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「あなたがまだやっていない問題」は、背景色・文字色の変化なし 「あなたが弱い問題」は、この色 「あなたが半分ぐらいできる問題」は、この色 「あなたがよくできる問題」は、この色
メニューから［プロット］→［２次元プロット］を選ぶと 対話型記入欄が出てくるので，次の図の青字で示した項目を埋めて，他の項目はそのままにしてＯＫボタンを押します． ≪結果≫ 次のようなグラフが描かれます． ≪参考≫ (1) この描き方では，関数の項目にy=x^2などと記入するのではなく， その右辺の関数x^2だけを記入することが重要です． 2) wxMaximaの対話型記入欄をたどれば，自動的に wxplot2d([x^2], [x,-5,5])$ のように必要事項が書き込まれますが，これが直接入力するときの関数と引数を表しています． すなわち， wxplot2d([関数], [変数,変数の下端,変数の上端])$ の形で入力します．行末のドルマーク＄はセミコロン；でもよく，Shift+Enterで実行するときはそれも略してよい．
【 このページの要約 】 ・ある命題 「p → q」 ( p ならば q ) が真（正しい）のとき，その対偶 は真（正しい）であるが，逆や裏は必ずしも真（正しい）とは限らない． ・ある命題 「p → q」 ( p ならば q ) とその対偶とは真偽が一致するので，対偶の真偽を示せば元の命題の真偽が示せる． ・逆の裏は対偶，裏の逆も対偶，逆の対偶は裏・・・などが成り立つ． ・ 命題 p → q には，集合の包含関係 P⊂Q が対応する． これを集合の要素で表わせば，「どんな x についても，x∈ P → x∈ Q 」になる． ・ P⊂Q ⇔ ⊂ だから，p → q ⇔ → が成り立つ．
○ 三次元空間において１点P0(x0 , y0 , z0 )を通り，方向ベクトル=(a, b, c)に平行な直線の方程式は
※高卒から大学初年度向けの「ベクトル，行列」について，このサイトには次の教材があります． *** ベクトル *** ↓ ●ベクトル.行列の超基本 ●ベクトルの直交条件 ●１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数 *** 行列 *** ↓ ●逆行列(1) ●逆行列(2) ↓ ●転置行列，対称行列,対角行列，三角行列 ●行列の階数 *** 行列式 *** ●行列式(1) ●行列式(2) ●行列式(3) *** 一次変換 *** ●行列と一次変換 ●点の像と原像 *** 固有値 *** ↓ ●固有値.固有ベクトルの定義 ↓ ●固有値と固有ベクトル(1) ●固有値と固有ベクトル(2) ●行列の対角化とは ●行列を対角化するには ← PC用は別頁 ≪行列の積の定義≫ ［行ベクトルと列ベクトルの内積］ ●行と列の掛け方 内積については，左からは行ベクトルを 右からは列ベクトルを掛けるものとします。 （
(1) WordやLaTeXなどで数式を組んでおき，PDFに変換する方法 (2) MathML, jsMath → MathJaxによる方法 (3) Google Chart Toolsによる方法 ここでは，(3)の方法を扱う･･･(注*p<.5)．テキストエディタを使ってHTMLファイルを書くことを想定している． Google Chart Toolsでは， <img src="https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=･･･"> という形の式を書いてGoogleのサーバに送信すると，これをGoogle側がPNG形式の画像ファイルとして素早く送り返すという仕組みでウェブページ上に数式を表示する仕組みになっているようである． 数式は基本的に「TeX」の書き方に沿って書くことになっているが，TeXの書き方がすべてサポートされているわけではない．
必要条件と十分条件 《解説》 ■ 数学で用いられる「必要条件」「十分条件」という用語は，日常生活で用いられる”必要"，"十分"とは異なるものです． 数学上の必要条件，十分条件は， pならばq （記号では，p→q） という関係が成り立つかどうかで決まります． pならばq （記号では，p→q）が成り立つとき，
II【双曲線関数の性質＜相互関係＞】 三角関数（円関数）と比較すると，全体的には似ていますが，少しだけ違う部分があります． まず，記号の約束として，(sinx)2, (cosx)2, (tanx)2のことを，各々sin2x , cos2x , tan2xなどと書くのと同様に，(sinhx)2, (coshx)2, (tanhx)2のことを，各々sinh2x , cos2x , tanh2xなどと書きます．
■記号と用語 右図１のような「普通のさいころ」１個と，６の目を１の目に書き換えてⅠの目が２つあるように「細工をしたさいころ」１個の合計２個のさいころを投げて，出た目の数を各々X, Yとします．このとき，X, Yの出方に応じて確率を考えるには，右の表１のようにX, Yの確率分布を同時に考えます． このように，２つの確率変数の分布を同時に考えたものを同時確率分布（または同時分布，結合確率分布）といいます．
■リッカチ形の微分方程式 次の形の微分方程式はリッカチの微分方程式とよばれ，１つの特別解（特殊解）y1を見つけると，y=y1+uとおくことによりuがベルヌーイの微分方程式になります．
(1)← 右の直角三角形において，横の長さは c−a，縦の長さは d−bだから， 三平方の定理(*)を使うと斜辺の長さを求めることができます． AB2=(c−a)2+(d−b)2 AB= a>cのときやb>dのときは，辺の長さは各々a−c, b−dとなって途中経過は変わりますが，結果は上の公式が使えます． さらに，a=cのときやb=dのときは，直角三角形が「つぶれて」縦線や横線になりますが，その場合でも結果は上の公式が使えます．（参考→）
log|y|=x+A …(3) |y|=ex+A=eAex …(4) eAをB(>0)とおくと |y|=Bex y=±Bex ±BをC(≠0)とおくと y=Cex (C≠0) …(5) （検算） (5)を元の微分方程式に代入すると，（左辺）=Cex=（右辺）となって成立する． (5)においてC=0のときはy=0となって，この場合も元の微分方程式を満たす．
～マクローリン展開は何の役に立つのか？～ ［例１］ xとして十分小さな値，例えばx=0.1を考えると，次数の高い項はx2=0.01 , x3=0.001 ,x4=0.0001 ,...のように急速に０に近づくことが分かる． そこで，誤差の範囲が1000分の１ミリ（0.000001m）以下を要求されるような精密作業でも，マクローリン展開の第6項まで使えば十分求められることになる．sinx , cosxのように足したり引いたりするものもあるので，実際には慎重に扱わなければならないが，大雑把にいえばｍｍ単位まで合わせばよいのなら，マクローリン展開の第3項まで使えば十分よい近似になる． こうして，複雑な関数でもマクローリン展開を使うと十分実用に耐えうる数値に直せる． ［例２］ Aが正方行列であるときは，その定数倍，和差，累乗Anも定義できる．そこで eA=1+A+A2+···+An−1+···と定
■ ベクトルの内積 （高卒文系向き：Excelで求める方法） （高校の数学ではベクトルは３次元までを扱うが，以下の記述はその制限にとらわれず文系で高卒程度の学生を念頭に置いてｎ次元ベクトルについて述べる．） 高校の数学では，ベクトルの内積は２つのベクトルのなす角 θ を用いて定義され，ベクトルの成分を用いた表現はその結果として証明されるのが普通である． 文系の生徒から見れば，右図のような矢印ベクトルを用いる場面は多くなく，この説明方法では分かりにくいことがある．そこで，ベクトルの成分表示を中心にして，成分からベクトル内積を説明してみる．（このときの角度 θ の意味は後で述べる．） （高校数学Bにおけるベクトル内積の定義） · =|| ||cosθ （θ は，ベクトル , のなす角 0°≦θ°≦180° ） （ベクトル内積の性質） =(x1 , y1 ) , =(x2 , y2 ) のとき，
■度数分布表から平均値，分散，標準偏差を求める（Excelの利用） ○［平均値x］ n個のデータx1 , x2 , x3 , ..., xnの平均値xは，値の合計T=x1+x2+x3+...+xnを，個数の合計nで割ったものとして定義されます．
※ p→qの真偽は，上の表のようにp，qの各々の真偽値の組合せによって決まる． ※ これに対して，「つねにp→qが成り立つ」，「すべての場合についてp→qが成り立つ」という命題も単に「p→q」と表され，その真偽を問うこともできます． 「つねにp→qが成り立つ」という命題は上の表においてＢの欄がないとき（起らないとき），すなわち右図のように「（pであってかつqでないもの）」が存在しないとき（空集合になるとき）に「つねに真」になります． ○ 個別の場合についての真偽を問うているのか，表全体で「つねに真となる」かどうかを問うているのかの２つの場面がある． ■１ 【p，qの真偽が定まるときのp→qの真偽】 場合分けして答える． ■２ 【つねにp→qが成り立つという命題の真偽】 （pであってかつqでないもの）がなければ真 （pであってかつqでないもの）があれば偽 ○ 上の表が「pならばq」「p→q」
中学校で扱う数は実数と呼ばれ、数直線上に表示されるもので、２乗すれば必ず0以上になる。このため、中学校で扱う数の範囲ではx2の値が「負の数」となるようなものはない。 高校の数学IIでは x2+1=0 すなわち x2=−1 …(1) のような２次方程式、さらに a(x−p)2+q=0 すなわち a(x−p)2=−q …(2) のような２次方程式、一般に任意の実数a , b , cに対して２次方程式 ax2+bx+c=0 (a≠0) …(3) の解を考えるために「負の数の平方根」「虚数」を導入する。
《要約》 ○ 同じもの a が p 個，b が q 個，合計 p+q 個あるとき，これらを全部使って1列に並べる順列の総数は 通り ○ 同じもの a が p 個，b が q 個，c が r 個，… ，合計 n 個あるとき，これらを全部使って1列に並べる順列の総数は
■放物線 ■１ 放物線の方程式の標準形 ※ 放物線の方程式は，中学校と高校数学Iで２次関数のグラフとして習う． 中学校３年 ： y=ax2 高校数学I ： y=ax2+bx+c 以下においては，さらに詳しく焦点との関係などを扱い，主に軸が x 軸に平行な形のものを学ぶ． で表わされる曲線は，右図１のような放物線になる． ○ (1)を放物線の方程式の標準形という． ○ この曲線は「定点 F(p , 0) と定直線 x=−p からの距離が等しい点の軌跡」となっている．（解説は次の項目↓） ○ 点 F(p , 0) を放物線の焦点といい，直線 x=−p を準線という． ○ 点 O(0 , 0) を放物線の頂点という． ○ (1)の放物線は x 軸に関して対称となっている． この対称軸を放物線の軸という．すなわち，軸の方程式は
初めて学ぶ人は、一応どれも「聞いたことがある」程度にしておいて、実際に自分が問題に向かうときは一番分かりやすい定義を使うとよいでしょう。 中学生には(2)が最も分かりやすいと考えられます。
次の集合 A , B の包含関係を調べ，記号で答えよ．（初めに問題文中のを選び，続いて下の選択肢を選べ．包含関係がないときはを選べ．合っていればその記号に変る．） 【 要点 】 ■ 部分集合を表わす記号 A⊂B ○ 右図アのように，集合 A のどの要素も集合 B の要素になっているとき（x∈A ならば x∈B のとき ）， A は B の部分集合であるといい，A⊂B で表わす． ※ ∈ の記号は 要素と集合の関係に使い， ⊂ の記号は集合と集合の関係に使う． ○ 右図イのときは，B⊂A となる． ※ B⊃A は A⊂B と同じ，A⊃B は B⊂A と同じ． （小さい方）⊂（大きい方） の形になっていればよい． ■ 集合が等しいことを表わす記号 A=B ○ 右図ウのように，２つの集合 A , B の要素が完全に一致するとき，A=B と書く． 例 A={ 1 , 2 , 3} ， B={
※この区間のことを，母平均μに対する信頼度95%の信頼区間という． ※母平均の推定と信頼区間の問題については上の式のまま考えてもできるが，後に出てくるｔ検定，F検定などと統一的に理解するためには，上の式をと変形して，の値が-1.96と1.96の間になるかどうかで考えるとよい．（この値をｚ値ということがあり，ｚ値の大小によって考えることにするのである．） 【母標準偏差が未知のとき】 nが十分大きいとき，母標準偏差σは標本標準偏差sに等しくなることが知られている． （微妙な話になるが避けて通れない話題） 母平均μが標本平均に等しいなどということではないし，母標準偏差σが標本平均の標準偏差に等しいなどということでもない．nが十分大きいときに，等しいといえるのは母標準偏差σと標本標準偏差sだけ．
（解説） ○ 三角関数の加法定理sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)により，sinθcosα+cosθsinα=sin(θ+α)となります． ○ たまたまa, bが，ある一つの角度αの三角関数cosα, sinαに等しいとき，たとえば
◇解説◇ 関数 y = f(x) の x = a における微分係数は次の式で定義されます。 f’(a) = または f’(a) = 微分係数は，個々の定数 x = a の値に対して定まりますが，x の値にその微分係数を対応させる関数と見たとき， f’(x) = または f’(x) = を，関数 y = f(x) の導関数（または微分）といいます。 −−−−−−−− 導関数（微分）はニュートンとライプニッツが別々に考え出したと言われている．導関数を表わす記号は， y’, f’(x) と，
○ ２つの母集団の平均値に有意差があるかどうかはｔ検定で調べることができるが，３つ以上の母集団について平均値に有意差があるかどうかを調べには分散分析を使う． ○ 結果に影響を及ぼす様々な要因のうちで，他の要因は変えずに１つの要因の違いだけに着目して，その平均値に有意差があるかどうか調べるものを「一元配置法」（１因子の分散分析）という． (1) ３つのグループから成るデータは一般に全体平均のまわりにバラついている．そのバラつきは，右図１にように各グループの平均値が違うことによるもの（グループ間の変動，列の効果）と，各グループの平均値からも各々のデータごとにずれているもの（グループ内の変動）に分けて考えることができる． すなわち，分散分析においては，全体の変動（各々の値と全体の平均との差の２乗の総和）をグループ内の変動（各々の値とそのグループの平均との差の２乗の和）とグループ間の変動に分けて，
２群の母集団平均を比較したいときに，第１群のデータと第２群のデータが「同一被験者に対する２つの条件での観測結果」「各組が兄弟の身長データ」「各組が数学の得点の等しい生徒の英語の得点」などのように，単にデータ件数が同数であるだけでなく第１群のデータと第２群のデータの間に対応がある場合は，「対応のある場合のｔ検定」を用いることができる． これに対して，２群のデータ相互の間には個別の対応がない場合は「対応のない場合のｔ検定」を用いる． 対応のない場合のｔ検定は，２群の標本数が等しい場合にも等しくない場合にも使えるが，２群の分散が等しいと見なせる場合と等しいとは見なせない場合とでは適用する公式が異なるので，対応のない場合のｔ検定を行うためには，初めに分散が等しいと見なせるかどうかの検定（Ｆ検定）を行う． 例１ 右図２は20匹の鶏のうち半数の10匹に飼料１を，残りの10匹に飼料２をそれぞれ１か月間与
■Excelを用いた判別分析 判別分析とは ○ 所属する群を推定するのが判別分析 どの群に属しているかが分かっている標本があるときに，まだ分類されていない標本がどちらの群に属するかを推定する手法を判別分析という． （判別に当たって重視されている要因を分析することにより結果に生かすこともできる．） ○ 量的変数→質的変数 判別分析は，目的変数が質的変数，説明変数が量的変数となる多変量解析であるが，説明変数が質的変数である場合もダミー変数を用いることにより同様に取り扱うことができる． ※ 判別分析の利用例 各種の検査項目から，ある病気であるかないかを判別する． 各種アンケート結果から各々の消費者が，製品Ａを選ぶか製品Ｂを選ぶかを予測する． 筆記試験，面接，作文，適性検査など多面的な試験項目からなる入社試験，入学試験において合格群と不合格群を判別する． 文学作品における名詞や助動詞などの使用頻度
【準備１】 ２階微分方程式の一般解は２つの任意定数を含んだ形になります． ２階微分方程式の２つの１次独立な解をy1, y2とするとき，それらの１次結合 y=C1y1+C2y2
（イ） Δ＝０のとき，行列ではこれ以上変形できないので，成分に分けます。 において，Δ＝ａｄ－ｂｃ＝０ のときは， ｉ） のように(1)と(2)が平行な２直線となっているときは，共有点が無く，「解なし」となります。 ｉｉ） のように(1)(2)が同じ直線を表すときは，(1)または(2) ［同じ直線］ 上にある点は，方程式(1)(2)を満たすこととなり，この連立方程式の解となります。したがって，直線(1)または(2)上の点はすべて解で，無数にあります。３ｘ＋ｙ＝１を満たす（ｘ，ｙ）の組全部となります。 媒介変数表示で書けば、ｘ＝ｔ，ｙ＝１－３ｔ （ｔは実数） となります。
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