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二項分布の復習 まず簡単に, 二項分布の復習を行なう. 二項分布を理解している人は読み飛ばしてもらって構わない. 1回の試行によって事象 \( A \) が生じる確率を \( p \) , 事象 \( A \) が生じない( \( A \) の余事象 \( \bar{A} \) が生じる)確率を \( q=1-p \) とする. \( n \) 回の独立試行を行った結果, 事象 \( A \) が生じる回数を(離散型)確率変数 \( X \) としたときに \( X \) が従う分布を二項分布といい, 記号 \( B(n, p) \) であらわす. 二項分布 \( B(n, p) \) に従う確率変数 \( X \) が \( X=k \) となる確率 \( P^{\prime}(X=k) \) は次式で与えられる. \[\begin{aligned} P^{\prime}(X=k) &=

ベクトルを表記するとき、高校では矢印の記号 \( \to \) を用いる。物理量 \( a \) がベクトル量であることを表す場合は、 \( \va*{a} \) といった具合である。 一方、一般的な理工学書ではベクトルをアルファベットを太字にすることでベクトルを表現することが多く、 \( \vb*{a} \) といった具合である。 太字のアルファベットを実際に手書きするときは、通常のアルファベットに縦線を加えて二重線を含んだアルファベットで太字を表現する。アルファベットのどこを二重線にして太字を表現するのかは様々な流儀があるようで、太字を表していることが読み手に伝わればよい [1]もし取り決めが既にあるというような情報をご存知の方はお知らせ下さい。。 太字の書き方の一例についてはThe Feynman Lectures on Physicsでも紹介されている。（ファインマンによる太字のベ

偏微分 2変数関数の偏微分 2つの独立変数 \( x \) , \( y \) を持つ関数 \( z=f(x, y) \) について, 変数 \( y \) を変化させることなく固定して変数 \( x \) だけについて \( f \) を微分することを, \( f \) の \( x \) に関する偏微分という. そして, 関数 \( z=f(x, y) \) 上の点 \( \qty( a, b ) \) の周囲が十分になめらかであり, \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h, b) – f(a, b)}{h} \] が極限値を持つとき, 関数 \( f(x, y) \) は点 \( \qty( a, b ) \) で \( x \) について偏微分可能であるといい, この極限値を偏微分係数という. \( f \) の \( \qty( a, b ) \) における

物理量の変化の法則を見つけた時にどのように解析するかについて議論します.

モーメント 回転を引き起こす能力をモーメントベクトルまたは単にモーメント(または, トルク)という. 位置 \( \vb*{r} \) の物体に力 \( \vb*{F} \) が働いている時, 力のモーメントベクトル \( \vb*{N} \) は外積を用いて次式のように定義される. \[ \vb*{N} = \vb*{r} \times \vb*{F} \] このベクトルは外積の定義により \( \vb*{r} \) から \( \vb*{F} \) の方向へ回転する右ネジの方向を向いており, 回転軸の方向と一致している. 大きさ \( N \) は外積の定義より, \[ \begin{aligned} N &= \abs{\vb*{r} \times \vb*{F} } \\ & = \abs{\vb*{r} } \abs{\vb*{F} } \sin{\theta} \\ &= r

高校物理の諸公式の導出・証明を行います。また、微分積分・ベクトルなどの数学と物理との深い関わりを知ってもらいたいと思います。

準静的断熱変化ここでは, 断熱変化の中でもその過程において常に状態方程式を適用できるような場合について考える. つまり準静的過程かつ断熱的過程について考える. 今から議論する内容の結論として, 断熱変化を表す曲線を \( P \) – \( V \) グラフに描いたものが下図である. 断熱変化では等温変化の \( P \) – \( V \) グラフに比べてその変化具合が急になっているが, この理由を今から議論する. 準静的断熱過程の \( P \) – \( V \) グラフ. 等温変化のそれに比べて傾きが急になっている.状態方程式断熱変化では状態量 \( \qty( P, V, T ) \) のうち常に一定に保たれるものは無い. しかし, 準静的過程であるということを利用して各状態量が微小に変化した時に成立する関係式を状態方程式から得ることはできる. ある平衡状態 \( \qty( P

近似 ある数 \( x \) について, 記号 \( \ll \) （非常に小なり)を用いて \[ \abs{x } \ll 1 \notag \] と表した場合, \( x^2 \) が \( 1^2 \) に比べて無視できることを意味する. つまり, \( \abs{x } \ll 1 \) のもとでは, \( 1 + x^2 \) は \( 1 \) とみなしてよく, 次式のように表現する. \[ 1 + x^2 \approx 1 \notag \] ここで, \( \approx \) は左辺と右辺がほぼ等しいことを意味する数学記号である. 日本では \( \fallingdotseq \) という記号がこれと同じ意味で用いられているが, 日本だけで使われている記号である. このように, 値を持っていたとしても他の数と比べると十分に小さいならば無視する操作を近似という. 高校物理