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「科学哲学」27(1994)pp.69-82. 某氏の日記経由、web上で取得可能（いい時代になったものです）。 本論文では、推論主義の見地から論理的推論にアプローチする。すなわち、「良き論理とは演繹的保存拡大の条件を満たす論理であり、良き推論とはそのような論理内の推論である」。そして、我々が古典論理を使用するのは、「使い勝手が良い」からである。また、古典論理が「真理保存的」であると見なされるのは、使い勝手が良いために我々が古典論理をよく使うため、「真理保存的である」と考えると便利だからだ、と結論する。 非常に明快で力強い論文なのですが、明快すぎる嫌いがありあます。すなわち、議論を単純にしすぎてしまい、いくつか重要な点で過剰殺戮を行っているようにも思えます。たとえば、本論文では、上記の引用からも分かるとおり、自然演繹チックな方法で証明論的に形式化されていることが、論理としての最低条件である

id:nuhsnuh さん経由。知っている人は知っている話でしょうが。 ASLで編集され、Springerから出版されていた　”Perspective in logics"シリーズが、なんと Project Euclid で無料公開されていました。ページはこちら。内訳は Computability in Analysis and Physics; Marian B. Pour-El, J. Ian Richards (1989) Higher Recursion Theory; Gerald E. Sacks (1990) Metamathematics of First-Order Arithmetic; Petr Hájek, Pavel Pudlák (1998) Essential Stability Theory; Steven Buechler (1996) Proper an

The Monist, vol.89, no.1, pp.118-149 (2006). 古典論理で矛盾を導くパラドックスの典型例と言えば、嘘つきのパラドックスでしょう。このパラドックスでは「文L = 『Lはウソである』」というように、循環性によって矛盾を導きます。この印象があまりに強いせいか、時々「全てのパラドックスの原因となるのは循環性／自己言及性だ」という言い方をすることがあります。ですが、本当にそうなのでしょうか。この論文では、循環性を原因としないパラドックスといわれるヤブローのパラドックスを題材に、循環的でないパラドックスがあり得るかどうかを考察しています。 ヤブローのパラドックス さて、ヤブローのパラドックスの説明を次にご覧いただきましょう。以下のような可算無限個の文の列があったとします。 「は偽である」 … 「は偽である」 … さて、が真だとすると、は偽です。従って、あるk>

昔、某准教授はいいました。 （命題）論理学とは否定（¬）と「ならば」（→）の研究だ。 昔から、「かつ」や「または」はあまり問題を起こさず、難問を招くのは否定と「ならば」がほとんどでした。 ラッセルのパラドックスは否定に関するパラドックスですが、多くの「似た」パラドックスがあります。今回は、ラッセルのパラドックスに対応する、「ならば」に関する「カリーのパラドックス」を（Myhill の論文でも大きく扱っていることもありますし）ご紹介したいと思います。 カリーのパラドックス=否定記号を使わないラッセル・パラドックス さて、ラッセルのパラドックスでは、R∈R と ¬(R∈R)の両方が証明されるので、そこから R∈R & ¬(R∈R)、つまり矛盾が示されるという構造をしています。つまり、本質的な役割を果たすのは否定記号であり、否定記号に関するルールを変えればその導出が不可能になる（極端な話、否定記

まず最初に、クリーネの3値論理をご紹介しましょう。 これは真理値として 真(t)、偽(f)、不定(i)の三つを持ちます。 論理結合子に関して、以下の二つの例を紹介しましょう。 否定 ¬ に関して A が t (f) ならば ¬A は f (t)：古典論理と同じ A が i ならば ¬A は i A→Bに関して、 A, B が t,f の場合は古典論理と同じ Aが i のとき Bが t ならば A→B は t それ以外の場合 A→B はi となります。述語論理に関しては、古典論理と同じく上界をとります。 さて、クリーネ3値論理上包括原理を持つ集合論 K3C を考えましょう。この集合論は、ラッセル・パラドックスに関して R∈R の真理値は i もちろん ¬(R∈R) の真理値も i 従ってラッセル・パラドックスの推論 R∈R→¬(R∈R) の推論も i という結論を導出します。つまり、ラッセル

どーも、皆様お久しぶりです。前回が10月28日、一ヶ月強の時間が空いてしまいました。今回は前回までのまとめということで、不動点とラッセルのパラドクスの関係をおさらいしたいと思います。 自己言及性の統一的取り扱い さて、誰もが言うことですが、ラッセルのパラドックスと嘘つきのパラドックスは「似ています」。同じ自己言及型のグレリングのパラドックスも似ています。他に、カントールの |P(X)|> |X| を始め、多くの定理は対角化で証明されますが、それらの証明はとてもよく「似ています」。しかし、似ているのはいいのですが、「似ているよ分析」では困ります：どんな意味で「似ている」のか、もう少しきっちりと語ることはできないものでしょうか。 このような場合、圏論の方法を使い抽象的なアプローチをすることが助けになります。ラッセルのパラドックスの構造を簡単に表示すると、以下の構造になります。 このdiagra

kururu_goedelさんのところで話題になっていたので。 普通、通俗的な本でラッセル・パラドックスの紹介をすると、「包括原理 (the comprehension principle) が悪いのです、だからZFが建設され問題が解決されました、めでたしめでたし」という結論になってしまうのですが、それは間違っています。それ以外にもいろいろな解決法が提案されていて、どれも一長一短があります。 さて、Feferman*1によれば、ラッセル・パラドックスの解決法は、以下のように分類することができます。 Restriction of syntax: つまりラッセル集合の定義文は「文法違反」だ、というもの Restriction of logic: つまりパラドックスは古典論理のせいだ、だから古典論理を制限／変更しようというもの Restriction of basic principles: つ

ながらくこの日記も放置してきましたが、はてなダイアリーの規約改定に伴い、広告が強制的に表示されることになりました。私としては広告つきのブログは受け入れがたく、これを機会にblogを変更することといたしました。 今後は http://ytb-logic.blogspot.jp/ で更新する予定です。 今後ともよろしくお願いいたします。 最近、あまりにもこのはてな日記を放置しすぎなので、ぼちぼちと日記も再開したいと思います。とりあえずTwitter連携機能は停止しました。といっても、多忙のため、そんな頻繁に更新できるとは思いませんので、生暖かい目で見守っていただければ幸いです。

仏語西都逍遥さんのところで昨日のエントリをご紹介いただく。ありがとうございます（いつも読ませていただいております）。それはそうと、Esenin-Volpinの数学の業績とその背景について。 私が始めてEsenin-Volpinの名前を知ったのは「厳格な有限主義」の代表者としてである。英語版Wikiの記事にもなってるように、「自然数全体」のuniquenessとか、exp(exp(exp(79)))とかのような大きな有限数とかは、実際に書き下すことが出来ないので、数や集合といった確定的な存在物として存在しないと主張する。今Gandyの紹介論文が手元にないので不確かだけど、「書き下せる」という概念の定義に、アルゴリズム概念を使っていたような気がする。他に「集合論の無矛盾性を証明した」と主張したとか（ロシア語で400ページの草稿）。本人の書いたものは英訳されていないようで、断片的（GandyやV