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平均を取れば誤差は減る？ 偶然誤差というのは測定しようとしている対象の真の値の周囲にバラつくものである.多数の測定を行って平均を計算することで,真の値に近い結果を得ることが出来る.その時,誤差（確からしさ）の程度をどのように見積もって,どのように表現したらいいのかを考えてみよう. ところで,測定する対象によっては「真の値」と呼べるものがない場合もある.典型的なのは量子現象が絡む場合である.これは自然そのものが,測定のたびに,確率的にバラついた値を返してくるのである.どこまでも正確な測定を行うことができたとしてもやはり値はバラついているというのが,この場合の自然の本性である. さらに深く考えると厄介な考えに到達する.そもそも我々が実験で得るのは様々な誤差を含んだ測定値でしかない.つまり,我々は決して「真の値」というものを知りようがないのである.こうなるとこの世に「真の値」と呼べるものがあるか

固有ベクトルとは？　固有値とは？ 線形変換によって位置ベクトルの方向や長さが変化するという図形的イメージを学んだ. ところが,ちょっと変わったものもあって,線形変換の前後で方向の変らないベクトルというのが存在することがある.それを「固有ベクトル」と呼ぶ.方向が変わらないことが大事であって長さは変化してもいい.固有ベクトルの長さが変換の前後で何倍に変わったのかを表す倍率のことを「固有値」と呼ぶ.用語の意味としてはたったそれだけのことだ. 今回はその固有ベクトルと固有値の求め方について説明する.こんなものが何の役に立つのかについては次回まで明らかにならないだろう.あまり先走った疑問を抱えて疲れないようにしてほしい. 本当は固有ベクトルが何の役に立つのかの方から先に説明しようとしたのだが,そのためには固有ベクトルと固有値の性質を少しは知っていないと話が進まない.予め少しだけ話しておくというのも中

線積分のイメージ 高校の積分では積分範囲が数直線の上に乗っていた.何を言っているか分からないかも知れない.当たり前過ぎることというのは,言われてもピンと来ないものだ.つまり,1 変数の関数があって,そののグラフの曲線と軸とに挟まれた領域の面積を求めるというのが積分のイメージであった.定積分の積分範囲というのは,軸という直線の上のどこからどこまで,という形で指定されていたのだった.今からその常識を飛び出すことにしよう. 2 変数の関数というものを考える.この関数は土地の起伏を表しているようなイメージである.地図上の位置をで指定してやると,がその地点の標高を返してくれるのだと考えれば分かりやすい.関数名としてを使ったのは高さ(height)の頭文字だからである. これからこの関数を積分しよう.積分範囲は・・・,そうだな,「この平面の上を走る自由な曲線コース」！ 自由な曲線コースの上を進みながら

私の疑問 「不確定性原理」という言葉を聞いたことがあると思う.解説はそこら中にあふれている.要はミクロな領域では粒子の位置と運動量は正確には決められず, という「不確定性関係」が成り立つ,というものだ.一方の測定誤差を極めて小さくすれば他方の誤差が極めて増すことになり,結局誤差の積を一定以下には下げることが出来ない.そこにプランク定数が関係している.・・・という内容である.これがさっぱり分からない. いや,理屈が分からないのではない.私の疑問は普通とはちょっと違って,おおよそ次のようなものだ. 偉そうな疑問だ.まぁ一緒に疑ってみようじゃないか.そして不確定性原理が「要る」のか「要らない」のかはっきりさせてやろう.めちゃめちゃ態度でかい気がするが. 本当に原理か？ 「原理」というだけあって,この概念を基にして量子力学の体系が作られているのだろうかと考えてみたが,これだけでは当然無理だ.波長と

動機と準備 第 3 部では,回転軸からだけ離れた位置にある質点の慣性モーメントが と表せる理由を説明した.多数の質点が集まっている場合にはそれら全ての和を取ればいいし,連続したかたまりについて計算したければ各点の位置と密度を積分すればいい.このを使えば角速度と角運動量の間に という関係が成り立つのだった. しかしこれでは不便なところがある.一旦回転軸の方向を決めてその軸の周りの慣性モーメントを計算したら,その値はその回転軸に対してしか使えないのである.まぁ当たり前の話ではある.軸の方向を変えたらその都度計算し直してやればいいだけの話だ.それで満足できる人はそれでいい.この先も読まなくてもいい. しかし回転軸の方向をほんの少しだけ変更したらどうなるのだろう.元から少しずらしただけなのだから,慣性モーメントには少しの変化があるだけに違いない.わざわざ一から計算し直さなくても何か楽に求められるよ

摂動論を学ぶ理由 摂動論は近似解を求めるテクニックの一つである.正確に解ける問題があって,そこから設定がほんの少しだけずれた時に解がどのように変化するかということを導く技である.人間の力で正確に解けるのはごくごく簡単な問題だけであるから,近似計算というのは重要である. なぜ「摂動」なんて漢訳が当てられたのかはよく分からないが英語では「掻き乱す」というような意味だ.太陽の周りを回る惑星の楕円軌道は計算で正確に求められるが,実際には他の惑星からの重力の影響があるためにわずかなずれが生じている.このわずかな撹乱が惑星の軌道にどのように影響するかを論じたものが摂動論であり,同じ考えを量子力学に応用したのである. しかし,単なるテクニックではなく,量子力学の思想に関わる重大な意味を持つ.計算手法そのものが,自然を表現する考え方に強い影響を与えているのである.いや,数学を通して自然を見ている以上は,こ

線形変換 波動関数からエネルギーや運動量の値を取り出すには微分することが必要だった.波動関数が指数関数の形をしていれば関数の形は変わらないが,それ以外の形をしていた場合には波動関数の形はひどく変化を受けることになる.この状況をベクトル表現で解釈し直すとどのようになるだろうか. 波動関数は状態ベクトルとして表せるのだった.波動関数に微分を施して変化した関数もやはり関数であって,同じ方法でベクトルとして表せるはずである.ならば,元のベクトルと変化後のベクトルとの関係をベクトル変換のようなものであると考えてはどうだろうか？ベクトルの変換は行列を使って表すことが出来る.この考えで行けそうだ. しかしどんな複雑な変換でも行列で表せると思ったら大間違い.行列なんていうのは所詮,線形変換を表すことしか出来ないのだ.線形変換とは, という性質を持った変換のことである.つまり,元のベクトルが定数倍されれば変

波動関数はベクトルだ 前回は「完全規格直交系」について学んだ.今回はこれを波動関数に応用してやる話だ. 範囲の制限はあるものの,あらゆる形の関数が完全規格直交系の係数の組で表されるというので,同じように波動関数もベクトル表現してやろうではないか. ただ前回と少し事情が違うのは,波動関数というのは位置や時間の変数に対して複素数を返す関数であるという点である.しかしこれは全く問題がない.前回の説明に出てきた係数が複素数になっていると考えてやればいいのである.これだけで分かる人はいいのだが,中には納得したつもりになっているだけの人もいるだろうからちゃんと詳しく説明しておくことにしよう. 波動関数を実数部分と虚数部分に分けて考えることにする. それぞれの部分は前回やったようにベクトルで表されるだろう. そしてそれを後で一緒にしてやればいいわけだ. これで疑う余地がなくなっただろう. つまり波動関数

級数展開 あらゆる波形が三角関数の組み合わせで表現できてしまうという話を知っているだろうか.例えば,次のような無限個の関数の集まり（関数系）を考える. このそれぞれの関数に定数を掛けて全てを足し合わせるだけでどんな波形でも作り出せてしまうわけだ.詳しく知りたい人は「フーリエ級数」と呼ばれる分野を学ぶといい.どっちにしても理系の学生にとっては必須科目だ. ただ非常に残念なことに,この話はの範囲でしか成り立たない.周期関数をいくら重ね合わせたところで同じ周期で繰り返す波形しか作り出せないのは当然のことだ. 似たような性質を持つ関数系は他にもある.例えばルジャンドル関数と呼ばれる関数を無限に集めたものを使えば上と同じ話が成り立つのだが,やはりこの場合もの範囲に限られている.変数変換をしてスケールをいじってやれば範囲を引き伸ばすことは出来ようが,無限に伸ばすわけにも行くまい. の範囲であらゆる形の

極座標（円座標） 前回の記事では微小面積や微小体積を分割するときに,徹底してデカルト座標を使ってきた.「デカルト座標」というのは座標軸が直線で互いに直交しているという,中学や高校の数学でも使っているごく普通の座標のことである. デカルト座標のことを,直交座標とか,より正確に「直交直線座標」だとか呼ぶこともある.（軸が曲線だけど互いに直交するような「直交曲線座標」というものもあるからである.）英語での表現をそのまま使って「カーテシアン座標」と呼ぶこともある.英語では「デカルトの」という形容詞は Cartesian （カルテジアン/カーテシャン）と綴るからである.人名のデカルトの綴りは Descartes だが,Des の部分はフランス語の冠詞にあたるので省かれているわけだ. 要するに,前回はやを次のように表現し直して計算したのであった. さて,デカルト座標の他にも座標軸の引き方は色々あって,

まずは普通のスターリングの公式 統計力学では良く階乗の計算が出てくる.それが『アボガドロ数程度の大きさの整数』の階乗だったりするものだから,定義に従って具体的な値を算出するのは不可能であるし,もう桁が幾つか違っていてもどうでもいいやと思えるほどに大き過ぎる値となるだろう. これをそのまま使っていたのでは式変形をしていくことが無理なので,別の変形しやすい形で表しておいた方が良い.そこで利用されるのが,「スターリングの公式」と呼ばれる次のような近似公式である. あるいはこれと全く同じ意味だが,次のように書いてもいい. これを求めるのは非常に簡単である.まず,の対数を取ったものは次のように表せるだろう. この右辺の値の意味するものを図で表してやろう.次のように,幅が 1 であるような帯グラフを描いてやれば,その帯の面積の合計が,その値を表していることになる. この図に描かれた曲線はを表しており,

電気と磁気の性質から始めて、それぞれの関係を推理していき、最後はそのすべてを含んだマクスウェル方程式という形にまとめ上げるところまで説明します。その後はマクスウェル方程式を使って色々な現象を説明して行きます。

リー群は群論の一部 これから「リー群」または「リー代数」と呼ばれる分野について説明したいと思う.リー群は「群論」と呼ばれる数学の一部分ではあるが,独立した一分野のような広がりを持っている.群論の教科書を開いてみても「リー群」の話は紹介程度にしか載っていないことが多い. 群論の初歩については分かりやすい本も多く出ているので,私が説明する必要を感じない.群論を学ぶには多くの具体例を知っておくのがいいと思う.私はできるだけさっぱりとまとめて説明したい質（たち）なので,多くの具体例をいちいち紹介するような説明が苦手なのである. しかし「リー群」というのが何なのかを説明するためには,「群論」というのがそもそも何なのかを少しくらいは説明しておく必要がある.読者はこの先を読み進む前に群論の教科書を何冊か,それぞれの教科書を分かるところまで読んでおいてもいいが,予備知識がほとんどなかったとしても,私のざっ

行列式が 0 になるイメージ 行列の行列式が 0 になるのは,例えば 2 次元の場合には「二つの列をベクトルとして見たときに,それらが平行になっている場合」あるいは「それらのベクトルのどちらか一方でも零ベクトルである場合」とまとめてもいいだろう,多分. ところが 3 次元以上の場合を考えてみるとそれだけでは済まない気がする.例えば 3 次元で考えてみよう. 3 次の正方行列には 3 つの列ベクトルが含まれる.これら全てのベクトルが平行である場合には,これらが作る平行六面体は一本の直線にまで潰れてしまって,3 次元の全ての点が同一直線上に変換されることになる.（下の図ではわざと 3 つのベクトルを少しずらして描いてある.ベクトルを完全に重ねて描いてしまうと何の図か分からないので.） 一度こうなるともう元のようには戻せず,行列式は 0 である.ここまでは 2 次元の場合とそれほど変わらない話だ

磁気モーメントの測定 かなり後になってしまったが,原子が持つ角運動量を測定する方法の一つを紹介しよう. まず,小さい穴の開いた容器の中に調べたい物質を入れて,加熱する.するとその物質は蒸気となって穴から噴き出すだろう.酸化を防ぐためにも真空中で行った方がいい. その穴から少し離した所に衝立を置いて,そこに小さい穴を開けておく.こうすることで,容器の穴から衝立の穴まで真っ直ぐに飛んできた原子だけが通過を許されて,穴を抜けた原子はその後も真っ直ぐに飛び続けることになる.こういう働きをする衝立を「コリメータ」と呼ぶ.「平行になるように整える装置」くらいの意味だ.こうして一本の原子のビームが作られるわけだ.この装置を真空中に置く本当の理由は酸化防止よりもむしろこちらである.障害物となる気体があっては原子は真っ直ぐに飛べない. このビームの進路上に磁場を働かせてやると原子の持つ磁気モーメントが磁場と

微分方程式を演算子で表す 次のような 2 階の線形非同次微分方程式を考える. 別に何階でもいいのだが,2 階くらいが一番イメージしやすい.微分方程式における「同次」という言葉は,全ての項に未知関数が含まれている,というくらいの意味なのだった.右辺のがなければ「同次」だが,そうではないので「非同次」である.この式を微分演算子を使って表したい.次のような演算子を定義してやる. アルファベットの L を使ったのは Linear(線形) の意味が込められている.これが関数に作用すると考えるのだ.すると (1) 式は と表せるようになる.ここでもしという演算子があって,という関係が成り立っていれば,これを (2) 式の両辺に作用させることで, という式が成り立つ.つまり,がどんな形になっても未知関数が簡単に導けてしまうわけだ.そんな都合のいい演算子がそう簡単に見付かるものだろうか？ この演算子のこと

計量の意味 微小な距離だけ離れた 2 点を考える.一方の点の位置をデカルト座標でと表したとすると,もう一方の点はと表せるだろう.このとき,,,の間には次の関係が成り立っている. もしもこの 2 点をデカルト座標以外の別の座標で表したとしても,2 点間の距離は変わらないはずだ.そこでそれを 2 乗してやった値を別の座標系で表してやることを考えてみよう.なぜ 2 乗した値を考えるかといえば,その方が楽だからである.上の関係式での 2 乗を外そうとすれば平方根を使わなくてはならないし,それが正の値であることを常に意識しなくてはならないことになる. はどんな座標系で表したとしても,次のようなとを組み合わせて作った項の和で表せるはずである. なぜなら,は微少量なのでとの 1 次式で表されるだろうし,も同様であり,それらをそれぞれ 2 乗して和を取ったものがなのだから必ずこの形式になるというわけである

今回の記事を書いた動機 たまに次のような解説を目にすることがある.「ブラックホールの内部に引き込まれた全ての物質は素粒子レベルにまで分解され,やがては大きさ 0,密度無限大になるまで潰れてしまう」と.はて,この話の根拠は何だろうか？ 前回の解説で,ブラックホールの内部ではあらゆるものが中心点へと引き込まれてしまうという驚きの結果を導いたのだった.しかしこれは物体が大きさ 0 にまで潰れてしまうということの根拠としては弱い. 前回の話で調べたのは「シュバルツシルトの外部解」の振る舞いであった.この解は物質が無いところにだけ適用できるという条件付きのものであるが,中心点近くまで何もないかのように考えて無理やり全空間に当てはめたのである. もしブラックホール内に地面と呼べるようなものがあれば話は変わってくる.地面より内側には「内部解」と呼ばれる別のタイプの解が適用されるべきだろう.まぁ,たとえそ

力のモーメント 前回の話から,中心から離れているほど物体を回転させるのに効率が良いという事が分かる.しかし「効率が良い」とはあいまいな表現だ.何かしっかりとした定義が欲しい.この「物体を回転させようとする力」の影響力をうまく表すためには回転の中心からの距離とその点にかかる回転させようとする力を掛け合わせた量を作れば良さそうだ.これは前の話から察しがつく. このは「力のモーメント」と呼ばれている.正式にはベクトルを使った少し面倒な定義があるのだが,しばらくは本質だけを説明したいのでベクトルを使わないで進むことにする.しかし力の方向についてはここで少し注意を入れておかないといけない. 先ほどから私は「回転させようとする力」という表現をわざわざ使っている.これには意味がある.力がおかしな方向に向けられていると,それは回転の役に立たず無駄になる.それを計算に入れるべきではない.次の図を見てもらいた

知らないと不安じゃないか 量子力学をやっていると「ヒルベルト空間」なんて言葉によく出くわす.実は学ぶ上でどうしても知っていなければいけないという言葉ではない.なぜならこれは数学用語だからだ. しかし,知らないというのは立場が弱い.学んだばかりの知識をひけらかす友人たちや,生徒を買い被ったフリをして楽しんでいる教授たちの口から「波動関数とはヒルベルト空間内で定義されるベクトルだ」なんて言葉が飛び出してくると,「それは一体何を意味するんだ？知ってなきゃいけないのか？」と不安にさせられてしまう. もしこんな事態に遭遇しても, 「ああ,そうだね.ついでに言えば,それは『無限次元複素ヒルベルト空間』のことだよね.」 と軽くかわすことが出来れば時間を無駄にしないで済む. ベクトル空間 「ヒルベルト空間」の定義は一言で言えなくもないが,まぁ順番に行こう. とりあえず,ベクトルが定義できる空間を考える.こ

物質の正体は粒子でもあり波でもあると説明されることがありますが、実際はどちらでもありません。昔からの直観的な理解に収まるようなものではなく、ある種の数学で問題なく表されます。

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相対論は大きく二つに分かれます。光に近い速度ですれ違う時にお互いの物理現象がどう見えるかを論じた特殊相対性理論と、それをさらに発展させて、重力とは何なのかを論じた一般相対性理論があります。そのどちらも説明していきます。

物理数学とは、物理を学習するときによく使うことになる数学をまとめたものです。厳密で本格的な数学ではなく、物理の中で応用的に使うことを主眼に置いた簡便な形でまとめています。