定数でない有理数係数多項式の根とならないような複素数のことを超越数といいます。 私が初めてこの概念を知ったのは中学二年生のときで、学校の図書館で読んだ本に載っていました。その中二病的な響きに憧れを抱いたのを覚えています。 Hermiteは1873年にが超越数であることを証明しました。文献はいくらでもありますが、この記事ではの超越性証明を紹介したいと思います。 C. Hermite, Sur la fonction exponentielle, Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 77, (1873), 18–24. が超越数であることの証明 補題 , とする。また、とを定める。このとき、任意のに対してとの間の数が存在してが成り立つ。 証明. 微分公式 が成り立つので、平均値の定理によりとの間の数が存在して が成り立つ。 Q
