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内積とは何か?ベクトルの掛け算の意味 そもそも『内積』とは何なのか？はじめから見てみましょう。 内積と外積：ベクトルの掛け算は２種類ある！ 前回、ベクトルの足し算と引き算を紹介しました。→「ベクトルが分からない？はじめから解説します」 そうすると、掛け算もあるのではないかと思うのは自然な事だと思います。 実はベクトルの足し算、引き算と違ってベクトルには２種類の全く違う「掛け算」が存在します！ 一つは内積とよばれるもので、『ベクトル』と『ベクトル』の間に、掛け算であることを示すための『ドット（・）』を書きます。（このことから内積のことをドット積と呼ぶことがあります）高校で習うのはこちらの掛け算です。 内積(ドット積)の定義 では早速、その内積(ドット積)の定義とそのイメージ図を紹介していきます。 ベクトルと言うのは「向き」と「大きさ」の二つの情報を持っていましたが、ベクトルの内積では以下の式

参考書などでもこの二つに分冊されていたりしますが、この二つはどんな違いがあるのか説明します。 ごく簡単に説明すると、系統地理は地形や天候、産業、経済などあらゆる要素を「場所に関係なく」まとめて学習する分野です。 対して、地誌は、系統地理のように要素（分野）別ではなくて、「地域や大陸別に」全体像を見て行きます。 効率的に学習する順番 従って、まず系統地理で各々の要素を勉強し、（たまに地誌を挟みながら）系統地理の完了と共に本格的に地誌を学ぶという順番で行くのが効率的です。 系統地理の大まかな分類 先ほども少し挙げた様に、系統地理を構成する要素は非常に多いのですが、ある「コツ」を頭に置いて勉強を進めると非常に効率的に進められます。 また、効率的に学習できるだけでなく、単なる暗記科目ではなくなり、要素どうしが全て有機的に結びつく事で、ある意味「理系的」に学ぶ事ができます。 そのコツの紹介の前に系統

ベクトル方程式を一から学ぼう 数学で苦手な分野を聞くと、必ず「ベクトル」があがってきます。更にその中でも「ベクトル方程式」は一・二を争う「よく分からん！」となる不人気範囲です。 この記事はそんな人に向けて、イラストを用いて「実は特別な物では無い」事を理解して貰うために作成しました。 ※：2019/10/08「ベクトル方程式の”コツ”」を追加しました。 「媒介変数の消去」の項を追加しました。 ※続編（「空間でのベクトル方程式」を作成しました。左のリンク、または『この記事のまとめの項』から続けてご覧ください。 途中で分からない用語等が出て来たら、これまでのベクトルの記事を集めた→「ベクトルシリーズ総まとめページ」で解決して、またこの記事に戻って来て下さい。 ベクトル方程式とは ・「方程式」と「ベクトル」のおさらい ・ベクトル方程式 ・直接のベクトル方程式 ・円のベクトル方程式(定義) ・円のベ

外積とは何か？ ※ベクトルの内積は既知のものとして進めるので、曖昧な人は ・「ベクトルの内積がわかる！ベクトル同士の掛け算の正体」 ・「ベクトルの成分表示での内積と、垂直条件、平行条件」を先にご覧ください。 内積と外積の共通点と相違点 $$内積は\vec {a}\cdot \vec {b}$$ の様に表し、この時、ベクトルとベクトルの間を（・）で表すので、ドット積と言ったりもしました。 一方で、$$外積は\vec {a}× \vec {b} $$ と表します。 スカラーの掛け算と同じ様に（× )を使うので、クロス積とも言います。 重要なことは、 内積が(ベクトル量)・(ベクトル量)＝スカラー量 になるのに対して、 外積は(ベクトル量)× (ベクトル量)＝ベクトル量　となることです。 つまり、外積の答えは「向き」と「大きさ」の”2つの情報を持っている”ということが出来ます。 外積の順番 次は

ベクトル方程式（空間ベクトル）の応用【平面の方程式と法線ベクトル】 この記事では、 ・（直線の）ベクトル方程式の最小限の知識をもとに、 ・苦手な人が多い「平面の方程式」の求め方、「空間ベクトル」の基本的な考え方について解説していきます 続編として、「法線ベクトルの求め方と空間図形への応用」を追加しました。 教科書や参考書でもベクトルの最後に扱われており、一度理解するまで少し大変かもしれません。 発展的な内容も扱いますが、つまずきそうな所にはイラスト&関連記事へのリンクを用意していますので、ぜひじっくりとご覧下さい。 平面の方程式とは まず「平面の方程式」とは何なのか？から解決していきましょう。 図形と方程式（数学２）のところで、「直線の方程式」について学んでいるかと思います。 これまでは、『y＝ax+b』 の形で表していたものを、より一般化して『 ax+by+c=0 』と表すことによって、

原子第一回：光の粒子性と波動性の共存 について扱います。 文頭にも書いた様に、高校範囲では原子分野だけが現代物理学、それ以外が古典物理学と分けられます。 その最大の貢献者の1人がアインシュタインです。彼はe=mc^2の式や相対性理論が有名ですが、「光電効果の理論」でノーベル物理学賞を受賞しています。 ”光の粒子性と波動性の共存” なんて難しく書きましたが、 要するに光はボールの様な形のあるものでもあるし、波でもあるよ〜〜と言う事です。 徐々に分かって来るので心配不要です！ 光と原子物理で使う定数・単位 アインシュタインは、これまで波であると皆が思っていた光に粒ー光子ーとしての性質も併せ持っていると言うアイデアを思いつきます。 最初に光子に関係する文字をまとめます。はじめから全て覚えようとしなくて構いません！ よく見ると、波動で習った振動数や波長と、「力学（復習用解説記事）」で習った速度（光

今回のテーマは重複組み合わせです！ 場合の数の中でも難易度が高い重複組合せ はじめに２つ質問です。 質問其の1：重複組合せは得意ですか？ 質問其の2：nHrの記号を使わず問題を解いていますか？ ・・・ ・・・ 両方ともYESだった人は問題ありません。さらっと流し読みして、記事の最後の実践問題だけは解いてみて下さい。 両方のうち１つでもNOが有ればこの記事がきっと役に立つと思います。 じっくり読み込んで得点源にしましょう！ 重複組合せの公式：nHrは今すぐ忘れるべし！ 場合の数と確率の分野には沢山の記号や公式がありますが、もしあなたがこの単元を得意にしたいなら、nCr(いわゆるコンビネーション)とn！(nの階乗)の２つ以外は基本的に使わないで下さい。 特にnHrなどの場合の数・確率の公式は簡単な問題なら便利ですが、入試のことまで考えると逆効果です。 2つだけしか使わない事によって思考力や応用

三角関数の公式を丸暗記していませんか？ タイトルで??となった人も多いのではないでしょうか。多くの人が”語呂合わせ”などの色々な工夫をして、三角関数の（それも沢山の）公式を覚えようとします。 この記事はそんな『公式を覚えるのに苦労している』人に向けて書いています。 実際のところ、最もはやく、正確に公式を覚える方法は、「一回一回加法定理から導き出す事」なのです。 めんどくさそうに思うかもしれませんが、導出を繰り返しているうちに『勝手に覚えてしまう』ので、重要な試験などの時までには自然と使いこなせるようになっています。 さらに、もし『ど忘れ』してしまっても『導き方』さえ知っていれば、その場で再び公式を作り出す事ができるのです。 ぜひこの記事を最後まで読んでみてください。そして何度か手を動かしてみれば『丸暗記』の必要がない状態になっているはずです。 二倍角/三倍角/半角の公式と三角関数で一番大切

整数問題(整数の性質)を攻略 今日は「整数問題」を扱って行きます。 大学入試数学において、おそらく（数３も含めて）最も大変な分野です。 よく言われていることですが、一般的に理屈を習得するまでが大変な数３の微積などは、 その山をこえると出題される問題はある程度パターン化されてしまうので、得点源になりやすいです。 しかし、整数は小学校やもっと年少から触れている「数」であり、 もっとも身近で問題文もそれほど難しくない様に見えるにも関わらず、 実際に解こうとすると手が出ない。。。と言う人が多いです。 これは大学以降でも似た様な傾向があり、いわゆる「未解決問題」には 整数が絡むことが多いです。 ゆえに、最難関大学は特に整数問題を重視する傾向にあります。 東大や京大、一橋、国公立単科医大を目指す人は、理系であれ文系であれ避けられない分野です。 整数問題を解く為に才能は必要ない！ 基本的に難題の多い整数

そもそも一次独立ってなんなんだ！？言葉の意味も分からん、、、 一次独立というものが良く分からずベクトルに苦手意識を持ってしまう人が沢山います。 しかし、最低限のベクトルの知識があれば一次独立自体はとても単純です。 ベクトルとは 簡単にベクトルのおさらいをしておきます。ベクトルは、これまで学んできた数(スカラーと言います)と異なり、「向き」と「大きさ」を持っています。 今から説明する３つの事は一次独立を理解するにあたって大切な事なので、ここでも解説しますが それぞれ詳細な解説ページを作ってあるので、ぜひそちらも参照して下さい！ そして、今回の内容と関わりの大きいものとして、 （１）零(ゼロ)ベクトル （２）ベクトルの足し算、 更に、一次独立の定義にかかわる重要な事として （３）ベクトルの成分表示が挙げられます。 零(ゼロ)ベクトルとは その名の通り、大きさ＝長さが0のベクトルの事です。 ベク

そこで、なぜベクトルが分からないのか？分からないところが分からない！ という人向けにベクトル入門シリーズを書く事にしました。 ・この記事では、まず「ベクトルとは何か」のなんとなくのイメージを例え話で紹介します。 ・そして、数学が苦手な人ほどベクトルを習得するべきな理由！ ・更に実際にベクトルの勉強を始める基礎となる、ベクトルの計算：ベクトルの足し算、引き算の仕方を解説します。 (順を追ってステップアップ出来る様にしますので、理系で一応使えるけど・・と言う方もサラッと目を通していって下さい。 「必要なところだけ」じっくり読んでもらうなりはてブ！しておくなり自由にこのサイトを使っていって下さい） ベクトルとは何か さて、文系数学のほぼ最後にいきなりよくわからない矢印が登場します。 多くの人がここで悩む訳ですが、それにはいくつか理由があるのです。 それは、これまで習ってきた数学・算数では「スカラ

ネイピア数e(自然対数の底)って何の為にあるの？ (ネイピア数誕生の歴史と現在どの様な役に立っているかを加筆しました！) さて、このサイトを見にきて下さる方は現在理工系・医歯薬系等の大学を目指している方と、学生時代の事を思い出しながら見て下さっている大人の方が多いです。 今回は学生・受験生の方には息抜きとして、大人の方には、久々に少し昔のことを思い出しつつ「教養としての数学」の読み物としてご覧下さい。 (と言いつつ割と現実世界との繋がりについても書きましたのでビジネスに繋がるかも？) ネイピア数eとは？ eの定義 ネイピア数はある日突然数学３の極限の時間に現れます！ そして特に何の説明も無く $$\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac {1}{n}\right) ^{n}=e\\ \lim _{n\rightarr

物質波（ド・ブロイ波）とボーアの量子条件を扱います。 第1回と第2回を未読の方は必ず読んでおいてください。 原子物理第一回：「光電効果とは？例え話で原子物理の違和感なくします！」 原子物理第二回：「コンプトン効果がわかる！複雑な計算や近似の使い方も徹底フォロー」 第1回、第2回で、光電効果とコンプトン効果の解説を行いました。 アインシュタインによる「光 は波で有るだけではなく、粒子でもある」という<光の粒子と波動の二重性>のアイデアにより、 ２ つの現象が矛盾無く説明出来る様に成ったのでした。 ルイ・ド・ブロイの登場と物質波の仮説 その数年後、アインシュタインとコンプトンの影響を受けたフランスの名門貴族、ブロイ公爵家 の公子ルイ・ド・ブロイが一本の博士論文を書き上げます。 そこには物質波について、～粒子は全て波でもある～ つまりアインシュタインが考案した、波＝粒子の概念に対して、それならば