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複素積分を手短に復習する為のページです。別の稿で利用するために作りました。 １．複素積分 （１）複素関数の積分 ｆ（ｚ）はある領域Ｄで連続であるとし、その領域内に２点Ａ、Ｂをとり、これを一つの曲線Ｃで結ぶ。曲線Ｃをｎ等分し、ＡからＢに向かって純にｚ1、ｚ2、ｚ3、･･･、ｚn-1をとり、これらの点で区切られる曲線の各部分の上に、任意の点ζ1、ζ2、････、ζnをとる。そのとき次の和のことを積分路Ｃに沿ったｆ（ｚ）の複素積分と呼ぶ。 このとき と置けば、実数の積分の定義より が成り立つことが言えるが、実数の線積分が有限確定値に収束することが証明できているので、上記の複素積分も有限確定値に収束することが証明できる。［証明は省略］ 積分路Ｃが点ａを中心とする円の場合、以下の式が成り立つ。 （２）コーシーの定理 次は複素積分について最も重要な定理です。 ｆ（ｚ）が閉曲線Ｃで囲まれた領域ＳおよびＣ

話を簡単にするために、流体はｚ方向には一様でｘ、ｙ平面上でのみ変化する二次元の流体運動を議論する。そのとき流量や運動を支配する力を取り扱うときは､すべてｚ方向に単位の厚さを持つ流体の部分について考える。二次元流を考えるのは微分方程式の意味が三次元の場合よりも圧倒的に理解しやすいからです。 さらに、本文中で述べる流線関数Ψや速度ポテンシャルΦの値ををｚ軸方向に取るとｘｙ平面上での流れの様子を、ΨやΦの曲面の等高線をｘｙ平面上へ射影した曲線を用いて図的・視覚的に解りやすく表現できるからです。 そしてなにより、現実の流れにおいて二次元の取り扱いで十分その本質を説明できる重要な問題（「カルマン渦列」「二次元翼理論」「二次元表面波」など）がたくさんあるからです。 また非圧縮性流体を取り扱うのは圧縮性を考慮すると極めて難しく成るからです。水の様な液体の場合は非圧縮性の取り扱いでほぼ間違いないし、気体状

物理量の数値表現で重要な有効数字（有効桁数）についの説明です。つまり、なぜ　１３２００００　ではなくて　１．３２×１０6　と表現するか？その理由を説明します。 １．有効桁数の意味 有効数字とは何か、またどうやって有効桁数を数えるのか、例を用いて説明する。 有効桁数３桁 有効桁数３桁とは元になる数字の大きさに対して誤差が１００分の１以下になる様な数値表現のことである。以下述べるように数字で表現されている最小桁の次の■の値が０～９のどれになるか解らないから誤差が生じるのであるから となる。このとき　０．０１３２　と　１３．２　とでは数値の絶対的な大きさはまったく異なるが、信頼できる数値の桁数はどちらも３桁である。それを有効桁数という。 有効桁数５桁 同様に考えると、以下の二つの数値例の全体に対する誤差の割合はいずれも１００００分の１以下だから、有効桁数は５桁となる。 この二つの例の考察から明ら

地球温暖化に伴い暑い夏が続くであろうと予想される昨今、冷房用空調機や家庭用冷凍冷蔵庫は切実な関心事です。ここでは冷凍サイクル（冷凍機と熱ポンプ）について説明します。ガス動力サイクル（「熱機関の効率（ガス動力サイクル）」２．）と蒸気動力サイクル（「熱機関の効率（蒸気動力サイクル）」４．）については別稿で説明しましたのでそちらを御覧ください。 絶対温度・エントロピー・熱効率について馴染みの無い方は、先に「絶対温度とは何か（積分因子とは何か）」をお読み下さい。一般的な準備事項については「熱機関の効率（ガス動力サイクル）」１．導入・準備と「熱機関の効率（蒸気動力サイクル）」３．準備お読み下さい。また、「冷凍・低温技術の歴史」と「ファン・デル・ワールスの状態方程式(クラウジウス=クラペイロンの式、ジュール=トムソン効果)」に関連事柄を記載しておりますので適宜御覧下さい。 １．成績係数 （１）成績係数

１．翼理論の芽生え 大空へ飛翔することは人類の最大の夢でした。その実現には翼の持つ性質の理解が必須です。ここでは流体中を移動する翼が生み出す揚力のメカニズムを説明します。 翼幅（スパン）が有限な翼（三次元翼と言う）の議論はかなり難しくなるため、ここでは翼幅が無限に長く翼のまわりの流れが二次元的に解析できる二次元翼に限って議論します。三次元翼については別稿で説明します。 揚力とは何かを理解するためには、翼の持つ特性が次第に明らかにされてきた歴史的な流れを把握しておくことが必要です｡導入として最初に別稿「翼理論の芽生え（リリエンタール、ラングレー、ライト兄弟の飛行）」を御覧下さい。 ２．循環理論の芽生え 二次元翼翼理論では循環という概念が中心的な役割を果たしますので、まずその説明から始めます。翼理論への最初の貢献はおそらく1852年にマグナスが観察した事実です。 （１）ハインリッヒ・マグナス（

光の三原色と色材(絵の具)の三原色が異なることは良く知られている。なぜ異なるのか、その違いの意味するところを説明します。 また絵の具の三原色を誤って青と赤と黄色としている教科書がありますが、正しくはシアン(空色)とマゼンタ（赤紫)と黄色です。その理由も説明します。 １．光の三原色 （１）三原色 光の三原色は赤(Red)、緑(Green)、青(Blue)です。そして赤(Red)と緑(Green)の光が混ざると黄(Yellow)、緑(Green)と青(Blue)が混ざると空色(Cyan)、青(Blue)と赤(Red)が混ざると赤紫(Magenta)、赤緑青すべてが混ざると白(White)になる。光は原色の色を混ぜるほど色が明くる区なり、三原色を加えると白くなる。下図は、光の三原色を混ぜたときの様子を示している。 上図には示されていないが、光の場合には赤・緑・青の３つの色の強度を変えて混ぜ合わせ

このページを印刷される方はこちらのバージョンをご利用下さい。ブラウザーでは見にくいのですが印刷は鮮明です。 ボーアの水素原子モデル（１９１３年） ボーアの原子モデルは高校物理の最後で習います。しかし教科書の説明は今ひとつわかりません。そのわからない所を説明します。ここでは電磁気学の単位系として高校物理でお馴染みのMKSA有理化単位系を用いています。 １．量子条件と振動数条件 すべての出発点は［ラザフォードの原子模型］と［ニュートンの運動法則Ｆ＝ｍａ］である。それに［電気のクーロン法則］と［円運動の向心加速度式］を適用する。（ラザフォードの原子模型はこちらを参照。またラザフォード模型の困難の詳細はこちらを参照） つまり（Ｂ）式は原子がみな同じ大きさを持つべき事実を説明するために導入された。（同一種の原子がみな同じ大きさだということは当時常識となっていた） （Ａ）式はラザフォードの原子模型から

高校物理の電流のところで「オームの法則」や「抵抗での電力消費」を習います。そのとき電力を発電所から遠隔地に送るには一旦電圧を上げて高電圧で送ると送電損失が少なく有利だとならいます。ところがその有利さがなかなか理解できません。そこの所をわかりやすく説明します。 1.簡単な説明 後藤尚久氏の講談社ブルーバックス「図説・電流とはなにか」P112～114が非常に解りやすいのでここに採録します。銅の抵抗率ρ＝１.７２×１０－８Ωｍ程度だから断面積１ｃｍ２、長さ１０ｋｍの送電線の抵抗Ｒは となる。（下図参照） ここで１０００００Ｗ＝１００ｋＷの電力を送電する場合を考える。電力Ｐ＝ＶＩ　だから１００００Ｖの電圧で送ると１０Ａ、１０００Ｖで送ると１００Ａの電流を流さねばならない。 このとき１００００Ｖで送電する場合ＡＢ、ＣＤ間の電圧降下はＶ＝ＲＩ＝１．７２×１０＝１７．２Ｖとなり、ここでの電力消費はＰ＝Ｖ

ご来訪ありがとうございます。このＨＰは、高校の理科教員をしていたとき、授業の補講用に2002年5月から作り始めたものです。2009年に定年退職しましたが継続しています。 最新更新情報 2023/10/20　光の屈折（水中の物体の見え方)(2009年版に追記） 2023/10/10　パレスチナとイスラエルの戦闘を愁う（2021/5/17、 2023/10/10追記） 2023/09/19　ギブズの自由エネルギー（化学ポテンシャル）とは何か（2014年版を改訂） 2023/09/12　電気化学ポテンシャルと熱力学第三法則（ネルンストの熱定理）（2014年版を改訂） （１）力学 楕円軌道の発見と万有引力の法則（「プリンキピア」の説明） ニュートンの「プリンキピア」第Ⅰ編第1章～第3章の説明です。ファインマンの証明も説明しています。 キャベンディシュの地球の重さ測定実験（1798年)における”ねじ

このページを印刷される方はこちらのバージョンをご利用下さい。ブラウザーでは見にくいのですが印刷は鮮明です。 キャベンディッシュの地球の重さ測定実験（1798年)における”ねじり秤”について １．はじめに 重力定数を定めたキャベンディシュ（H.Cavendish）の実験は実際のところ、その当時すでに疑う余地のないほど確かなこととなっていた万物が引力を持つことや、その逆二乗法則を示すために行なわれたのではなくて、地球の重さを知りたい。そのための正確な重力定数の値を得たいがために行なわれた。そしてその当時までに得られていた重力定数の値1)，2）とは、その精度において比較にならないほど正確な値を得ることができたという所にその実験の意義があった。そして．その精度の達成に“ねじり秤”が本質的な役割を果たした。しかしねじり秤の威力を持ってしても引力は非常に小さく、その実験は非常に微妙なものだった。なぜね

「黒体の総放射(すべての振動数を含む)エネルギーは絶対温度Tの4乗に比例する」という法則。シュテファン（J.Stefan 1839-93）が1879年に実験的に見出し、弟子のボルツマン（Ludwig Boltzmann 1844-1906）が1884年に熱力学の理論からこれを導いた。この法則により、黒体の単位表面積から単位時間に半空間に放射される放射エネルギーSはS＝σT4で与えられる。この比例定数σ＝5.67×10-8W/m2・K4をシュテファン‐ボルツマン定数と言う。 ボルツマンは空洞に閉じこめられた輻射場について熱力学的な考察をする極めて巧妙な方法で、この法則を導いたのですが、そのとき必要になるのが輻射場の圧力の概念ですので、これから始めます。 １．輻射場の圧力 輻射を完全に反射する完全導体の壁で囲まれた空洞が輻射で満たされているとき、輻射が壁に及ぼす圧力ｐは、空洞内の単位体積当たり

ご来訪ありがとうございます。このＨＰは、高校の理科教員をしていたとき、授業の補講用に2002年5月から作り始めたものです。2009年に定年退職しましたが継続しています。 最新更新情報 2023/10/20　光の屈折（水中の物体の見え方)(2009年版に追記） 2023/10/10　パレスチナとイスラエルの戦闘を愁う（2021/5/17、 2023/10/10追記） 2023/09/19　ギブズの自由エネルギー（化学ポテンシャル）とは何か（2014年版を改訂） 2023/09/12　電気化学ポテンシャルと熱力学第三法則（ネルンストの熱定理）（2014年版を改訂） （１）力学 楕円軌道の発見と万有引力の法則（「プリンキピア」の説明） ニュートンの「プリンキピア」第Ⅰ編第1章～第3章の説明です。ファインマンの証明も説明しています。 キャベンディシュの地球の重さ測定実験（1798年)における”ねじ