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ここでは、【応用】データの変換で分散はどう変わるかと同様に、データの変換によって、相関係数がどう変化するかを見ていきます。また、共分散の変化についても、あわせて見ていきます。 共分散と相関係数の復習 まずは、【基本】相関係数で見た、共分散と相関係数の定義を復習しましょう。 2組の対応するデータの値を $x_1, x_2,\cdots,x_n$ と $y_1,y_2,\cdots,y_n$ とし、それぞれの平均値を $\bar{x}$, $\bar{y}$ とします。このとき、共分散 $s_{xy}$ は次のような式で表されます。\[ s_{xy} = \frac{1}{n} \{ (x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y}) +(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y}) +\cdots +(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y}) \} \] また、それぞれの標

次の関数を微分しなさい。 (1) $y=\log_2 (x^2+1)$ (2) $y=x\log x$ (3) $y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$ まず、(1)は、底の変換を行いましょう。【基本】底の変換公式の内容より、\[ \log_2 (x^2+1)=\frac{\log (x^2+1)}{\log 2} \]となります。この分子を微分すると、合成関数の微分より \begin{eqnarray} y' &=& \frac{1}{\log 2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot (x^2+1)' \\[5pt] &=& \frac{2x}{(x^2+1)\log 2} \end{eqnarray}となります。 (2)の $y=x\log x$ は、積の微分より、 \begin{eqnarray} y' &=& (x)'\log x+x(\log x)'

文字を使った式での積の表し方（複数の文字の積） 【基本】文字を使った式の表し方（数字と文字の積）で見たように、式の中に、数字と文字の積があった場合は、 $\times$ の記号を省略して、数字のほうを先に書くのでした。例えば、 $1+x\times 3$ は、 $1+3x$ と書きます。 数字1つと文字1つとの積であればこれでいいのですが、文字が複数種類ある場合は、普通は、アルファベット順にします。例外もあるのですが、今の時点では、「基本的には、アルファベット順にする」と覚えておきましょう。例えば、 $y\times 2\times x$ であれば、 $2xy$ と表します。 文字を使った式での積の表し方（カッコのある式） カッコでくくられている式と数字との積の場合も、文字との積と同じように、掛け算の記号 $\times$ を省略します。例えば、\[ (x-1)\times 2 \]であれ

ここでは、データに定数を足したり定数を掛けたりすることによって、分散がどう変化するかを見ていきます。入試でも聞かれることがあるので、よく理解しておきましょう。 データの変換と平均値 「データの変換によって分散がどう変化するか」を見る前に、平均値がどう変化するかを見てみましょう。 データの値が $x_1, x_2, \cdots , x_n$ で、平均値を $\bar{x}$ とします。 $\bar{x}$ は次の式を満たしています（参考：【基本】データの平均値）。\[ \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n} \] さて、もし、データの値が、すべて a だけ増えたとしましょう。つまり、各 $x_k$ が $x_k+a$ になるということです。このとき、平均値はどうなるでしょうか。 これは、計算しなくてもイメージできるかもしれませんね。例えば、あるテストの平

【基本】三角比の定義（直角三角形による定義）で、$\sin$, $\cos$, $\tan$ の3つの三角比を紹介しました。これらは互いに独立した値ではなく、ある関係式を満たします。ここでは、その相互関係について見ていきます。 三角比の相互関係 直角三角形と三角比の対応は下の図の通りでしたね。 これから、 $y=r\sin\theta$ と $x=r\cos\theta$ という式が得られます。ちなみに、 $y=\sin\theta r$ とは書きません。「 $(\sin\theta)\times r$ 」なのか「 $\sin(\theta\times r)$ 」なのかがわからないからです。 さて、この2つの式を、 $\tan$ の式に入れて見ましょう。 \begin{eqnarray} \tan \theta &=& \frac{y}{x} \\[5pt] &=& \frac{r\sin

放物線の方程式から焦点や準線を求める 【基本】放物線の焦点と準線で見た通り、 $y^2=4px$ のグラフは、点 $(p,0)$ を焦点とし、直線 $x=-p$ を準線とする放物線となります。 これを踏まえて、次のような問題が出題されることが考えられます。 これは、上の式で $p=\dfrac{1}{4}$ としたものですが、焦点・準線と放物線との対応を忘れてしまうこともあるでしょう（係数の4がどこに係ってたか、そもそも係数は4だったか、など）。 そういうときは、ズルいですが、適当な点を使って簡単に計算するようにしましょう。 まず、グラフをかいてみます。原点を通ることはわかりますね。そして、 $(1,\pm1)$ を通ることもわかります。このことから、ざっくりグラフをかくと次のようになります。 放物線とは、焦点からの距離と準線からの距離が等しい点の軌跡でしたね。焦点を $(p,0)$, 準

先ほどと同じように、条件が付いている3人を〇、条件が付いていない4人を△とした場合、次のような並び方があります。 1. 〇△〇△〇△△ 2. △〇△〇△△〇 3. △〇△△〇△〇 … まだたくさんありますが、〇が隣り合わない場合というのはいろいろありそうです。先ほどと同じように、列を〇と△に分けてから並べるのは難しそうです。1番目が〇の場合、2番目が〇の場合、…と分けていくのは、場合分けが多すぎます。また、例題1の「全体から引く」方法も難しいでしょう。 実は、【標準】条件のついた並べ方（部分的に固定）で使った「条件を最後に考える」という数え方を、この問題で使うことができます。「条件の付いていない人を並べ、その後で条件のついた人を、隣り合わないように並べる」という方法です。 どういうことかというと、まず、条件の付いていない4人を並べます。 △△△△ この並べ方は $4!$ 通りですね。この状

水を入れ替える問題 【導入】行列とつるかめ算では、中学入試の問題などでよく出題される「つるかめ算」を用いて行列について考えました。他にも中学入試でよく出題されるタイプとして「食塩水の問題」がありますが、ここでは、その「食塩水の問題」を使って、行列の積（どちらも正方形タイプの行列の積）について見ていきましょう。ただ、中学入試の対策をするのがメインではないので、食塩水の代わりにもっと単純な「水を入れ替える問題」を使うことにしましょう。 コップ X, Y に、それぞれ、水が $x$ グラム、 $y$ グラムずつ入っているとします。ここで、2つの操作を考えます。 操作１：コップ X にある液体の半分をコップ Y に移す 操作２：コップ Y にある液体の半分をコップ X に移す 操作１、操作２を順番に行った後、コップ X, Y にはそれぞれどれだけの水が入っていますか。 例えば、X, Y に 120

つるかめ算の内容 つるかめ算とは、次のような問題です。中学入試、中学での連立方程式の問題、SPIなどで出題されることがあるので、見たことがある人も多いでしょう。 僕はこうした問題を見るたびに「足の数が分かってて、ツルとカメの数がわからないってどういう状況？」と思うのですが、そういうツッコミは今は置いておきましょう。 解き方はいろいろありますが、ここでは、連立方程式を使って解いてみます。ツルが $x$ 匹、カメが $y$ 匹いたとします（以下、両方とも"匹"で数えることにします）。合計で10匹いるので、\[ x+y=10 \]という式が成り立ちます。また、足の合計数が32本だとわかっています。ツルの足は2本でカメの足は4本だから、\[ 2x+4y=32 \]という式も成り立ちます。この2つが同時に成り立つので、 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l

ここでは、ベクトルの成分がわかっているときに、内積からベクトルのなす角を求める方法について見ていきます。 ベクトルの成分しかわかっていません。成分が決まれば向きが決まるので、なす角も決まるはずですが、この2つは直接にはつながりません。しかし、実はベクトルの内積によってつながるんですね。順番に考えていきましょう。 【基本】ベクトルの内積と成分で見たように、ベクトルの成分から内積が出せるのでしたね。 \begin{eqnarray} \vec{a}\cdot\vec{b} &=& 2\cdot3+(-1)\cdot 1=5 \end{eqnarray}となります。 また、【基本】ベクトルの内積で見た通り、内積は、ベクトルの大きさとなす角を使って表すこともできます。なす角を $\theta$ とおけば \begin{eqnarray} \vec{a}\cdot\vec{b} &=& |\vec{

【基本】相関係数では、相関関係の強さを見るための指標である、相関係数を紹介しました。ここでは、相関係数の値と散布図を見比べて、相関係数について理解を深めていきます。 相関係数に関する復習 【基本】相関係数にも書いていることですが、簡単に復習しましょう。「正の相関関係がある」というのは、2つのデータを比べたときに「片方が大なら、もう片方も大」という関係があることをいうのでした。また、散布図をかいたときに、点の集まりが ある直線に近い場合は「強い相関」、そうでない場合は「弱い相関」というんでしたね。 散布図からこれらを判断するというのはあいまいだし、2つの散布図を比較するときに「見て判断」というのは少々不便です。なので、相関関係の強さを見るために、「相関係数」という指標を使います。相関係数には「 $-1$ 以上 $1$ 以下の値をとる」という性質があり、 $1$ に近い場合は、「強い正の相関が

【基本】散布図では、2つのデータの関係を視覚的に把握するために、散布図や相関表が使えることを見ました。しかし、「関係があること」を、より厳密に表現できた方がいいですよね。ここでは、2つのデータの関係性を数値で表す、共分散や相関係数について見ていきます。 相関関係 散布図を見ると、2つのデータに「片方が大なら、もう片方も大」といった関係性が見える場合があります。このように、「一方が増えると、片方も増える」傾向がある場合、正の相関関係がある、といいます。正の相関があるともいいます。散布図が次のようになっていた場合、正の相関関係がある、といえます。 一方、「一方が増えると、片方が減る」傾向がある場合、負の相関関係がある、といいます。負の相関があるともいいます。散布図が次のようになっていた場合、負の相関関係がある、といえます。 また、どちらの傾向もない場合には、2つの変量の間には相関関係がないとい

(2) 次に、a, b の値を(1)の値のまま変えずに、c の値だけを変化させた。このときの頂点の移動について正しく述べたものを、次の 0～3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{イ}$ 0: 最初の位置から移動しない。 1: x 軸方向に移動する。 2: y 軸方向に移動する。 3: 原点を中心として回転移動する。 (3) また、b, c の値を(1)の値のまま変えずに、a の値だけをグラフが下に凸の状態を維持するように変化させた。このとき、頂点は、 $a=\dfrac{b^2}{4c}$ のときは $\myBox{ウ}$ にあり、 それ以外のときは $\myBox{エ}$ を移動した。 $\myBox{ウ}$, $\myBox{エ}$ に当てはまるものを、次の 0～8 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。 0: 原点 1: x 軸上 2: y 軸上 3: 第３象限

相加・相乗平均の関係を用いて最小値を求める $x\gt 0$ のとき、相加・相乗平均の関係より\[ x+\frac{1}{x} \geqq 2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x} }=2 \]が成り立ちます。これは、「こういう不等式が成り立つ」という関係ですが、見方を変えると「（等号が成り立つことがあるので）左辺の最小値は $2$ だ」と考えることもできます。つまり、相加・相乗平均の関係は、最小値を求める問題に応用することができます。 例えば、次のような問題を考えてみましょう。 最小値を求めるために、相加・相乗平均の関係を使ってみましょう。といっても、そのままでは使えませんね。掛けても x が残ってしまい、邪魔です。 なので、少し式変形を行います。掛けて定数になるようにするには、分数の分母にある $x+1$ が無理やり出てくるように変形します。つまり、 x に1を足して後で1を引

主なデータの代表値に、平均値、中央値、最頻値の3つがあります。どれも、データ全体の特徴を表すものですが、どうして代表値が3つもあるのでしょうか。「1個なら覚えるのも楽なのに！」と言いたい人もいるでしょう。また、結局どれを使えばいいのかわからないという人もいるかもしれません。 ここではそういった疑問について考えていきます。3つの代表値のメリット・デメリットや、使い分けについて考えていきます。 各代表値の得意・不得意 代表値とは、データ全体の特徴を表した値のことです。平均値は、「すべての数値を足して、数値の個数で割ったもの」、中央値は、「数値を小さい方から並べたときに、真ん中に来るもの」、最頻値は、「一番個数が多いもの」です。どれも「データを特徴づける値」ですが、それぞれの代表値には、得意・不得意があります。 データが次のようにきれいな左右対称の山の形に分布していた場合は、平均値も中央値も最頻