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天文学の始まり 古代の人々にとって、天体は暦でありまた正確な時計でもありました。1日は日の出とともに始まり、日の入りによって終わります。夜空の星々の動きを見れば、時が一刻一刻と正確に刻まれていると認識されるようになります。月の形の変化を見れば、1ヵ月の経過が分かります。月日の経過とともに季節が移り替わっていき、ふたたび同じ季節がおとずれます。古代の人々も天体を観察し、太陽の運行がいろいろな自然現象と因果関係があることに気づいていました。これこそ天文学の始まりであり、科学の始まりでもありました（ 第1回 科学のはじまり 参照）。これから何回かにわたり古代の天文学のお話をするのですが、解説には現代の用語を用います。まずはその説明から始めましょう。 球の切断面 大円と小円 ボールやスイカなどの球を思い浮かべてください。球を平面で切断すると、切り口は円となります。“円”といった場合、円周を意味する

週の起源を探る 1週間の起源はヨーロッパであるとか、キリスト教の『聖書』にあるとか、古代イスラエルにあるという意見をよく聞きます。また、週は純粋に文化的なもので、天文とは関係がないという意見もあります。ここではこれについて考えてみましょう。 月は暦だった 〜 新月、上弦、満月、下弦 〜 前回のお話で、古代においては天空に輝く星が暦であり時計だったと言いましたが、古代の人にとって月も暦の一つでした。新月から次の新月までを1ヵ月とすると、1年は約12ヵ月となります。月は、新月、上弦、満月、下弦とその形を変えます。 月の満ち欠けの周期 新月から次の新月までの日数は約 29.5日です。1ヵ月を4等分するのは自然なことです。 29.5 ÷ 4 ＝ 7.375 ですから、1週間を7日とすると、月の形から曜日が判断できとても便利です。したがって、古代では多くの民族が7日ごとに区切りをつけていました。特に

完全数 ( Perfect number )とはどんな数？ 完全数とは 完全数とは、自分自身を除く約数の和となる数のことです。たとえば6の約数は 1, 2, 3, 6 で、6以外の和は 1＋2＋3＝6 となるので、6は完全数です。28 も 1＋2＋4＋7＋14 ＝ 28 となりますから完全数です。現在までに分かっている完全数は非常に少なく、7桁以内の完全数は6, 28, 496, 8128の4つしかありません。 全て偶数？完全数の未解決問題 完全数は古代から現代にいたるまで数々の数学者の研究対象となってきましたが、現在でも解明されていない問題がたくさんあります。「奇数の完全数は存在するのか？」「偶数の完全数は無数に存在するのか？」などは未だ解明されていません。 完全数はいくつある？ 8128の次は？ 完全数は古代ギリシアのピタゴラス学派が大切にした数の一つです。ピタゴラスが知っていた完全数

自己言及のパラドックスとは？ パラドックスとは「逆説」「背理」「矛盾」などを意味する言葉です。パラドックスは数学や哲学の分野において、長い間議論されてきました。今回は自己言及のパラドックス として有名な 嘘つきのパラドックス 「クレタ人のパラドックス」のお話をご紹介しましょう。 クレタ島は地中海に浮かぶギリシアの島で、ギリシアの昔話にもよく出てくる有名な島です。ある時、古代ギリシアの七賢人の一人、エピメニデスが「クレタ人は嘘つきだ」と言いました。この言葉だけを取り出して見た場合、何も問題はありません。しかしここでポイントとなるのは、エピメニデス自身がクレタ人だということです。 この発言内容を以下の二つの場合に分けて見てみましょう。 ◆クレタ人は嘘つきだと仮定する 「クレタ人は嘘つきだ」と仮定すると、エピメニデスの発言内容は嘘ということになります。エピメニデスは「クレタ人は嘘つきだ」と言って

前回のお話 前回はピタゴラスの生まれた時代背景、そしてピタゴラスが誰と出会い、どのような影響を受け、思想を固めていったのかを述べました。今回はピタゴラス学派が『数(整数)』についてどのように考えていたかについてのエピソードをご紹介します。 音の調和と整数比 あるとき、ピタゴラスはとある村はずれを歩いていました。すると、遠くの鍛冶屋から槌打つ音が聞こえてきました。何か霊的な力に導かれるように、ゆっくりと近づいて静かに聞き入ります。トンテンカン、トンテンカンと、音がリズミカルに響きます。聞いていると、いくつかの異なる音のうちあるものが美しく調和するのに気が付きました。すぐに教団に帰ると、モノコードと呼ばれる一弦の楽器を取り出し、研究を始めました。モノコードの駒を調整し、弦を2つの部分に分け奏(かな)でました。すると、弦の2つの長さが整数の比となった時に美しい和音が鳴り響いたのです。長さの比が2

何千年も語り継がれる偉人のお話 今回は“ちょっとひといき・数学コラム”と題しまして、『三平方の定理』でおなじみのピタゴラスについてのお話です。ピタゴラス※は世界中の人が知っている有名な偉人の一人です。ヨーロッパでは、少し前までは子供たちの本などによく書かれていましたが、最近ではそもそも偉人伝の人気がなくなったせいもあり、あまり取り上げられなくなっています。最近では、歴史的事実かとか、後世の創作ではないかなどといったことが話題になっていますが、2千5百年以上も長きに渡って語り継がれてきたこと自体が歴史だと思われます。そして数学の歴史の中からこういった“お話”がなくなってしまうのは少し寂しい気がします。古代ギリシアの数学者・哲学者のピタゴラスについて、どのように語り継がれてきたのかをみてみましょう。 ピタゴラスが生まれた頃のギリシア世界 まず、ピタゴラスが生まれたころのギリシア世界の地理と時代

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…このように並んだ数字にどのような規則があるかわかりますか？この数列はフィボナッチ数列と呼ばれています。フィボナッチ数列は入試問題などにも登場することがあるので、数字の並びを見てすぐにピンときた方もいるのではないでしょうか。今回は不思議な性質を持つこの数列について調べてみましょう。 フィボナッチ数列にはどのような規則があるか 次のような数列をフィボナッチ数列といいます。 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … フィボナッチ数列は「前の2項の和が次の項になる」という規則性をもっています。例えば最初に現れる3つの項を見てみると、1 + 1 = 2 となっています。同様に2項目から3つの項は、1 + 2 = 3、3項目から3つの項は、2 + 3

黄金比とは 人間が最も美しいと感じる比率とされてる黄金比。美術や商業デザインにも取り入れられることが多く、皆さんも一度は「黄金比」という言葉を耳にしたことがあるのではないでしょうか。そもそも黄金比とはどのようなものなのでしょうか。 線分 AB を点 C で2 つに分割します（図1）。AC が CB より短いとします。ACの長さを a、CB の長さを b とします。線分 AB を次を満たすように点 Cで分割する分割のしかたを黄金分割 といいます。 短い方 : 長い方 = 長い方 : 全体 式で表すと以下のようになります。 a : b = b : a + b　　　　　　　　　　　( 1 ) ( 1 ) を満たすa : b を黄金比といい、b / aを黄金率と呼びます。（ b / a の逆数 a / b を黄金率と呼ぶこともあります。）黄金率はよくギリシア文字 φふぁいで表されます。 黄金比の計

古代の人々の生活 現在の私たちはカレンダーどおりに規則正しい生活を送っています。土日は学校や会社は休みで、月曜日から金曜日までは仕事に出かける人が多いでしょう。年末にはクリスマスがあり、年始には正月があります。また、学校の授業の時間も午前何時から午後何時までと決まっています。古代ではどうだったのでしょう。古代オリエントのバビロニア地方を見てみましょう。 古代の人はどのように季節や日時を知ったのか 書記の学校の生活 紀元前2000年頃のバビロニアではすでに文学作品が書かれるようになっていて、そこには、読み書きや数学を学ぶ子供たちの“書記の学校”の様子が次のように描かれています。「朝早く僕を起こしてください。遅刻できないのです。遅刻すると先生にムチで叩かれます。」 このように役人（書記）になろうとする少年たちは書記学校へ通っていました。4日学校へ行って1日休みです。1ヵ月30日のうち 24日学

シュメール地方の太陰太陽暦 ジグラットとは何か 太陰太陽暦はメソポタミア文明の発祥地シュメール地方で生まれました。どのような環境下で、どのようにして生まれたかを見てみましょう。シュメールは、チグリス・ユーフラテス川の下流域にあり降雨量は少ないのですが、沖積土が広がり大規模な灌漑農業が可能でした。しだいに人々が集まり、紀元前4000年頃に集落が飛躍的に増大し、都市国家へと発展していきます。チグリス・ユーフラテス川はたびたび洪水を起こすので人々は小高い高台に集落を作りました。住居や神殿は日干しレンガで作られており、古くなって崩れ落ちるとそれをならしてその上にまた住居を立てます。時代が経つにつれて都市の標高はしだいに高くなっていきました。このような都市址(あと)を「テル（遺丘）」といいます。テルは、地層のように時代ごとの層になっているので、歴史の変遷を研究するのに好都合です。 紀元前3000年ぐ

現代の暦の起源、エジプト暦 現在私たちが使っている暦はグレゴリオ暦と呼ばれる暦で、そのくるいは1万年にわずか3日という精度です。グレゴリオ暦はユリウス暦を改良したものです。ユリウス暦とは1年を 365日とし、4年に1回1年を366日とする閏年を設ける暦です。つまり、数学的にいうと1年を 365.25日とする暦のことです。これだけ聞くとたいしたことなさそうに思えるかもしれません。これは、4年間の日数を数えて、365×4＋1日だったというだけのことではありません。当時はたいした観測機器などなく目視ですから、4年間日数を数えたとしても誤差が出ます。十分大目に見て、4年間で 0.1日の誤差としても、40年経てば1日の誤差となってしまいます。しかしユリウス暦の誤差は、100年に1日未満という精確さなのです。観測技術は、ガリレオが望遠鏡を発明するまで基本的には変わっていません。この精度を達成したのは古

ヨーロッパの歴史は古代ギリシア・ローマ時代に始まる、つまりギリシア・ローマ時代は“ヨーロッパの歴史の古代だ”、というのが現代のヨーロッパの人たちのおおかたの意見だと思います。実際ヨーロッパ文明の基盤となる文芸、美術、彫刻、建築、哲学などの多くのものがギリシア時代に生まれ花開きました。ギリシア文明は広範囲にわたるので、概要についてさえ述べるゆとりはありませんから、ここではギリシアの暦に関することだけに話を限ることにします。まずごく簡単にギリシアを含む東地中海の歴史を見てみましょう。 東地中海の歴史 前1200年のカタストロフ 紀元前13世紀から前12世紀にかけて、東地中海一帯は未曽(みぞ)有(う)の大混乱に陥ります。歴史学者はこれを「前1200年のカタストロフ」と呼んでいます。ギリシア本土もこの混乱に巻き込まれます。交易ネットワークの喪失は経済的沈滞を招き、経済的沈滞は文化的停滞を引き起こし

本連載ではこれまでメソポタミア、古代エジプト、古代ローマ、古代ギリシアの暦について述べてきました。しかしオリエントにはまだまだ多くの国が存在していました。地理は2次元で、歴史はさらに時間軸の1次元が加わります。それに対し文章は1次元で、ある国に対し時間軸に沿って述べているとき他の国については触れることができません。専門外のものにとって、ただでさえ多くの国や民族が出てきてうんざりするのに、複雑な国際関係が絡み合うともうお手上げです。ここではオリエントの歴史の中で暦に関することだけかぎり、ごく簡単に説明することにします。 オリエントの歴史 バビロンの捕囚 ギリシアが発展を始めようとしているとき、メソポタミアではアッシリアが大国に成長し、一時バビロニアを支配しますがやがて衰退していきます。バビロニアでは新バビロニア王朝が興ります。新バビロニアはアッシリアと同じ帝国主義でした。東地中海沿岸の諸王国

現在の日本の社会は、正確な時間どおりのスケジュールで動いています。学校や会社やお店の始まる時間や終わる時間はしっかり決まっていますし、日本の交通機関ほど時間に正確なところは世界でも珍しいようです。しかしほんの200年前、江戸時代には時計などなく、お寺の鐘でのんびりと暮らしていたようです。夏は日が短く冬は長かったので、夏と冬では時間の進み方が違いました。これを季節時間といい、現在のように季節にかかわらず一定の間隔で刻まれる時間を「定時制」といいます。少し古い歴史では、古代はみな季節時間で、メソポタミアやエジプトも季節時間だと考えられていました。しかし、一般の人たちは時間で生活していましたが、天文学者は定時制を認識していたようです。今回は「古代の時間」について詳しく見てみましょう。 古代バビロニアの時間 時計としての星座 〔2.星座は暦で時計だった〕で、古代メソポタミアでは、星座が暦であっ

西ローマ帝国は滅びましたが、キリスト教は生き延びました。生き延びるどころか、ヨーロッパ全土に勢力を伸ばしていきます。そのとき強力な手段となったのが暦です。中世ヨーロッパで用いられていた暦は太陽暦（ユリウス暦）ですが、太陽暦は月の満ち欠けは反映していません。しかしキリスト教における大切な復活祭は満月の日でなければならないと定められていました。月の満ち欠けを反映していない太陽暦で、どのようにして満月の日（復活祭）を決定したのでしょうか。また、〔7.ギリシアの暦〕で古典期のギリシアではメトン周期は用いられなかったことを見ました。ではどうして「メトン周期」という名が歴史上長く伝えられてきたのでしょうか。今回は中世ヨーロッパで行われてきた暦の編纂について調べてみましょう。 中世ヨーロッパのキリスト教 暗黒時代 ローマ帝国は、395年に東西に分裂し、西ローマ帝国はわずか100年後、479年に滅びます

12世紀から16世紀にかけてヨーロッパは大きく変化します。この時代は、知的離陸の時代、ルネサンス（文芸復興）などと呼ばれることがあります。しかし数学を含む科学技術の進歩はとても緩やかで、この時期は来たるべき科学革命の時代の準備期間です。ここでは文化の発展と暦に着目し、アルマナック（暦書）がどのように広まっていったのか、人々の時間に対する認識はどのように変化していったのかを見てみましょう。 ルネサンスと呼ばれる時代 閉ざされた世界からの解放 12世紀までは地中海航路はイスラーム勢力に独占されていました。12世紀から十字軍の遠征が始まり、これによって地中海貿易が盛んとなり、イタリアに繁栄をもたらすことになります。十字軍がオリエントからの文化の伝達に好ましい影響を与えたかどうかについては意見が分かれています。文化や学問の伝達経路は十字軍によって破壊されたが、西洋ラテン世界における学問の復活は十字

グレゴリオ暦はすんなりと受け入れられたのではありません。1582年にこの暦が設定されてから、世界中に広まるまでに非常に長い年月がかかっているのです。1789年にフランス革命が勃発すると、革命政府は暦法の改革に力を入れ、革命暦を制定しました。これはどのような暦だったのでしょうか。 暦は、度量衡と同様に文化に密接に関連しています。また数学の進歩・発展に大きくかかわっています。世界がグレゴリオ暦の受用にどのように関わってきたかを見てみましょう。 グローバル化の影響 地域による受け入れ方の違い おりしもヨーロッパ各地では宗教改革の嵐が吹きすさんでいました。グレゴリオ暦はローマ教皇の教権を持って行われたので、カトリック系の多い西ヨーロッパ諸国は17世紀までにほぼ採用されました。しかしカトリックに反旗をひるがえすプロテスタントの勢力が強い国や地域ではローマ教皇の定めた暦など認めるはずがありません。熱烈

時代小説とかコミックを読むと、時刻や季節の記述が出てきます。日本では時刻や季節をどのように扱ってきたのでしょうか。今回のお話では日本の暦法と時刻法について詳しく見てみましょう。太陰暦に季節を反映させるために取り入れられた二十四節気とはどのようなものだったのでしょうか。 日本の時刻 十二辰刻制から定時制へ 明治5年明治政府は、新しい暦法を布告した同じ日に、時刻法を従来の1日十二辰刻しんこく制から、1日24時間の定時制に切り替えることを布告しました。ここでまず用語の説明をしておきます。“辰”という漢字は“時”という意味を持っていて、“辰刻しんこく”とは“時刻”のことです。“定時制”とは“絶対時間”をあらわし、“不定時制”は季節によって長さが変化する時法です。以下暦法や時法や記数法において「日本では」と書きますが、これらのほとんどは中国からきたものです。 暦に用いられる12進法：十二支 日本の記

自然科学のはじまり バビロニア文明とは 天文学も数学と同様、ギリシアが源流とされています。しかし、どんな文明もそれ以前の文明の影響を受けて発展するものです。最近では、ギリシアの天文学も多くをバビロニアの天文学に負っていることが分かってきました。もちろん、現代の数学はギリシア数学に多くを負っていますが、エジプトやバビロニアの影響も多いようです。ここでは古代のメソポタニアやエジプトで発達した天文学について見てみましょう。 古代メソポタミアの文明はバビロンという都市を中心に栄えたので、そこで行われた天文学や数学をバビロニア天文学、バビロニア数学と呼ぶのが一般的です。中世のヨーロッパでは、バビロニア人のことをカルディア人と呼んでいて、カルディア人とは天文学者（占星術師、数学者）という意味も持っていました。17世紀の有名な画家フェルメールの「天文学者」という絵には天球儀が描かれており、背後の壁には「

現在では世界中で暦は統一されていますが、古代では世界各地でいろいろな暦が使われていました。古代に起きた事件が実際いつころのことかとか、事件の前後関係を研究する分野を編年学といいます。そのためには標準となる暦が必要です。標準となる暦といえばやはり西暦でしょう。 しかし、この西暦にもいくつかの欠点があります。一つは、1582年にユリウス暦からグレゴリオ暦に変わったこと。また、紀元前には西暦がなかったことも欠点です。そして最も大きな欠点は、1年12ヵ月のそれぞれの月の日数が、28日、29日、30日、31日と4種類もあり、これが不規則に並んでいることです。西暦のもととなったエジプト暦は、1ヵ月すべて30日と整然としていました。これが現在のように改悪されたいきさつは〔ローマの暦〕で述べました。 通日とは何か 1月1日から通して数えた日数 日本では、通貨や度量衡の単位は昔から10進数でしたが、ヨーロッ

日本語の“こよみ”とは「日を数える」という意味です。この言葉が示すように、人類は太古の昔から日を数え、暦(こよみ)を用いていました。数学の発明は、農耕の発生とともに生まれた経済の発達が要因の一つですが、天文学（占星術）も一役買っています。また、古代では占星術は暦と一体でした。古代の人々は天体を観測することによって“数”の概念を獲得していったのです。今回は暦に現れる分数近似と、「ディオファントス近似」について解説します。 天文学に必要な分数・小数の概念 古代の人々は 365日ごとに季節が繰り返されることに気がつきましたが、正確には1年は 365日ではありません。満月から次の満月まで約30日ですが、これも正確な1ヵ月の日数ではありません。同様に1年は、正確に12回の朔望月ではないのです。これらを扱うには分数、あるいは小数の概念が必要です。バビロニア人は小数の概念を、エジプト人は分数の概念を獲得