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最近、トポロジーを用いた位相幾何学がいろいろな分野で応用されていると思います(センサーネットワーク、ロボティクス、物理学、DNAや高分子など)。 トポロジーというと例えばドーナツの穴の数$g$が集合の性質を特徴づけるといったことが有名だと思いますが、こういったものを決めるのがベッチ数という数です。これはホモロジー群の次元で決まるため、ホモロジー群を計算することは位相幾何学において重要でしょう。 まずは基本概念についておさらいします。 単体 複数の点を頂点としてできる図形を単体といいます。単体には向きがあります。また、単体に含まれる点の数を次元と言います。$r$次元の単体を$r$単体と呼ぶこともあります。 例えば$(p_0p_1)$は点$p_0$から点$p_1$へ向かう線分です。 $-$をつけると向きが逆になり、 $(p_1p_0) = -(p_0p_1)$ となります。(これが負符号の定義