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しかし,データの多くは小数点以下を切り捨てたり,四捨五入したりして得たものなので,という値で表を作成する代わりに,以上未満での度数という形で表を作成します.このとき,データを以上未満というようないくつかの区間に分けて集計するときの各区間を階級(class interval)といい,で表します.そして, 区間の幅つまりを階級幅(class interval width)といいます.それぞれの区間の端点の相加平均 を階級値(midpoint)といいます.また,全標本の個数に対する各階級の度数の割合を相対度数(relative frequency)いいます. さらに,統計解析のために以下の度数の合計 を考えます.これを累積度数といいます.これらを用いて表したものが度数分布表(frequency distribution)です. では,上記のデータを用いて度数分布表を作成してみましょう.データの値
C++のクラス概念は,組み込みデータ型と同じように新しい型を作成する道具をプログラマに提供することを目的としている.また,派生クラスとテンプレートは,関連するクラスを構造化し,プログラマがその関係を利用できるようにしてくれる. コンピュータ科学でいう型とは,概念を具体的に表現したものである.例えば,C++の組み込みデータ型とそれが持つ+,-,*などの演算は,数学の四則演算の概念を具体化している.組み込みデータ型に直接対応していない概念を定義するために新しい型を提供するのがクラスである.つまり,クラスはユーザ定義型である. クラスを理解するために,例として図形を考えよう.図形には色々あるが,例えば三角形を思い浮かべると,三角形には底辺と高さがあり,これによって面積が求まる.この三角形の属性である底辺と高さ,また,面積を求める方法などを1つのまとまりとしたものを三角形クラスという.このとき,底
ここでは,個の未知数 が個の方程式で関連付けらている。係数および右辺は既知の数である。 もし,ならば,方程式の個数と未知数の個数が等しく,解が一意に定まる可能性が十分にある。数学的には,もし個の方程式のうち一つでも他の方程式の線形結合である(これを行退化(row degeneracy)という)ならば,解は一意には定まらない。また,どの方程式にも,いくつかの変数がまったく同じ線形結合となって現れる(これを列退化(column degeneracy)という)ならば,やはり解は一意には定まらない。退化している方程式は特異(singular)であるという。 この連立方程式を解く方法でよく知られたものにGaussの消去法がある。まず,次の連立1次方程式を解くことから始める。
配列型文字列と比べるとC++ストリング型オブジェクトは使いやすく実行エラーの起こる回数が少ない.これと同じことが配列と標準C++ベクタ型オブジェクトの間でもいえる.つまり,C++ベクタオブジェクトは配列をもっと使いやすくしたものである.vectorクラステンプレートは標準C++ライブラリのコンテナのプロトタイプである. vectorクラステンプレートはvectorヘッダで定義されている. 例題 14.1 次のプログラムは,8個の文字列を持つベクタとそれらを呼び出すload()関数,そして表示するprint()関数を構築している.実行するとどんな結果が得られるか. #include <iostream> #include <string> #include <vector> using namespace std; void load(vector<string>&);
世の中で起きている、またはこれから起きるかもしれない現象の本質を探ろうとするのが科学(サイエンス)です. 今話題の環境問題,バイオ,生命情報など,21世紀に発展するだろうと思われる学問も,すべてサイエンスです.これらの現象の本質の探り方でここ数十年の間に目覚しく発展してきているのが、現象の定式化とよばれるものです。 ここ2,3百年の間に、多くの現象が定式化されてきましたが、ここ数十年の間のコンピュータの発達により、複雑な式を解く、解を近似することなどが可能になり、今まで分からなかったことも少しずつ解明してきました. では、定式化を行うには何が必要なのでしょうか。古典的な物理現象の場合,まず、物体の時間による変化や位置による変化と、基本となる法則が必要となります. ここで,物体の時間による変化とは、物体の速度、つまり微分が必要になります。基本となる法則とは、例えば、ニュートンの第2法則、
前節で,TeXの簡単な使い方を紹介しました.そこで,ここでは,前節で用いたコマンド(latex, dviout)を自分のコンピュータで使えるようにするための設定について説明します. WindowsにTeXをインストールする最も簡単な方法は,阿部紀行氏の作成した TeXインストーラ を用いる方法です. 順を追って説明します. 阿部氏のページからkakuto3_0_71をダウンロードし,フォルダKakutoで展開. (1) 保存ボタンをクリックし,フォルダKakutoに保存 (2) フォルダKakutoに取ってきたファイルを保存 (3) kakuto3_0_45.zipを右クリックですべて展開を選ぶ (4) 次へをクリック (5) 次へをクリック kakuto3.exeを使ってTeXのインストール (1) Kakuto3.exeをダブルクリック (2) 次へボタンをク
を小さなに対して計算すればよい。残念ながら,この段階ではこの方法で得た値は良い近似かどうか分からない。そこで,微分積分学で学んだTaylorの定理を用いて調べてみる。 まず,を近似するために,区間内の区分点と十分小さなを用意する。ここで,十分小さなとは を満たすである。さらに関数は2回微分可能とすると, Taylor多項式とLagrangeの剰余項より,
世の中で起きている、またはこれから起きるかもしれない現象を、何とか定式化してその現象の本質を探ろうとするが科学である. ここ2, 3百年の間に、多くの現象が定式化され、その式を解くことによって、いろいろなことが分かってきた. また、ここ数十年コンピュータのハード並びにソフトの発達により、ほとんどの定式化された物理現象は、行列の固有値問題として扱うことができるようになった. このことから、大学で学ぶべきことは現象の定式化をいかに行うかということと、その式をいかに解くかということになる. まず、定式化を行うには、物体の時間による変化や位置による変化と、基本となる法則が必要となる. 基本となる法則とは、例えば、ニュートンの第2法則、別名、運動方程式などである. 次に、その現象を再現するような実験が必要だったり、規模が大きくて再現ができないようなものは、コンピュータでのシミュレーションを行
において,区間内のノード と,係数 を打切り誤差が最小になるように選ぶ方法である。 係数 は任意で,ノード は区間内にあればよいので,個の選択がある。もし,多項式の係数を媒介変数と考えると,次数の多項式は個の媒介変数を持つ。つまり,が次数の多項式ならば,一意な値を得ることができる。 では,どのようにノードと係数を選ぶか例を用いて説明する。例えば,が次数の多項式のとき,公式
が成り立つとき, を の 固有値( eigenvalue) といい, を固有値 に対する固有ベクトル(eigenvector) という。では固有値と固有ベクトルは何なのか調べてみよう。まず,幾何学的に考えてみる。例えば,平面上で直線 を直線 に移す線形変換を考えみる。これは 軸方向での平行移動なので の形をしたベクトルは線形変換の後でも の形をしている。このように線形変換後にそれ自身のスカラー倍となって現れるベクトル,これが固有ベクトルである。またこのときのスカラー が固有値である。それでは固有値と固有ベクトルはどうやって求めるのだろうか。 を書き直すと,
次の1〜5の条件を満たすものをポワソン過程という。 事象はいかなる時点でもランダムに発生しうる。 与えられた時間区間での事象の発生は,それと重複しない他の区間に対して独立である。 微小時間における事象の発生確率はに比例して小さくなっている。 微小時間の間に事象が2回以上発生する確率は無視できる。 時間の間に当該事象が発生する平均発生回数がおおむね5以下である。 をポワソン過程における事象の発生回数とすると, となり, と表す。ただし,はポワソン過程における事象の平均発生回数。 ポワソン過程には,テープの傷,交換台にかかってくる電話,電球の破損,タクシー待ちなどがある。 1. 交通事故による死亡者が1日平均0.8人であるとき,次の確率はいくらか. (a) 死亡者0の日. (b) 死亡者6名以上. 2. ある放射性物質から1秒間に放出される粒子の数は平均して3個である
C言語入門 C言語で苦しんでいる人を対象に、Cプログラミングを学ぶ上で必要な最低限の事柄を収めた。説明を読んで、例題、練習問題をこなして行くうちに、自然にC言語がマスターできるようにしたつもりである。しかし、Cは言語である。皆さんも経験しているように、言語を習得する最良の方法は、“習うより慣れろ”だ。囲んであるプログラムはすべて自分で打ち込んで、実行してみよう。では、始めよう。まず、Cプログラムの形を見てみよう。 一般的なCのプログラムは次の形をしている。 /*************************************************************************** *Program name:fundamental.c *Author:Hisashi Yokota *Date:Dec 1,2000 *Purpose:introduce
ステレオタイプ UMLはどのプログラミング言語にも依存しない.そこで,UMLにはさまざまな拡張機能が定義されている.ステレオタイプ(streotype)はUMLの拡張機能の一つで,ステレオタイプを用いれば,役割や用法上の違いなどをモデル要素に修飾することができるようになる.ここで,役割や用法上の違いとは,同一の要素でも頻繁に発生する.例えば,一口にメソッドといっても,理論的に役割は異なる.コンストラクタ,イベントなどが存在するだろう.ステレオタイプはこのような違いを明確に記述し,その意味を開発者に伝えるものである.ステレオタイプはギュメtypeを用いて,ステレオタイプ名を囲み,以下のように記述する. この図はコントロールの役割を持つクラス Component とインターフェイスとしての役割を持つ Container クラス,そして,属性クラスである ControlAttribute の
を書いたものである. では,ユースケースを理解するために次のシナリオを考えて見よう.このシナリオは,インターネットショッピングが可能なオンラインストアでショッピングを行なうことを想定している.
数を横に並べたのを行といい,縦に並べたのを列という。 たとえば,3行4列の行列は次のような形で与えられる。 ここで は行列の成分とよばれ, は行の番号, は列の番号を表す。とくに, を対角成分とよぶ。行列の行列を 型の行列という。また,成分 で構成される行列を や で表すこともある。 定義 5.1 ふたつの同じ型の行列 と は,対応する成分がすべて等しいとき,すなわち,すべての において, が成り立つとき,対等であるといい, で表す。
1. 0 から 6 までの7個の数字を取り出して並べるとき,次のような4けたの整数はいくつあるか求めよう. (a) すべての数字が異なる場合 (b) 5の倍数 (c) 同じ数字が重複してもよい場合 2. 1から10までの番号のついたカードから6枚を取り出すとき,次のような場合の数を求めよう. (a) すべての場合 (b) 1と2のカードを含む場合 (c) 1または2のカードを含む場合 3. 1枚の硬貨を5回投げるとき,次の場合は何通りあるか求めよう. (a) 表の出る回数が0回,1回,2回,3回,4回,5回のそれぞれの場合 (b) 起こりえるすべての場合 4. の文字を一列に並べるのに次の場合は何通りあるか求めよう. (a) が隣あう場合 (b) が隣合わない場合 (c) が両端にくる場合 5. の8個の文字を並べる順列の総数は
を満たすとき,行列は狭義の対角優勢行列(strictly diagonally dominant matrix)という。
(2-7-1-1) EXERCISE Choose the one word or phrase that best completes the sentence. Just leave the report ___ my desk before you go to lunch. (A) into (B) on (C) along (D) for (2-7-1-2) EXERCISE Choose the one word or phrase that best completes the sentence. The convention will be held ___ Tokyo. (A) at (B) from (C) for (D) in (2-7-1-3) EXERCISE Choose the one word or phrase tha
前節で学んだ文字配列はC++の中の重要な部分である.文字配列はデータの編集に効率のよい道具を提供してくれる.ただ,この効率の良さは,ナル文字を用いていることによる動作誤差というリスクを背負っている. そこで,C++には標準C++ストリング(standard C++ strings)とよばれ,文字配列に代わる動作誤差の少ないものがある.文字列の長さを文字列の中に含ませることにより,ナル文字に頼る必要を無くしたものである. 書式付入力(Formatted Inputs) C++での入力はistreamオブジェクトcinを通り,出力はostreamオブジェクトcoutを通る.istreamクラスはcinのようなオブジェクトの行動を定義する.最も顕著な行動は抽出演算子(extraction operator)(または入力演算子) の使い方であろう.抽出演算子はistreamオブジェクトから文
前節で,任意の関数をある区間上の個のノードで,微分係数と関数の値が一致する多項式について学んだ。しかし,高次の多項式は振れが大きいため扱いにくいという問題がある。そこで,区間を小区間に分けて,それぞれの区間で別々の補間多項式を作るという方法が考えられる。この方法のことを区分的多項式近似(piecewise-polynomial approximation)という。 区分的多項式近似の中で最も簡単なのは,1次式での近似である。つまり,個のデータ点を順に直線で結んでいく方法である。この方法を用いたときに発生する問題は,ノードにおいて微分可能でないことである。つまり,この方法で作られた曲線はノードで滑らかでないということである。 そこで考えられる方法は,それぞれの小区間において,Hermite型の多項式を見つけた後,ノードで滑らかになるようにする方法である。もし2次のHermite型の多項式
要求分析 ソフトウェアを開発する時に一番最初にしなければならないことは,何を作りたいのかをはっきりさせることである.これを「要求分析」と言う. これは当たり前のように思えるが,多くの場合,これをしっかり考えずに「まず出来る所から手をつけよう」とプログラミングを始めてしまい,要求ではなく実現レベルで物を考えがちである. 「要求」と「実現方法」をはっきり分けて考えないと,もっと効率的で良い実現方法を考えようという気がなくなってしまい,以前のやり方の悪い点までわざわざ手をかけて真似することになってしまう.これでは時間も無駄になるし開発者の士気にも影響する.だから「要求」をきちんと考えそれについて最良の「実現方法」を考えるようにする.多くの場合,最良の実現方法が一番プログラムが楽に作れる.それは要求を一番素直に実現する方法だからである.ソフトの世界では「単純であることが最良の方法」なのだ.だ
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