「矛盾」の定義が高校の教科書のどこを探しても書いて無いことに気付きました。 これでは、「導かれる」(構文論)と「正しい」 (意味論)が区別できなくなって、背理法の中間結果もすべて正しく、自分は証明中の数学的内容もすべて解っていると思い込む人が多いのも仕方がないことです。 「矛盾」とは、ある命題Pに対して、「Pかつ￢P」という合成命題のことです。 よって、命題「A」の背理法の証明とは、 (公理や定義等の大前提と)「￢A」を前提として、 いくつかの(形式的)推論を重ねて、 「P」と「￢P」(または「Pかつ￢P」)を導き(構文論)、 矛盾を宣言する。 これで、[背理法の原理]により、命題「A」が定理であると保障される。 このときの、「Pかつ￢P」は恒偽命題です。 一方、直接証明では「導かれる」ものは「正しい」のですが、 これが背理法の証明中でも通用すると思っている人は、 × 「P」と「￢P」が共
