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一次元の場合 いきなり多次元の問題にすると、イメージを掴みにくい。とりあえず、1次元の問題について考える。 積分演算子 について積分演算子を次のように定義する。 積分演算子は有界 ここで、ルーベルグ積分の定義から、 と置けることに注意しよう。 これを用いると、 つまり、 が成り立つ。よって積分演算子は有界□ L^2を積分した関数のHolder連続性 として、とすると、 よってを積分した関数はのHolder連続である。 弱微分 空間は連続関数をノルムで完備化したものである。それゆえに一般的に微分可能とは限らない。ここで、微分の概念を一般化した、弱微分を導入する。 に関して、 が成り立つ場合、はの弱微分と呼ばれる。 連続関数の積分の弱微分は、強い微分と等しい が連続関数であるとする。このとき、積分はリーマン積分となるので、の(弱微分ではない)微分が可能であり、 となる。微分が連続であるからであ
前処理つきCG法(PCG法) 前節ではCG法の収束が行列の固有値分布に強く依存することが分かった。 ここで、解くべき方程式を行列を使って次のように変形できたとする。 但し、、、である。ここで、は特異でない行列である。 が正定値対称の場合、も正定値対称となる。そこで連立一次方程式にCG法を適応することを考える。 もしも、がよりも条件数が小さいようなよい固有値の分布をしているとすると、より早く解を求めることができることが分かる。 ここで行列とおく。以下、行列、やを用いることなく、の逆行列のみを用いて、連立一次方程式にCG法を適応しているのと同一になるようにCG法のアルゴリズムを書き直す。 の時、となり、変形した連立一次方程式は解かずとも解が求められる。 連立一次方程式にCG法した際の残差、探索方向ベクトルとする。 よって、、とおくと、CG法の係数は次のように表すことができる。 CG法の関係式か
概要 3次元の剛体の運動について定式化する.弾性体は無数の質点が連続的にそれぞれ変位を持ち,変位場を計算機内で表現するためには離散化が必要であるが,剛体は内部で歪が発生しないので,自由度は並進と回転の6自由度だけで完全に状態を記述することができる. 最初に軸性ベクトルについて解説する.回転行列はこの軸性ベクトルを使って書くことができる.また回転行列を簡潔に表す回転パラメータについて説明する.軸性ベクトルと回転行列を使うことで,回転行列や角速度の変分を定式化することができる.これらを用いてハミルトン原理により運動方程式を導出する.最後に運動方程式の増分計算を解説する. 表記と数学的準備 ベクトルにチルダをつけるたものは,次のような反対称の行列を表すとする. 外積の記号を用いれば, が成り立つことが分かる. 成分ごとに書くと次のようになる. ここではレヴィ=チヴィタの記号である. チルダのつい
線形ソルバ関係 反復法関連 大規模連立一次方程式におけるクリロフ部分空間法の数理; 張紹良先生のドキュメント http://www.cc.tsukuba.ac.jp/mimosa/workshop/20040614/records/files/zhang.pdf TEMPLATES http://www.netlib.org/linalg/html_templates/report.html 固有値計算関連 行列の固有値問題 桂田 祐史先生による行列固有値問題に関する詳しいドキュメント http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/eigen-values/eigen-values.html 数値計算一般 数値計算の基礎 誤差、非線形方程式、連立一次方程式の解法、固有値計算、数値積分、高速フーリエ変換などについて詳しく書かれている。 http://ww
2次元の幾何情報取得プログラム 3角形の面積 点からなる三角形の面積は次のように表すことができる。 また、ヘロンの公式によれば、3角形の3辺の長さを、としたとき が成り立つ。 プログラミング例 double TriArea(const CVector2D& v1, const CVector2D& v2, const CVector2D& v3){ return 0.5*( (v2.x-v1.x)*(v3.y-v1.y) - (v3.x-v1.x)*(v2.y-v1.y) ); } 内接円の半径 3角形の周の長さの半分を、面積をとすると、内接円の半径は となる。 外接円の半径 三角形の面積を、3辺の長さをとすると、外接円の半径は が成り立つ。 アスペクト比 3角形のアスペクト比は、外接円の半径、内接円の半径とすると次のように定義される。 3角形の質を評価するためにアスペクト比がよく用いられ
概要 CG法(Conjugate Gradient Methods)はM.R.HestenesとE.Stiefelによって1952年に提案された方法である[1]。 CG法は正定値対称行列に対して使われる連立一次方程式を反復法で解くための手法である。 行列の正値対称性 ベクトルの内積をのように書く。 実行列が正定値対称とは、 ということであり、が対称であるということは、 が成り立つということである。 CG法の基本原理 今、次のような線形同次方程式を解くとする。 CG法は回目の反復において、次のようにこの方程式の解や誤差を用いて定義される誤差のノルム (等号成立はのとき) を最小化するような近似解を部分空間の中から見つける方法である。但し、はクリロフ部分空間(Krylov Subspace)である。 つまりCG法は次のような連立一次方程式の近似解を探すための方法である。 このように部分空間の中
有限要素法(FEM)は偏微分方程式を解いたり力学解析をする上で非常に強力な方法です。 何十年にもわたり様々な研究が精力的になされ、この手法は目まぐるしく発展してきました。 しかし大企業の開発者や大学の研究者など、ごく一部の限られた人以外はその恩恵を被ることができないのが現状です。 誰でも簡単に有限要素法を理解して使えるようになることに少しでも役に立つことを、 このWebページを通じて目指しています。
概要 MPICH2を用いると並列計算のプログラムを開発することができます。いきなり多数のPCを使って開発を行うとデバッグが大変ですが、MPICH2は多数のPCで実行されていることを仮想的に再現することができるのでとても便利です。ここではWindows上での設定方法について説明します。 MPICH2のインストール こちらのMPICH2のページ http://www.mcs.anl.gov/research/projects/mpich2/ http://www-unix.mcs.anl.gov/mpi/mpich2/index.htm から をダウンロードする。あとは適当に[Next]ボタンを押していくとインストールが終了する。 何も指定しなければ、 C:\Program Files\MPICH2\ にMPICH2がインストールされる PATHを通す マイコンピュータを右クリックメニューから
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