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「たけしのコマ大数学科」の前回の講義「北大に挑戦」は、北海道大学の入試問題が取り上げられたが、ガスコン爺なりに経路問題を補習しておこう。 碁盤の目状の道路があって、S地点からG地点までの経路数を考える。初期状態では、「北→東」と「東→北」の2通りの経路がある。キーボードの方向キーで動かすと、最短経路（後戻りはダメ）の数は、直前の交差点に達するまでの経路数（青い数字）を足し合わせたものだということがわかる。 で、今回の「補習」の目的は、「経路問題」に隠された数の不思議である＾＾； 4年ほど前に、現在の「たけしのコマ大学数学科」が始まった。たまたま、爺は番組に興味を抱いたのは、「数学」が楽しそうだったから。爺自身は、数学の落ちこぼれであり、なんとなく数学に対して自信がなかった。そんなわけで毎回「コマ大数学科」を受講して、このブログの記事を書いてきた。 そこで、このブログを始めた頃の記事を振り返

NHKスペシャルで「魔性の難問：リーマン予想・天才たちの闘い」が放映された。 「ポアンカレ予想」に続き、今回も、美しい映像とCGで数学の難問を紹介してくれた。数学に関心がない人も、番組を見たなら「リーマン予想」に興味を抱いたに違いない。番組では、素数がいかに予測不能に出現するかを、素数階段のビジュアルで見せていた。自然数の長い道があり、道に書かれた数が素数だと一段上がる階段だ。オイラー先生がひとつひとつ、素数を確認しながら、その階段を上っていくのである。 番組タイトルには「魔性の難問（The Cosmic Code Breakers）」と銘打たれていた。そこで、爺は、素数の星々を描いてみた。横100×縦100のマス目を作り、1万個の自然数を次々と調べていき、素数ならば、点を打っていくとゆーだけのFlashなんだけどね＾＾；

TBS系列で日曜の朝に放送されている「応援！日本経済  がっちりマンデー！！」は、お金や経済にまつわる、いわゆる、独自の手法やアイデアで「儲かる話」を紹介している。いつもは、会社の社長などが登場し、自社の儲かる仕組みを話したりするのだが、先週は「儲かる数式」というタイトルで、ゲストも東大出身の森永卓郎と、八田亜矢子だったので、興味を持った。 番組中で紹介された、ひとつの数式が「楕円の公式」 ※効果音は、以下のフリー素材を使わせていただいた。 ●ULTIMATEゲーム事業部 「楕円ビリヤード」には、面白い性質があって、楕円のふたつの焦点にボールを置き、球がクッションするように、壁のどこでもいいから狙って打つと、必ず、もうひとつのボールに当たる（爺の作ったFlashでは、焦点のひとつをポケットにしている）。キーボードの方向キー、または、画面上の矢印ボタンをクリックして、確かめてほしい。 しかし

記事タイトルに偽りあり。正しくは「漫画でわかる（わけがない）ポアンカレ予想」。誇大広告としてJAROに苦情を持ち込んだり、偽装表記で告発しないでね＾＾； もう、だいぶ前のことで、完全にタイミングを逸してしまったが、NHKスペシャル「100年の難問はなぜ解けたのか～天才数学者 失踪の謎～」を見た。10月22日の放送、再放送、そして、今回の記事を書くにあたり、名前を確認するために録画ビデオをチェック。都合3回見たことになる＾＾；番組を見ていない方のため、簡単に概略を……。NHKは、みんなの受信料で番組を作っているのだから、この番組も含め、NHKのアーカイブは、いつでも見ることができるよう、ネットで公開してほしいものだ。 ポアンカレ予想とは、「単連結な3次元閉多様体は3次元球面と同相である」。なんのことか、さっぱりわからない。番組では、「ロケットに長い長いロープを付け、宇宙に飛ばしてみる。そして

世の中は「バンアレン帯」ではなく、「バレンタイン」デー。人生いろいろ「たけしのコマ大数学科」。今回は、ビター島倉チヨコではなく、ピタゴラス。 問題：「3：4：5」の直角三角形の各辺を一辺とする、正三角形A、B、Cがある。AとBをふたつずつに切って、その断片を組み合わせて、正三角形Cを作れ！（※追記：断片を裏返ししちゃダメよ） 「ピタゴラスの定理」は有名だけれども「a^2+b^2=c^2」は、直角三角形の各辺に正方形を描いて説明される。でも、面積比なので、正方形でなく、正三角形でも、「a(√3/4)+b(√3/4)=c(√3/4)」になるわけね。 ほんとうは、一辺が「4」の赤（A）と、一辺が「3」の青（B）の三角形を二分割し、4つの断片を組み合わせて一辺が「5」の三角形を作るのだけれども、好きな形に切ってピースを動かすという、Flashを作ることができなかった＞＜；　しょうがないので、1辺が

今更ながらだが「ムペンバ効果(Mpemba Effect)」という言葉をご存じだろうか。 問題：60℃のお湯と、20℃の水を容器に入れ、冷凍庫（-20℃）に入れたとき、どちらが先に凍るか？ NHKの「ためしてガッテン」(2008年7月9日放送)で「常識逆転！ お湯は水より早く凍る」で紹介されて、話題になり、ブログなどで、物議を醸し出した。「ムペンバ効果」とは、常識に反して、熱湯のほうが速く凍るという現象なのだが、必ずしも成功するとは限らず、また、そのメカニズムも解明されていない。そこで、いろいろな意見が噴出して、混乱している状態だ。 爺が「ムペンバ効果」という言葉を知ったのは、つい最近。じつは、NHKの「ためしてガッテン」の「常識逆転！ お湯は水より早く凍る」という番組を見ていないのだ。爺は、爺が勝手に師と仰いでいる小島寛之センセのブログ「小島寛之の日記」で、初めて「へぇ～、そんな現象があ

クヌース教授が若き日に書いたという「至福の超現実数」には、「純粋数学に魅せられた男と女の物語」という副題がついている。アリスとビルは、システムに組み込まれるのが嫌で、文明から遠く離れた、インド洋に浮かぶ無人島で「自分探し」の休暇を送っていた。何事も起こらず、退屈な日々が続き、そろそろ「文明」が恋しくなった頃、ビルはヘブライ語が記された奇妙な岩を発見する。どうやら、岩には「数の創造」の物語が書き込まれているらしい。ふたりは、その解読に夢中になっていく……。 この本を購入するきっかけとなったのは、アマゾン・アソシエイトで「ガスコン研究所」のリンクから購入された書籍としてリストにあったからだ。爺が紹介した本ではないが、この「ガスコン研究所」を閲覧した人が購入した本ということで、爺も興味を持った。 そもそも、爺は「数学」を扱った物語を読むのが好きだ。それにドナルド・E・クヌース教授といえば、コンピ

「魔方陣」とは、縦横斜めのマス目の数字を足したとき、同じ数になるように配置したもの。これまでも魔方陣に関連する話題は、「たけしのコマ大数学科」でも、何度か登場してきたが、爺は、本質なところで、理解していなかったのかもしれない。それは、どうすれば、魔方陣を作り出せるかという、魔方陣の持つ根本的な性質だ。 まず、「5方陣」の作り方だが、作成する魔方陣からハミ出す形で、上の図（Flash）のように、斜めに数字を割り当てる。ハミ出た部分のマス目を、5×5のマス目に移動させてハメ込むと、魔方陣が完成する。 続いて、「4方陣」の作り方だ。これは、4×4のマス目の左上から順に1～16の番号を振る。これとは、逆に左上のマス目から順に16～1の番号を振り、色のついたマス目を合成すると、魔方陣が完成する。 それで「魔方陣」に求められるのは、繰り返しになるが、「縦横斜めのマス目にある数を合計すると同じ数になる」

結城浩さんの「数学ガール フェルマーの最終定理」と対比させて読んでみると、本書の第1章「異界からインサイド・ルッキングアウト」は、さしずめ、元祖「数学ボーイ」といったところか＾＾； まずは、登場人物を紹介しよう。ヒロ（小島寛之センセの分身？）、ロック好きな、リッチー（金田）、詩人を夢見ている、丸チャン（丸山）の3人。Ｎという名前を持たない、ヒロの憧れの少女も登場するが、Ｎ以外はすべて男ばかり。 時は、日本経済の高度成長期、光化学スモッグがたちこめ、零細工場がひしめきあう下町、いつもどこかで、鉄を打ちつける音や、コンクリートを砕くドリルの音が耳につく、乱雑でエネルギッシュな時代。 3人の少年は、いたずら心で建設中のビルに入り込む。エレベータで地下室に降りた3人が見たものは、まるで現代絵画のような異様な世界だった。 「数学ガール フェルマーの最終定理」（以下、「数学ガール」と記す）は、クロネッ

小島寛之センセは、誰しも生まれながらにして、すでに「数学はあなたの中にある」と言う。では、「数学でつまずくのはなぜか」 問題：以下の一次方程式を解きなさい。 （※円の衝突判定は「Flashゲーム講座＆サンプル集」に公開されているスクリプトを使わせて頂いた。感謝！） 天秤に重さのわからない「X」グラムの「オモリ」と、「1」グラムの「オモリ」が複数個、乗っている。天秤が釣り合うように、左右の受け皿から「オモリ」をドラッグ＆ドロップで取り除き、最終的に「X」は何グラムであるか確認してほしい。 中学生以上であれば、こんな、まわりくどい「Flash」を用意しなくても、簡単に解くことができると思う。 前エントリの「書籍：文系のための数学教室」で、小島寛之センセは「塾講師をしていたことがあった」と書いた。本書の冒頭で、ひとりの不登校の生徒に「数学」を教える話がある。その生徒に「いつ頃から数学の授業につい

このブログの過去記事で何度か、小島寛之センセの「文系のための数学教室」について触れてきたが、ちゃんと、エントリを立てて紹介していてなかったので、今更ながらに書いてみるなり。 問題：直角三角形が4つある。これらのうち、2つの直角三角形を組み合わせて作ることのできる図形、4つすべての直角三角形を組み合わせて作ることの図形を、できるだけたくさん、作りなさい！　図形は重なり合ってもよい。 ドラッグ＆ドロップで図形を移動。左回りの回転は[Z]キー、右回りの回転は[X]キー。[Shift]キーの併用で「15度」刻みで回転する。左右反転は[C]キー、上下反転は[V]キーを使用する。 著者（小島寛之センセ）は、経済学者にあって、数学者でもあるわけだが、塾の講師をしていたこともあって、その実践的体験の中で、上の問題を20人程度の生徒に出したそうな。授業では「厚紙」を使ったが、ここでは、それを「Flash」に

「オオカミ少年」とは、ハニカミ少年や、滑舌が悪くて、オオカミの少年ではない（言われなくても、わかっている）。「オオカミが来たぞ～」とウソをつく少年だ。いわゆる人騒がせな愉快犯。何度もウソをつくので、すっかり村人の信用を失い、ホントにオオカミが来たときに誰も信じてもらえなくなる童話。では、どのくらいウソをつくと、あの人はウソつきだという確信を抱くようになるのか。「ベイズ推定」を使った「オオカミ少年」シミュレータ。 「嘘つき、正直」と「ウソ、ホント」の数値は、それぞれの性向を表す。で、「オオカミが来ない確率」というのは、まわりくどい表現だが、「オオカミが来るぞ～」と言ったが、実際は「オオカミが来ない」場合の確率、結果的にウソをついたことになる（オオカミが来る、来ないかは乱数で決めるが、その度合）。グラフの縦軸は、嘘つきであると判断する「確信度」を表す。 で、何度かグラフを描いてみると、同じ数値

なにやら、あやしげな実験装置がある。装置の両端には電極があり、電池につながれている。箱の中は絶縁体で満たされており、ここに伝導体である小さな正方形の金属片をばらまいていく。箱全体にまんべんなく金属片が敷き詰められた場合を「1」とすると、どれ位の割合で金属片があると電気が流れるか、その確率を求めよ。 金属片の数が少ないと、当然ながら電気は流れない。しかし、ランダムに投入する金属片の数を増やしていくと(プログラムでは、同じ場所に落ちた金属片はカウントしない）、ある数に達したとき、電気が流れる。電気が流れる道が完成するわけだ。 物理学では、この現象を「パーコレーション(浸透)」と呼ぶらしい。見方によっては、除々に岩に浸透していく水のようにも見える。で、この実験の場合、電気は流れるか、流れないか、ふたつにひとつ。金属片の数の増大によって、少しずつ電気が流れるわけではない。ある数に達したとき、いきな

「たけしのコマネチ大学数学科」は深夜番組なので、放映時間まで、焼酎「いいちこ」を飲みながら、数学の問題を解いて、頭を数学モードにしようと試みてみるが、たいていは、番組が始まる前に酔いつぶれてしまう＞＜； で、今回は、「数学オリンピック2000-2005」という本からの出題。 問題：4×4のマス目を作り、1から4までの数字をそれぞれ4つずつ書き込む。ただし、以下の条件を満たすものとする。 1：各行には、1,2,3,4が1回ずつあらわれる。 2：各列には、1,2,3,4が1回ずつあらわれる。 3：全体を図のように太線で4つの部分に分けたとき、各部分に1,2,3,4が1回ずつあらわれる。 このような数字の書き込み方は何通りあるか。 で、考え方としては、左上の4つのマス目には、1～4までの好きな数字を書き込めるので、4!(4の階乗：4×3×2×1)で、24通りあることがわかる。そこで、一番上の行に

去年の12月に購入したばかりのパソコン(Windows XP)が壊れた。リカバリーもできないことから、ハードウェアのどこかが壊れた可能性がある。こうなるとお手上げだ。使用期間、半年ちょっとで、なんで壊れるのかなーと、かなりヘコんだ状態で「たけしのコマネチ大学数学科」を見る。 まずは例題「図のような直角に曲がった幅１ｍの通路で運ぶことのできる長方形のソファーの最大面積を答えなさい」 コマ大数学研究会の面々が体を張って出した答えが「0.98」平方メートル。そこへマス北野が「１ｍ×１ｍの正方形でも、それより大きい」と、するどい突っ込みが入った。 これに対してコマ大数学研究会の面々は、「１平方メートルまではいきませんよね」と、竹内薫センセに助けを求めるが、「数学的には入るということで…」と薫センセも困惑ぎみだ。「引越し屋さん的には、そうはいきません」ダンカンの言うとおり、現実的には、１ｍの通路に１