ことになり問題が残る.そこで, 期待している確率過程を表現するためには,どのように と を選べばよいのかを 考えてみる. 上の確率密度関数は に 比例しているので,分散は である. そこで となるような確率過程を 考えることにする.すなわち, 時刻 における分散が であるような Wiener 過程である. このような過程のうち, とした理想的な 確率過程を標準 Wiener 過程という. 標準 Wiener 過程の正しい定義は次のようなものである. このとき有限な と は,標準 Wiener 過程の 良い近似となる.この近似をプログラムで実現しようと考えたときの と の選択肢は無限にあ
事象と確率 標本空間 ある偶然を伴う実験の結果が, , , , , のいずれかに属するとき,これらの結果すべての 集合を標本空間と呼ぶ(以下では,これを と表す). 標本空間を規定することは,以下のことを行うことを意味している. 対象の限定 結果の範囲の規定 結果の記号化 事象 標本空間の部分集合を事象と呼ぶ(以下では,これを や で表す). 事象は という形で規定される. 事象の種類 全事象():すべての結果の集合 空事象():どの結果も含まない集合 余事象(): に属さない事象の集合 根本(根元)事象:ただひとつの結果からなる集合 和事象() : と の少なくとも一方が属している事象 積事象() : と の両方に属している事象 排反事象:一方が起これば他方は決して起こらないという事象の関係. 例えば, と が排反ならば である.
である. KL情報量は以下のような性質を持っている. KL情報量は常に0以上である. モデルの分布が真の分布と一致するときにKL情報量はゼロとなる. この性質はKL情報量をモデルの当てはまりのよさを与えるひとつのものさしとす ることを支持している.また,KL情報量が(負の)エントロピーに符号を逆にし たものであることも,ものさしとすることを支持するものである. 上の性質から明らかなように,このものさしはあてはまりが良いほど小さい値を 持つ. 以下では,このものさしを用いてモデルの当てはまりのよさを比較する方法につ いて考えてゆく. 対数尤度 KL情報量は,離散的な場合,
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