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August 4, 2011 Abstract P. Diaconis cut-o↵ 1 d 1, 2, · · · , d 1 i1 2 i2 · · · 1, 2, · · · , d ⇡ : {1, 2, · · · , d} ! {1, 2, · · · , d} ⇡ ⇡(1) = i1, ⇡(2) = i2, · · · , ⇡(d) = id ⇡ = ✓ 1 2 · · · d i1 i2 · · · id ◆ (1.1) ⇡ : {1, 2, · · · , d} d Sd Sd d! Sd d = 3 ⇡ = ✓ 1 2 3 2 3 1 ◆ , ⌧ = ✓ 1 2 3 1 3 2 ◆ ⌧ ⇡ ⇡ ⌧ ⌧⇡ ⌧⇡ = ✓ 1 2 3 3 2 1 ◆ , ⇡⌧ = ✓ 1 2 3 2 1 3 ◆ ⌧⇡ 6= ⇡⌧ (⇡1⇡2)⇡3 = ⇡1(⇡2⇡3) d 1 ～ ⇡ (1.1

伊藤清（1915-2008） 京都大学名誉教授(1979-2008) 日本学士院会員(1991-2008) 理学博士(東京帝国大学1945) 伊藤清博士は、確率論の先駆者の一人であり、伊藤解析の創始者である。 最初1942年に日本語で発表された確率微分方程式論は画期的な業績であり、 これによって非決定論的でランダムな時間発展の記述が可能となった。いわゆる伊藤の公式は、 数学の諸分野に留まらず、例えば、物理学においては共形場理論、 工学においては制御理論、生物学においては集団遺伝学などに、さらに近年では、 経済学における数理ファイナンスに至るまで広範に応用されている。 米国科学アカデミー（NAS）の記事を引用しよう。 ピタゴラスの定理は別格として、 「伊藤の補題」(Ito's Lemma)以上に世界中に知れ渡り応用されている数学の成果は思い浮ばない。 この成果は、 古典解析におけるニュートン

606-8502 okamoto@kurims.kyoto-u.ac.jp . , , , . , . , , . . 100 , 99 . , 99 100 . , . . . , [?, ?, ?] . , . , , . , . . . . , . 1 Euler— Everything, even the obvious, is earned with hard thinking by some pioneering genius. —Paul J. Nahin[?], (42 ). Newton Euler , . — [?], (177 ). In the early eighteenth century, functional notation was used only in very limited cir- cumstances. —Cannon & Dostrovsk