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sin tan cos 三角関数の公式の確認 ★ 加法定理から発展できるようにしよう 正弦・余弦の加法定理 sin sin cos cos sin (咲いたコスモス,コスモス咲いた) cos cos cos sin sin (コスモスコスモス,咲いた咲いた) 正接の加法定理 sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin 分母分子を cos cos でわると tan tan tan 1 tan tan 2倍角の公式 sin 2 2sin cos この要領でほかの 正接の公
「高校生のための不動点定理」 北海道札幌国際情報高等学校 和 田 文 興 はじめに 第 14 回北海道高等学校数学コンテストの第 5 問に、 「縮小写像の不動点定理」を題材にした問題を出題し ました。問題の背景にあるこの定理の1次元の場合を、高校生の読み物としてプリントにしましたので紹介 します。 十年くらい前に北海道算数数学教育会高等学校部会第 59 回大会で発表したものとは違った方法をと り、証明を工夫して高校生向けにしました。また,高校生が自習用としても学べるように、単に「定義」 , 「定 理」 、 「証明」の羅列ではなく、例題や練習、問題も取り入れて、理解しやすいようにしたつもりです。 =========== 以下は高校生の読み物としてつくったプリントです ============ 縮小写像の不動点定理 ここでは、 「帰納的に定義された数列の極限値を求める方法」の背後にある定理につ
1.折り紙と2次方程式1.1 等比中項 正数a,bの等比中項は,点Qを支点として点Eが直線l2上にくるように折ったとき直線lとの交点として得られます. ただし,EO=a,OQ=b,直線l2は直線lに関して直線l1と線対称とします. 1.2 方程式x2=a(a>0)の解 EO=1として,上と同様の方法で求めることができます.(図2) ただし,点Eをl2にのせる折り方は2通り考えられ,解は2つ存在することが分かります. (別紙「平方根を作図する」=数学玉手箱=早苗雅史(札幌稲北高校)参照) 1.3 方程式x2-ax-b=0 の解 図3のように,点Q(b,a)をとりQを支点として点Eが直線l2にのるように折ると線分EP,EP’と直線xとの交点が求める解になります. このことは,点H(0,p)とすると,直線HQの方程式は x=-t/p+p であり,点Q(b,a)を通ることから a=-1/p×b+p
実数や複素数の世界では存在しない,零因子。ところが、行列の世界では、因数分解ができても零因子が存在する。いったい零因子とは何か。基本的な定義から零因子の持つ不思議な魅力に迫る。 行列における零因子の構造 @Author Korenori.Oguri @Version 1.20;3.Aug.2002 「行列における零因子とはいかなる構造をしているか」という生徒からの質問に応えるか。線型代数学における『零因子』研究をまとめ上げる。 n次行列環の左・右・可換零因子について @Author Makio.Harada @Version 1.00;10.Jan.2003 n次行列環の線形部分空間の次元という観点から,行列の左・右・可換零因子の全貌を,実践的計算手法も含めて解明しています。 行列方程式の解法について ~可換零因子の存在と一意性 @Author Korenori.Oguri @Ver
ピタゴラス数 三平方の定理 a2 + b2 = c2 を成り立たせる自然数の組をピタゴラス数といいます。よく知られているのは, (a, b, c) = (3, 4, 5), (5, 12, 13) などでしょうか。このピタゴラス数を一般的に求める式を考えてみましょう。次のような直角三角形を考えます。 ここで倍角の公式を用いて t = tan θ/2(0 <θ< 90°より 0 < t < 1)とおくと …① ここで,1 + tan2θ = 1 / cos2 より ∴ …② sin2θ= 1 - cos2θより ∴ …③ ①②③より, a = k(1 - t2) ,b = k・2t ,c = k(1 + t2) …④ a, b, cは自然数なので t は有理数とならなくてはなりません。よって t = n / m …⑤ とおくことができます。ここでm, n は互いに素であり,0
3 与えられた正方形の1/nの面積をもつ正方形 与えられた正方形のの面積をもつ正方形を折り出すことをテーマに話を進めたいと思います。 そのために、まず辺のn等分について考えることにします。このことについてはどうしてもオリガミクス45で有名な「芳賀の定理6」について触れる必要があります。(この定理は折り紙の世界にも大きな影響を及ぼしました。私自身もこの定理により長年の課題が解決したものがあります) 3.1 芳賀の定理 現在では、第1定理から第3定理までありますが、第一定理に主として触れたいと思います。
3種類の図形の体積の比は見事に 1:2:3 となっていますね。見方を変えれば円錐と球を合わせれば,円柱の体積になるともいえます。 今度は表面積を考えてみましょう。球の表面積はおなじみですが,円錐と円柱の面積は少し面倒です。 まずは円柱の表面積を求めてみましょう。円柱は側面積と上下の2つに円の面積を足せばよいので, S=2r×2πr+2×πr2 =4πr2+2πr2 =6πr2 次に円錐の表面積を考えます。円錐の母線の長さは,三平方の定理よりrですから, S=1/2×r×2πr+πr2 =(+1)πr2
はじめに 1959年に「二つの文化」1)という講演の中でスノー(Snow, C. P.)は、「イングランドで知識人は人文と自然科学の二つのグループに分かれ、お互いに他方を理解するのが困難になり、同じ英語を語っているにも関わらず、コミュニケーションが殆どない」と論じた。彼はこの二つの文化の間に「橋を架ける」必要があると感じてこの講演で問題提起をしたのである。以来40年が経ったが、この二つの文化の間の溝は埋められるどころかますます広がっていくように見える。しかもこの二つの文化現象は、イギリスのみならず、日本を含めた全世界において認められる。 この「二つの文化」の存在を認める学者の多くはこれを教育の問題として捉え、教育、特に一般教育を通して改善がはかられると期待した。例えば科学者のあいだには文科系学生の科学教育により、この「二つの文化」間の溝を埋めようとする試みもあったが、顕著な成功があったとは
数学史の一端として~記号の話 北海道八雲高等学校 吉田 奏介 「空集合の記号はφ(ファイ)ではない。 」 といわれて、そうだねと思う人もいれば、えっそうなの?と思う人もいるだろう。自分は 恥ずかしながら後者だったわけなのだが、じゃあ何なのかということは何もかかれてはい ない。教科書によってはささやかなコラムのようなもので記号について説明していること もあるが、一般の教科書では「Σ」や「!」を誰が何故その記号を用いたのかにふれるこ とは少ない。しかし、このことを数学史への興味関心につなげられないだろうか。現在、 数学史は単元の表紙などに出てくるが、あまり深い話のものでもなく、数学を勉強したも のにとっては著名であるガロアやオイラーなどが出てきても、生徒にとってはなじみのう すいものである。そこで生徒にもなじみがあって、それでいて歴史を持っているもの、 「記 号」から数学史を感じさせるのもよい
三角形の五心 三角形における内心,外心,重心の3つは中学校からおなじみですね。これに垂心,傍心を加えて“三角形の五心”といいます。 【内心】 △ABCにおいて,3つの角の2等分線が交わる点を内心といいます。内心を中心とし,内心Iから3辺に下ろした垂線の足までの長さを半径とする円を内心円といいます。 【外心】 △ABCにおいて,3つに辺の垂直2等分線が交わる点を外心といいます。外心Oを中心とし,外心Oと各頂点までの長さを半径とする円を外接円といいます。 【重心】 三角形ABCにおいて,3つの辺の中点とその辺が向かい合う点をそれぞれ結ぶ(これを中線といいます)と1点で交わります。この点を三角形の重心といいます。重心は各中線を2:1の比に内分します。
2 垂線CHの長さに着目した証明 (5 普通の証明(2)の変形) 角Aが鋭角,角Bも鋭角の場合 △ABCの外接円の中心は、各辺の垂直二等分線の交線であることを用いて CD=a/2 OD⊥CD 円周角と中心角の関係から ∠A=∠COD 以上より △CAHと△CODは相似だから b:CH=R:a/2 CH=bsinAとして変形して a=2RsinA 注①CH=asinB としてもよい 注②sinA=sin∠COD=CD/CO としてもよい。 注③COを延長して円周との交点をEとする するとおなじみの図。この時も△CAHと△CEBとが相似で同様にできる。 角Aが鋭角,角Bが鈍角の場合 Bが鈍角でも左のように考えるとCH=bsinA となり上の場合と同じことになる。 注④CH=asin(180°-B)でもよい。 注⑤sinA=sin∠COD=CD/CO としてもよい 3 中心原点、半径Rの円を用
以前、数実研で重複組合せの指導の一例を、レポートとしてまとめ発表したことがあります(「数学のいずみ」の中に収められていると思いますが)。同次積とみるのではなく、組合せの応用と捉えて 順序組分配法 丸棒分配法 仕切り分配法 といった方法で、過去の教科書の指導法と併せてまとめたものでした。 ところで、この内容について、後に菅原先生(藻岩高校)と数実研の懇親会で四方山談義をしていたときに、先生から、「経路として考える方法もありますね」と指摘されたことがあります。最短経路問題は、組合せの代表的なものですが、そもそも最短経路の問題を重複組合せの定義として説明しているS社の参考書もありますから、これを触れないのはやはり片手落ちでした。実はレポートをまとめたときは「並べ方」の方法および「基準数」の求め方に論点を置いてしまったために、経路による方法はまったく頭の中に思いつかなかったのです。 しかし、実際に
はじめに 平成10年度2年生の「数学B」を3年ぶりに担当して4か月経ちました。 新学期は「第1章 ベクトル」から授業を開始。ベクトルの「内積の定義」が,生徒にとっては難しく感じられ「定義」がスーッと頭に入っていかないようでした。 生徒にとって「内積の定義」をわかりやすく導入するには,どうしたらよいかその方法を考えてみました。来年(平成11年)度の「数学B」の教科書を10冊参考にしました。 数学B (知研出版)改訂版 数学B (数研出版)新数学B (第一学習社)新編 数学B (文英堂)新版 数学B (実教出版)新編 数学B (東京書籍)数学B (東京書籍)数学B [改訂版] (旺文社)探求 数学B (数研出版)新編 数学B (第一学習社) 導入その1 (唐突な感じ…) 2つのベクトル,に対して をとの内積といい記号でと書く。 これを内積の定義とする導入方法は,唐突な感じをうけ生徒にとってチ
○分数×分数=分数-分数? <先 生> 今日は、最初に「かず遊び」をちょっとしてみようか。 なる分数の面白い性質として、 のように分解することができる。2つの分数の積が2つの分数の差と同じ値になるということだ。右辺を通分することで簡単に確認できるだろう。それでは同様に考えると、 ① ② はどう分解できるだろうか。 <まなぶ> はい、① ,② でしょうか。 <よしお> ②はおかしいよ。右辺を通分すると だから左辺と一致しないだろう。 <先 生> その通り。安易に差の形に分解できるわけではない。②の場合は、さらに分子の3を1に変えるために を掛けておく必要がある。従って、 となる。では、いったいどういうときに、単純に積の値が差の値と一致するのだろうか。 <かず子> 右辺を通分したときに、分子の値が1になっていれば問題ないわけですから、 より左辺の分母にある2数の差が1のときだと思います。
同じ誕生日のいる人の確率 クラスの中に同じ誕生日の人が1組ぐらい案外いたりしますよね。それが男の子と女の子の組合せだったりすると,これはきっと赤い糸で結ばれているに違いないと勘違いする人もいます!? さてそんな同じ誕生日のいる人の確率を求めてみましょう。(1年は365日として考えましょう) そのために,まず誕生日が異なる確率を考えます。2人の場合は,1人の誕生日に対して2人目の誕生日は残りの日だと考えると,2人の誕生日が異なる確率は 364/365 3人のときは先ほどの2人と異なればよいので 364/365×363/365 このようにしていけば何人でも計算できます。そして,少なくとも2人の誕生日が一致するのは「全ての人の誕生日が異なる」の反対(余事象)ですから,100%,即ち1からこの確率をひけばよいことになります。
☆HOME☆ ☆数学のいずみ☆ 高校生のための暗号論入門 @Author MASASI.Sanae @Version 1.04;2003.1.22 0.はじめに インターネットの普及に伴って,ネット上における情報の機密保持,改ざん防止の方法として公開鍵暗号方式が注目を集めている。公開鍵方式の中でも最も普及しているのがRSA暗号と呼ばれるものである。 この理論には基本的でかつ魅力的な数学の整数に関する理論が用いられている。高校数学レベルでも理解できる数学をもとに,暗号論の魅力を少しでも知っていただきたいと思う。 1.素数 1_1 素数・合成数 整数a(a≠1)が1とa以外に約数をもたないときaを素数という。また素数でない整数を合成数という。(素数一覧参照) (例)7,11は素数。 12=22・3は合成数。 1_2 素数判定アルゴリズム 素数を完全に定義する式が存在することは証明されていない
教科書に入る前にこのプリントを積分入門として実施しました(65分×2.5)。ねらいは、積分の大局的考え方(①積分とは何か.②積分の演算.③積分記号の意味.)を知ることです。生徒からは「最初に積分と聞いたとき難しそうだなと思ったが、意外と簡単だった。」などの感想が出されました。その後、教科書を問題集感覚で扱いました。
「全身を真綿でくるみ、さらにホウタイでぐるぐる巻きにして、真夏でも閉めきった部屋の中で思索した」(フーリエ自伝より)。若くして「フーリエ級数」を発表したフーリエは、数学者であると同時に、エジプト文明の研究に熱中した考古学者でもありました。猛暑の中で研究すると、スムースに研究がはかどるという彼の奇人ぶりはとても徹底していたようです。 さて、そんな彼が発見した「同じ周期を持つ波はどんなに複雑なものでも単純な波の合成である」という事柄をコンピュータを用いてシミュレートしてみましょう。 非常に複雑に見える事柄でも、コンピュータを用いれば少しは簡単に見えることがあります。そんな1つのテーマとして「フーリエ級数」を選んでみました。フーリエの発見したフーリエ級数の式と展開式は というとても難しい式をしています。この式の持つ意味が短時間で理解でき、最後に身近に感じれるものとなればよいのですが。 なお、この
限界効用逓減の法則 簡単な経済の勉強をしましょう.買い物をするとき,私たちは自分の必要性や好みにしたがって行います.このとき私たちは,どのような原理にもとづいて自分が購入する商品(経済では 財 といいます)を決めているでしょう. とても今ピザが食べたい,とします.一枚目のピザはおなかの減っている私にはとても貴重な存在です.しかし2枚目,3枚目(そんなには食べませんが)となると,ピザの価値は下がっていきます. このように,一般に人々が手に入れる商品の数が増えていくと,その商品が増えたときに感じる満足度はだんだん減っていくことになります. このとき経済学では商品を売って得られる満足度を「効用」,商品が一つ増えたときの満足度を「限界効用」といいます.そして先ほど見たように,商品が増えたときに感じる満足度がだんだん減っていくことを「限界効用逓減(ていげん)の法則」といいます. いま,2つの商品A,
確率の順列・組合せの中でも「重複組合せ」は教える側にも教わる側にもやっかいな問題ではある。公式としては、 で済んで(済ませて)しまうが、具体例での説明からこの公式への結びつきがしにくく、演習問題になると使い方さえ分からなくなってしまう。 教科書の扱いもしたがってずいぶん苦労しているようで今回の指導要領では(研究問題として載せてあり)扱われなくなってしまった。しかし、傍用問題集などをみると触れているものも多く、場合の数の求め方の基本が「要領いい数えあげ」という結論になるなら組合せの応用として重複組合せはもちろん出題されるわけである。ではその実際の指導法はというとやはり難しい。そこで、教科書で扱われていたものも含めてすこし考察してみよう。 まず、昭和50年台に教科書で扱われていた解法を示そう。 順序組分配法 たとえば1,1,3を選んだ場合を(1,1,3)と組で表す。このとき、(a,b,c)をa
無理数であるの値は近似式で求められます。あるいは手元に電卓があるのなら、ちょっとキーを叩いてみれば済むことです。ただ、近似式は小数第何位かで狂いが生じ、また電卓はディスプレイの表示桁数に限界があります。 しかし開平法(平方根を求める方法)では、に限りなく近い値を求めることが可能なのです。 例 を開平してみましょう。 529=(10a+b)2=100a2+20ab+b2 とみると、102<529<104ですから、529は2桁の数です。そこで一の位が0である2桁の数の平方で529に一番近い数を求めると、20が得られます。次にとおき、両辺を平方します。529=400+40b+b2よりb=3が分かりとなり開平できました。 問 を開平してください。 では、この計算の仕組みを考えてみましょう。 2桁の整数xは、x=10a+b(1≦a≦9,0≦b≦9)と表せます。 x2=100a2+20ab+b2 より
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