400年の難問、｢ケプラー予想の証明｣やっと100％終わる
400年の難問、｢ケプラー予想の証明｣やっと100％終わる2014.08.13 22:0019,492 satomi コペルニクスが提唱した地動説を、天体運行法則で不動のものにした偉人ヨハネス・ケプラー。 そのケプラーが1611年に提唱した｢球は、八百屋に山盛りのオレンジみたいにピラミッド型に並べると一番沢山入る｣という説が、400年の歳月を経て、100％正しかったことがコンピュータの力で証明されました。 この立体最密充填の解答は、誰でも直感的になんとなく正しいことがわかります。けれども証明するとなると超厄介で、世界歴代の天才がいくら頭脳を結集しても証明できなくて、ずっと｢定理｣ではなく｢ケプラー予想｣と呼ばれ続けてきた難題中の難題です（参考）。 証明したのは、米ピッツバーグ大学のトマス・ヘールズ教授です。もともと氏が1998年に発表し、｢フェルマーの最終定理以来の難問が解けた！｣と世界中
大学の「数論」（初等整数論と，代数的数論）の講義ノートPDF。独学用のオンライン参考書 - 主に言語とシステム開発に関して
講義ノートの目次へ 大学の数学で勉強する，数論（Number Theory）の入門に役立つPDF。 （１）整数を扱う初等整数論と， （２）群・環・体を使った代数的数論（Algebraic number Theory） の２つに分類。 前者は，いわゆる「整数問題」というやつの体系と思ってよい。 後者はもっと本格的で，「代数的な数」を扱い，自然な流れでガロア理論が出てくる。 ※群・環・体（抽象代数学）の知識は，こちらのノートで学ぶとよい。 ※数論の続きは，リーマン・ゼータ関数のノートで学ぶとよい。 （１）初等整数論・数論入門の講義ノート しっかり学べる教科書PDF： 数論入門 April 28, 2011 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~ybaba/... 大阪教育大，６４ページ。 1.自然数について 2.数学的帰納法，整列原理 3.整除法 4.約数，倍数 5.ユ
大学教員が求める基礎力がつく『数学は言葉』
マクロ経済学者の荒戸寛樹氏が新入生にお勧めしていた『数学は言葉―math stories』を拝読してみた。英語のサブタイトルが謎*1なのだが、社会科学系の大学教員が新入生に求める基礎力がつく本になっていると思う。こう言うのが分かってい無い子が多いよな～と思う事が、色々と説明されているからだ。しっかりと読み込めば、命題や定理といった数学の基本的な用語や、論理式や証明手順を理解する事ができる。高校数学の復習とも、その先を見据えた準備とも取れるが、学ぶことは多い。 内容は易しい、そして難しい。矛盾した事を言っていると思うだろうが、x=4, y=6の「,」の意味まで説明されているから懇切丁寧で易しいと思う反面、論理式の応用例として「宇宙人の言語学」と呼ばれて恐れられているε-δ論法*2が出て来て、論理式で連続と一様連続の定義の違いを説明していたりする。一つ一つ読み込んでいけば無理はないはずだが、一
松岡正剛の千夜千冊
先週、小耳に挟んだのだが、リカルド・コッキとユリア・ザゴルイチェンコが引退するらしい。いや、もう引退したのかもしれない。ショウダンス界のスターコンビだ。とびきりのダンスを見せてきた。何度、堪能させてくれたことか。とくにロシア出身のユリアのタンゴやルンバやキレッキレッの創作ダンスが逸品だった。溜息が出た。 ぼくはダンスの業界に詳しくないが、あることが気になって５年に一度という程度だけれど、できるだけトップクラスのダンスを見るようにしてきた。あることというのは、父が「日本もダンスとケーキがうまくなったな」と言ったことである。昭和３７年（１９６３）くらいのことだと憶う。何かの拍子にポツンとそう言ったのだ。 それまで中川三郎の社交ダンス、中野ブラザーズのタップダンス、あるいは日劇ダンシングチームのダンサーなどが代表していたところへ、おそらくは《ウェストサイド・ストーリー》の影響だろうと思うのだが、
一般解・特殊解・特異解
日頃より、アレスネットをご愛顧いただきまして誠にありがとうございます。 「ホームページサービス」のサービス提供は2016年1月31日をもちまして終了させていただきました。 これまで長らくご利用いただき、誠にありがとうございました。 今後も、皆様によりよいサービスをご提供させていただけるよう、サービス品質向上に努めて参りますので、何卒、ご理解いただけますようお願 い申し上げます。 ＜アレスネットをご契約のお客様へ＞ 後継サービスとして「userwebサービス」を提供させていただいております。 詳しくは、以下のリンクをご参照ください。 ▼「userwebサービス」のご案内 http://www.ejworks.info/userhp/alles/index.html 今後ともアレスネットをご愛顧いただけますようお願い申し上げます。 株式会社イージェーワークス アレスネット カスタマーサポート
ポップカルチャーに刻まれた 私たちの2年 | STUDIOVOICE【前編】アニメ・コミックス
VOL.4152019年9月20日（金）発売 「We all have Art. 次代のアジアへ――明滅する芸術（アーツ）」 今号「We all have Art. 次代のアジアへ――明滅する芸術（アーツ）」は、前々号（vol.413）「Flood of Sounds from Asia いまアジアから生まれる音楽」と題した音楽特集、そして前号（vol.414）「Self-Fashioning from Asia あらかじめ決められない流儀（スタイル）へ」と題したファッション特集に続く、アジア三部作の完結編となります。 特集では、ノーベル文学賞作家、ル・クレジオの未翻訳小説『ビトナ、ソウルの空の下』の特別抄録にはじまり、世界的大ヒットを記録している『三体』シリーズを手がける中国SF界の巨匠、劉慈欣（リウ・ツーシン）の自宅インタビュー、さらにここ日本でも注目を集めている韓国の文学／現代詩と社
ポップカルチャーに刻まれた 私たちの2年 | STUDIOVOICE【前編】アニメ・コミックス
VOL.4152019年9月20日（金）発売 「We all have Art. 次代のアジアへ――明滅する芸術（アーツ）」 今号「We all have Art. 次代のアジアへ――明滅する芸術（アーツ）」は、前々号（vol.413）「Flood of Sounds from Asia いまアジアから生まれる音楽」と題した音楽特集、そして前号（vol.414）「Self-Fashioning from Asia あらかじめ決められない流儀（スタイル）へ」と題したファッション特集に続く、アジア三部作の完結編となります。 特集では、ノーベル文学賞作家、ル・クレジオの未翻訳小説『ビトナ、ソウルの空の下』の特別抄録にはじまり、世界的大ヒットを記録している『三体』シリーズを手がける中国SF界の巨匠、劉慈欣（リウ・ツーシン）の自宅インタビュー、さらにここ日本でも注目を集めている韓国の文学／現代詩と社
トポロジカルってなに？｜市民とサイエンス｜対称性の破れた凝縮系におけるトポロジカル量子現象
例えば棒に紐を巻きつけて、紐の両端を結んだときに、何回巻きつけてあるかも トポロジカル数です。ヘアピンと輪ゴムを使って、トポロジカル数の違う巻きつけ方をつくれます。 トポロジカル量子現象とは？ 私たちは文部科学省からの補助を受けて「トポロジカル量子現象」という研究プロジェクトを進めています。研究の対象にしているのは、超伝導体、超流動体、そして絶縁体です。これらの中には私たちが普段の生活でよくみかけるものもあります。 物質を分類するとき私たちが普通使う量として、たとえば電気を良く通すか通さないかを量る電気抵抗があります。電気を通さない物質（電気抵抗が無限に大きい）は「絶縁体」と呼ばれ、ゴムや陶器などはその例です。電流が良く流れる（電気抵抗が小さい）物が「金属」で、家の中に廻っている電線には金属である銅が使われています。携帯電話をはじめとする電子機器の機能をになう素子に使われるのが、この中間の
位相幾何学 - Wikipedia
一つの面と一つの辺を持つメビウスの帯は、位相幾何学の研究対象の一つである。 三葉結び目（もっとも単純な非自明な結び目） マグカップからドーナツ（トーラス）への連続変形（同相写像の一種）とその逆。 数学の一分野、位相幾何学（いそうきかがく、英: topology, トポロジー[注釈 1]）は、その名称がギリシア語: τόπος（「位置」「場所」）と λόγος（「言葉」「学問」） に由来し、図形を構成する点の連続的位置関係のみに着目する幾何学[1]で「位置の学問」を意味している。 トポロジーは、何らかの形（かたち。あるいは「空間」）を連続変形（伸ばしたり曲げたりすることはするが切ったり貼ったりはしないこと）しても保たれる性質（位相的性質または位相不変量）に焦点を当てたものである[2]。位相的性質において重要なものには、連結性およびコンパクト性などが挙げられる[3]。 位相幾何学は、空間、次元
トポロジーとは [単語記事] - ニコニコ大百科
トポロジー単語 トポロジー 1.9千文字の記事 9 0pt ほめる 掲示板へ 記事編集 概要関連動画関連商品関連コミュニティ関連項目リンク掲示板 幾何学の一分野のこと。位相幾何学とも。 集合論の概念の一つ。位相とも。集合の要素間の近さや相互関係に関する情報のこと。 情報科学分野におけるネットワークの接続形態のこと(例：スター型 メッシュ型など)。ネットワークトポロジ、ネットワーク構成とも呼称する。 巡音ルカオリジナル曲。→【巡音ルカ】トポロジー【オリジナル曲アニメPV付】 いとうかなこの楽曲であり、フジテレビ系アニメ「Robotics;Notes」第2クールエンディングテーマ。 本稿では1.について述べる。 概要 幾何学の中でも非常に新しい分野であり、「やわらかい幾何学」とも呼ばれる。オイラーやガウスが開祖として有名。 最大の特徴は図形の扱いの「やわらかさ」であり、言い換えれば図形の扱いの
![トポロジーとは [単語記事] - ニコニコ大百科](https://cdn-ak-scissors.b.st-hatena.com/image/square/5bd1fac8d544d19340796767c18bdf23d7d3493d/height=288;version=1;width=512/https%3A%2F%2Fdic.nicovideo.jp%2Fimg%2Fog_b.jpg)
トポロジーの講義で、コーヒーカップと、ドーナツが同じという話からスタートしたんですが。そこで躓いて、頭の準備が足りなかった... - Yahoo!知恵袋
トポロジーというのは、図形を穴の数で分類するという非常に大雑把な幾何学だと思っていただければいいと思います。 例えば、３つの画鋲で輪ゴムをとめ、三角形ABCができているとしましょう。ここで、A,B,Cと画鋲をはずしていくと、最終的には円になりますよね。 つまり、トポロジーでは「三角形と円は同じ」ということになります。普通の幾何学（微分幾何学、ユークリッド幾何学）ではこんなことはいえません。 では、普通の幾何学での直線を考えてみましょう。先ほどの輪ゴムの例では、ABの間が直線になっていますが、トポロジーではABの間をどんなに変形してもよいというルールになっています。曲げても、ひっぱっても、縮めても、途中で切り離すことさえしなければいいんです。なぜかといわれても、そういうルールだとトポロジーを考えた人が決めたからです。 この性質を許してしまえば、「三角形と円は同じ」ということになります。ですの
コンプガチャの確率マジックを中学生にも分かるように説明するよ - てっく煮ブログ
コンプガチャが話題になっています。コンプガチャにハマりやすい理由として「最初は当たりやすいが、だんだん確率が低くなる」という指摘があります。なぜ「確率が低くなる」という現象おきるのでしょうか。この記事ではコンプガチャの裏側にある確率マジックを分かりやすく解説します。サイコロの面を全部そろえるゲームいちばん身近な確率といえばサイコロです。サイコロを使ったこんなゲームを考えてみます。サイコロ コンプのルール サイコロを 1 回振るには 10 円が必要。 6 つの面をすべてを出せば、ペットボトル飲料をプレゼント。「サイコロの 6 つの面をすべてコンプしよう」というゲームなので、シンプルな「コンプガチャ」といえます。このゲーム、あなたなら参加しますか？6 つの面を全部だせばよいので、運がよければ 6 回（60円）でペットボトルが手に入ります。なんだかお得そうです。ためしにやってみると・・・サイコロ
「数学的ゲームデザイン」というアプローチ - doryokujin's blog
前回の議論をより一般化した話です。数式も少なめ。実ビジネスにおいて数学がどこまで貢献できるのかというところを理解してもらい，少なからず関心を持って頂ければ幸いです。ただしあくまで読み物として捉え，実世界ビジネスにおける違法性など指摘をするのはやめて下さい。 目次 1. 『コンプガチャの数理 -コンプに必要な期待回数の計算方法について-』 2. 『「数学的ゲームデザイン」というアプローチ』 3. 『コンプガチャの数理 -ガイドラインに基づいたゲームデザイン その1-』 4. 『コンプガチャの数理 -ガイドラインに基づいたゲームデザイン その2-』 定義 「数学的ゲームデザイン」とは，とある数学モデルのレールに沿ったゲームをデザインすることである。それによって，その背景にある種々の数学的性質を活用して優位な戦略を立てることが可能になる。 コンプガチャは，「The Coupon Collecto
数学記号の表 - Wikipedia
「数学記号」はこの項目へ転送されています。ウィキペディアにおける数式の書き方については「ヘルプ:数式の書き方」をご覧ください。 数学的概念を記述する記号を数学記号という。数学記号は、数学上に抽象された概念を簡潔に表すためにしばしば用いられる。 数学記号が示す対象やその定義は、基本的にそれを用いる人に委ねられるため、同じ記号に見えても内容が異なっているということがあれば、逆に、異なって見える記号が同じ対象を示しているということもある[注 1]。従って本項に示す数学記号とそれに対応する数学的対象は、数多くある記号や概念のうち、特に慣用されうるものに限られる。 記号論理の記号[編集] 以下の解説において、文字 P, Q, R はそれぞれ何らかの命題を表すものとする。 記号 意味 解説
数学記号 [物理のかぎしっぽ]
+ がついた命令は latexsym パッケージが必要です． 区切り記号 命令 出力 命令 出力 命令 出力 命令 出力
数学記号
と記述されていた場合は，「 をn桁計算するとn2に比例す る時間が必要．」という意味です．比例定数は実測して求める必要があります． もし を10桁計算するのに1秒かかったとします． 100桁計算するのにかかる時間は かかります． 100000桁計算するのにかかる時間は， ですので，1億秒!かかります． 注意点として，もし計算量が同じO(n2)であっても，比例定数Cが異なる と計算時間が異なります． 次に，計算量O(f(n))は実測で求められる事はまれで，紙の上の論議で求め る事がほとんどです．裏返すと実際の計算には起こりうるさまざまな阻害要因 が考慮されてません．実際の計算時間を反映していない事があります． 対数は「底」( の10,2など)が異なっても，「底の 交換法則」により という関係があるの で比例定数 しか異なりません．それで計算量の論議では通常 「底」は無視して考えます． :総和
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http://www.mammo.tv/interview/archives/no259.html
「代数は必要ない」：全米を揺るがしたある教授の主張｜WIRED.jp