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都知事選
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この図にあらわされる2変量の相関は見られません。 このように2変量に強い相関関係がみられるとき、それをよくあらわす直線が存在します。その直線について考えていきましょう。 <回帰直線> 下の図に示す2変量は強い相関が見られます。 これらの点は、ある直線(回帰直線)で近似的にあらわされます。この直線の方程式が分かれば他のデータに関しても推測することが可能となるわけです。では、どのように回帰直線の方程式を出せばいいのでしょうか?回帰直線をあらわす関数を y = f(x) とします。このとき、関数 y = f(x) と平面上にプロットされた点Pi( xi,yi ) の関係は下の図のようになります。 ここで点Piのy軸方向の距離は赤い線分で示されます。この長さは | yi - f(xi) | となり、絶対値記号が付いているので、その2乗{ yi - f(xi) }2 を考えます。 各点におけるこの値
ケンドールの順位相関係数 ケンドールの順位相関係数は、2変量の順位を座標平面上にプロットした際、ある一点より右上または左下にあるもの個数から、左上または右下にある点の個数を引いた数の和を n(n-1) で割ったものです。
2つの事象A,Bについて、独立かどうかを検定する方法を紹介します。まずは手順から…。 1.まずは、仮説から…。
有意水準α=0.05で設定し、自由度は10-2=8なので、t 分布表より2.306を得ます。 そこで、相関係数を計算します。 rxy = sxy/√(sxsy) = (Σxy-x~y~)/√{(Σx2-nx~2)×(Σy2-ny~2)} = (7785600-855×908)/√{(7431900-8552)(8285200-9082)} = 7009260/√(6700875×7460736) = 0.9913 検定統計量T = 0.9913√(10-2)/√(1-0.99132) = 21.3 T>k なので帰無仮説を棄却し、対立仮説を採用。つまり、有意水準α=0.05で2変量には相関関係があるといえます。
統計学入門 §1 資料の整理 統計学の概念 データの整理 代表値 統計学的指標 §2 確率変数 §3 確率分布 離散確率変数 2項分布 ポアソン分布 連続確率変数 一様分布 ベータ分布 指数分布 ワイブル分布 正規分布1 正規分布2 多変量確率変数 多変量正規分布 §4 標本分布 t分布 カイ2乗分布 F分布 §5 推定 推定とは 母平均の区間推定 母比率の区間推定 §6 検定 検定とは 両側検定と片側検定 標本平均の分布 母平均の検定 (標本平均から母平均を検定) 2つの母平均の差の検定 2つの標本平均の差の検定 母比率の検定 (標本比率から母比率を検定) 2つの母比率の差の検定 スピアマンの順位相関係数 ケンドールの順位相関係数 適合度検定 (カイ2乗適合度検定) 独立性検定 (カイ2乗独立性検定) 異常値の検定 (グラブス・スミルノフ棄却検定) §7 回帰と相関 2変量への応用 回
限られた標本から母集団の平均を検定するには、母平均の区間推定同様、母分散が既知のときと、未知のときで分けられます。 <母分散が既知のとき> 1.まずは、仮説を立てます。
自然数 n に対して、n が奇数なら3かけて1加える。偶数なら2で割る。以上の操作を繰り返すと、全ての自然数に関して、最終的に、1→4→2→1のループに入る。 つまり 1→4→2→1 2→1 3→10→5→16→8→4→2→1 4→2→1 5→16→8→4→2→1 6→3→10→5→16→8→4→2→1 7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→… 8→4→2→1 9→28→14→7→… といった感じです。何となく、いずれ1に帰着し、ループに入りそうな気がしますねえ。 しかし、証明はと言うと、未だ解決されていません。この問題に決着を付けるためには、証明するか、反例を見つけるかどちらかですね。反例はと言うと、 ・充分この操作を続けたあとも、元の数、n 以下になることがない数。 ・1→4→2→1以外のループをつくる数。 のどちらかですね。 未だに解決されていない問題を
母平均の区間推定 一部の標本から母平均を推定しようとするとき、一般に区間推定を行うことが多いようです。母平均の区間推定には次の2通りが考えられます。 母分散が既知のとき 母分散が未知のとき 区間推定の場合、事前に適当なα( 0 < α < 1 )を決めておき、 P(L<推定量<U) = 1-α となるLおよびUを得ます。区間[L,U]を(1-αの信頼区間)または(100(1-α)%の信頼区間)といい、信頼の精度100(1-α)%を信頼度といいます。
< t 分布> 正規分布は、母平均μと母分散σ2のみで示されたわけですが、一般にこれらの値は知られていない場合が多いようです。 そこで、母平均の代わりに標本平均で代用します。ここでは、この標本平均がどれほど母平均に近いかが問題となるわけです。
スキュタレー暗号 (scytale) 2500年以上も前の話ですが、スパルタの人々は、以下の方法で暗号化を行っていました。まず、当事者同士で、各々同じ半径のシリンダー(スキュタレー)を持っています(下図参照)。 そこでまず、その送り主は、細長いリボンに暗号文を書いていきます。たとえば、次の文章を暗号化するとします。 YET THE EARTH DOES MOVE この、平文を暗号化してリボンに書いていくわけですが、まずそのリボンをシリンダーに巻き付けます。巻き付けたリボンに平文を書いていくわけです(下図参照)。
スピアマンの順位相関係数 相関係数は2変量に直線的な相関関係があれば適用されるが、そうでない場合やデータの順位しか分かっていない場合もあります。そんなときに有効なのがスピアマンの順位相関係数です。求め方は、以下のようになります。下に示すような2変量に関して順位がついています。
データの中に、1つだけ他のデータとかけ離れている値(異常値、外れ値)があると、それを棄却するべきかどうかという問題があります。データをサンプリングしてきたときに、測定ミスをしていたかもしれないし、数値をうつし間違っていたかもしれません。このようなときに、その異常値を棄却するかどうかを検定するのが、グラブス・スミルノフ棄却検定です。その手順は次のようになります。 1.まずは、仮説から…。 帰無仮説:”他のデータとかけ離れた値は異常値ではない。” 対立仮説:”他のデータとかけ離れた値は異常値である。” 2.有意水準 α を決め、スミルノフ棄却検定表よりデータ数 n のときの値 k を得る。 3.検定統計量Tを求める。 ⇒ T>k で帰無仮説を棄却し、対立仮説を採用。つまり、有意水準αで、かけ離れた値は異常値とみなして棄却される。 異常値の検定(グラブス・スミルノフ棄却検定)
初歩的な整数論が中心のページです。 素数(Prime Numbers) 素数に関するオイラーの定理 素数定理 (Prime Number Theorem) ゴールドバッハの予想 (Goldbach's conjecture) 双子素数に関する考察 フェルマーの小定理 (Fermat's Little Theorem ) フェルマー・オイラーの定理 (Fermat-Euler Theorem) フェルマー素数 (Fermat Number/Fermat Prime) ペパンの定理 (Pepin's test) 合同式 (Congruence) メビウス関数 (Mobius function) 平方剰余 (Quadratic Residue) 環 (ring) 2次体(Quadratic Field) 円周率π e (自然対数の底) 無理数(irrational numbers) 循環小数(R
用語集 シーザー暗号(Caesar cipher) ヴィジュネル暗号(Vigenere cipher) ホモフォニック暗号(homophonic substitution) スキュタレー暗号(Scytale) 書籍暗号(Book cipher) メッシュ暗号(Mesh cipher) プレイフェア暗号(Playfair cipher) ADFGVX暗号(ADFGVX cipher) M-94(CSP-488) M-209(CSP-1500) エニグマ(Enigma) パープル暗号 (Purple Code) タイペックス (Typex)/シガバ (Sigaba) ナヴァホ暗号(Navajo Code) DES暗号 RSA暗号
プレイフェア暗号(Playfair cipher) プレイフェア暗号はイギリス人サー・チャールズ・ホイートストン(Sir Charles Wheatstone)により開発されライアン・プレイフェア(Lyon Playfair)が普及させました。プレイフェア暗号を用いて暗号化するとき、まずキーワードまたはキーフレーズをあらかじめ決めておきます。仮にキーワードをPlayfairとします。次にこのキーワードをアルファベットが重複することなく下の5×5の表に入れていきます。
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