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・平面正充填 合同な正多角形による平面充填のうち,隣合う正多角形が必ず一辺を共有するような*1配置を,平面正充填といい,以下の3種類が存在する。この平面正充填は,正多面体の平面バージョンになっており,外接球の半径を稜長に対して無限に大きくした正多面体の仲間とみなすことができた。 形状 シュレーフリ記号 名称 関係の深い多面体 {3,6} 正三角充填 {4,4} 正方充填 / {6,3} 正六角充填 正三角充填は,正三角形が一つの頂点に6個集まったものである。同じく正三角形からなる多面体,正四面体{3,3}→正八面体{3,4}→正二十面体{3,5}の系列を延長したものに相当する。 正方充填は,正方形が一つの頂点に4個集まったもの。同じく正方形からなる立方体{4,3}の頂点配置において,正方形を一つ余計に並べた形である。正八面体の頂点配置(3,3,3,3)で,半数の正三角形を正方形に変換すれば
今年のノーベル化学賞は,準結晶の発見者,ダニエル・シェヒトマン氏だそうです。 準結晶については,佐藤郁郎さんの「今月のコラム」で聞きかじっていて,なんとなく知ってはいたのですが,偉大な業績だったんですね。 佐藤さんの,5回対称性と準周期的結晶によれば,シェヒトマン氏の発見した合金の準結晶は,ペンローズタイルを3次元空間に一般化したものだそうです。ペンローズタイルは,黄金菱形六面体による非周期的な空間充填を,二次元平面に投影したもの。非周期的な平面充填形として有名です。今回のノーベル賞は,化学だけでなく,物理や幾何学とも密接なかかわりをもつ研究成果に与えられたのですね。 菱形多面体は,高次元の立方体の三次元空間への投影になっています。菱形多面体について,いくつか記事を書いているので,そのリンクを貼っておきます。 ・菱形多面体と正多面体 ・菱形十二面体のCG ・菱形三十面体のCG ・菱形充填
正多角形だけを面とする凸多面体は,プラトンの立体5種,アルキメデスの立体13種,アルキメデスの角柱と半角柱,そしてジョンソンの立体ですべてである。ジョンソンの立体は92種類もあってとても多いが,いくつかのグループに分けることができ,そうすることで理解がぐっと深まる。 ・角錐,台塔,丸塔 まず,角錐とその一般化としての台塔,丸塔が,計6種類ある。 角錐は四角錐と五角錐の2種類ある。等稜三角錐は正四面体なのでジョンソンの立体からは除外され,等稜六角錐は平面につぶれるので多面体でない。 台塔は,底面が頂面の2倍の辺をもち,正方形と正三角形を交互に配置して側面としたものである。頂面の辺の数は3,4,5のどれかで,それぞれ立方八面体,斜方立方八面体,斜方二十・十二面体の一部になっている。底面の辺数で「三角台塔」などと呼ぶ。二角台塔は,(倒した)等稜三角柱である(右写真)が,これは半正多面体であるから
久々の更新になります。見ておられる方いるかどうか…。 まあそれはともかく,今回は平面幾何のパズルです。 問題はタイトルの通りなのですが,ちょっと簡略化した「平面上で,距離が1種類になる3点の配置は?」という問いなら簡単ですね。 答えはただひとつ。そう,正三角形の頂点の配置しかありません。 本題は「平面上で,距離が2になる4個の点の配置は?」というものですが,これはぐっと難しくなります。いくつかはすぐに思いつくと思いますが,全部で6パターンあります。 答えは下のリンク先にまとめてありますので,できた方,ギブアップの方は御覧ください。次元を上げたバージョンについても考察しています。 互いの距離が2種類であるような平面上及び空間内の点配置について - Togetterまとめ http://togetter.com/li/868781 久々の更新。メモ程度だけど。 入試問題とかで有名な話。 三角形
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